2022－2023学年人教版数学九年级上册第 21.2.1直接开平方法解一元二次方程 课件 (共27张PPT)

(共27张PPT)
课 程：数 学
《直接开平方法解一元二次方程》
人教版
九年级上册 第3课时
第 21 章 一元二次方程
教学目标
1、使学生知道形如x2=a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解；
2、使学生知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方；
3、使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解。
知识与技能
在学习与探究中使学生体会“化归”、“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法。
过程与方法
使学生在学习中体会愉悦与成功感，感受数学学习的价值。
情感态度和价值观
新课导入
New class introduction
01
探究新知
Explore new knowledge
02
课堂练习
class exercise
03
课堂小结
Class summary
04
目/录
CONTENTS
新课导入
01
New class introduction
新课导入
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
1、一元二次方程的概念
2、一元二次方程的一般形式
新课导入
1.什么叫做平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫
做a的平方根.
若x2=a，则x=
如：9的平方根是______，
±3
的平方根是______
2.平方根有哪些性质？
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根
互为相反数的；
(2)零的平方根是零；
(3)负数没有平方根.
即x= 或x=
探究新知
02
Explore new knowledge
探究新知
　　问题1　在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以
上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全
身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕
像的高为 2 m，那么它的下部应设计为多高？
解：设雕像的下部高为 x m，
据题意，列方程得
整理得　x 2 + 2x - 4 = 0．
A
C
B
x 2 = 2 2 - x ，
（　 ）
探究新知
　　你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元一次方程组
一元一次方程
一元二次方程
消元
降次
　　思考：如何解一元二次方程．
探究新知
　　问题2　解方程 x 2 = 25，依据是什么？
　　解得　x 1 = 5，x 2 = - 5．
平方根的意义
　　请解下列方程： x 2 = 3，2x 2 - 8=0，x 2 = 0，x 2 = - 2…
这些方程有什么共同的特征？
　　结构特征：方程可化成　x 2 = p　的形式，
平方根的意义
降次
　　（当 p≥0 时）
　　问题3　解方程：（x + 3）= 5．
2
探究新知
　　问题4　怎样解方程 x 2 + 6x + 4 = 0　①？
x 2 + 6x + 9 = 5　②
（x + 3）= 5
2
探究新知
　　试一试：与方程　 x2 + 6x + 9 = 5　 ② 比较，
　　怎样解方程　x2 + 6x + 4 = 0　① ？
　　怎样把方程①化成方程②的形式呢？
　　怎样保证变形的正确性呢？
即
由此可得…
　　解：
左边写成平方形式
移项
x2 + 6x = -4　 ③
两边加 9
　　　　 = -4 + 9
x2 + 6x + 9
（x + 3）= 5
2
探究新知
　　回顾解方程过程：
两边加 9，左边
配成完全平方式
移项
左边写成完全
平方形式
降次
解一次方程
x2 + 6x + 4 = 0
x2 + 6x = -4
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
，或
，
（x + 3）= 5
2
探究新知
　　想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？
加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
两边加 9
　　一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式．
x2 + 6x = -4　 ③
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
（x + 3）= 5
2
9，即　　 2 = 3 2 = 9
（ ）
探究新知
　　议一议：结合方程①的解答过程，说出解一般二次
项系数为 1 的一元二次方程的基本思路是什么？具体步
骤是什么？
配成完全平方形式
　　通过 　　　　　　　　 来解一元二次方程的方法，
叫做配方法．
配方
　　具体步骤：
　　（1）移项；
　　（2）在方程两边都加上一次项系数一半的平方．
探究新知
平方根的意义
降次
　　（当 p≥0 时）
　　问题5　通过解方程 x 2 + 6x + 4=0 ，请归纳这类方程是怎样解的？
　　结构特征：方程可化成　　　　　 的形式，
（x + n）= p
2
探究新知
　　（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些
　　（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？
把方程配方为　　　　　的形式，运用开平方法，
降次求解．
（x + n）= p
2
探究新知
　　解一元二次方程的一般步骤：
两边加 9，左边
配成完全平方式
移项
左边写成完全
平方形式
降次
x2 + 6x + 4 = 0
x2 + 6x = -4
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
，或
（x + 3）= 5
2
解一次方程
，
课堂练习
03
class exercise
课堂练习
;x2=
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1= 1;x2=-4
1、下列解方程的过程中，正确的是（ ）
(A)x2=-2,解方程，得x=±
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=
D
课堂练习
A.n=0 B.m、n异号
C.n是m的整数倍 D.m、n同号
2、已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方
程可以用直接开平方法求解，且有两个
实数根，则m、n必须满足的条件是（ ）
B
课堂练习
3、小试身手 :
1） x2=2 ( )
2） p2 - 49=0 ( )
3） 6 x2=3 ( )
4) （5x+9）2+16=0 ( )
5) 121-(y+3) 2 =0 ( )
×
√
√
√
√
课堂练习
4、解下列方程
（1）x2-1.21=0 （2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21
∵x是1.21的平方根
∴x=±1.1
即 x1=1.1，x2=-1.1
（2）移项，得4x2=1
两边都除以4，得
∵x是 的平方根
∴x=
即x1= ，x2=
x2=
课堂练习
即x1=-1+
，x2=-1-
5、解下列方程：
⑴（x＋1）2= 2
分析：只要将（x＋1）看成是一个整体，
就可以运用直接开平方法求解；
解：（1）∵x+1是2的平方根
∴x+1=
∴x+1=
或x+1=
课堂练习
⑵ （x－1）2－4 = 0
∴ x1=3，x2=-1
解：移项，得（x-1）2=4
∵x-1是4的平方根
∴x-1=±2
即x-1=+2 或x-1=-2
⑶ 12（3－2x）2－3 = 0
∴x1= ，
x2=
解：移项，得12（3-2x）2=3
两边都除以12，得（3-2x）2=0.25
∵3-2x是0.25的平方根
∴3-2x=±0.5
即3-2x=0.5或3-2x=-0.5
课堂小结
04
Class summary
课堂小结
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解 .
归纳
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有x2=a（a≥0）或 （ax＋h）2= k（k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.