2022－2023学年人教版数学九年级上册21.2.4 根与系数关系 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
课程：数学
《根与系数关系》
人教版
九年级上册 第7课时
第 21 章 一元二次方程
教学目标
掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
知识与技能
经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
过程与方法
通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
情感态度和价值观
目
录
新课导入
New class introduction
探究新知
Explore new knowledge
课堂练习
class exercise
课堂小结
Class summary
01
02
03
04
新课导入
01
New class introduction
新课导入
1.一元二次方程的一般形式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
新课导入
4、求一个一元二次方程，使它的两个根分别为
①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2
x2-5x+6=0
x2-3x-28=0
③(x-3)(x+8)=0
x2+5x-24=0
④(x+5)(x+2)=0
②(x+4)(x-7)=0
①(x-2)(x-3)=0
x2+7x+10=0
问题1：从求这些方程的过程中你发现根
与各项系数之间有什么关系？
探究新知
02
Explore new knowledge
探究新知
如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2
那么有x1+ x2=-p, x1 x2=q
猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？
问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？
x2=1
解得：x1=
所以得到,x1+x2=
x1 x2=
探究新知
填写下表：
方程 两个根 两根之和 两根之积 a与b之间关系 a与c之间关系
猜想：
如果一元二次方程 的两个根
分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？
探究新知
已知：如果一元二次方程
的两个根分别是 、 。
求证：
探究新知
推导:
探究新知
探究新知
如果一元二次方程
的两个根分别是 、 ，那么：
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
探究新知
一元二次方程的
根与系数的关系
16世纪法国最杰出的数学家韦达发现
代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。
课堂练习
03
class exercise
课堂练习
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
一个根是___，m =____。
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = ___ ,X1X2 = ____，
X12+X22 = ( X1+X2)2 - ___ = ___
( X1-X2)2 = ( ___ )2 - 4X1X2 = ___
3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （ ）
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是
_____ 。
X1+X2
2X1X2
-3
4
1
14
12
×
2和-1
（还有其他解法吗？）
课堂练习
5、利用根与系数的关系，求一元二次方程
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
课堂练习
6、已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 的两个根
分别是 、 ，其中 。
所以：
即：
由于
得：k=-7
答：方程的另一个根是 ，k=-7
课堂练习
7、已知方程　　　　　　　　的两个实数根
是　　　且　　　　　 求k的值。
解：由根与系数的关系得
X1+X2=-k， X1×X2=k+2
又 X12+ X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4
K2- 2(k+2）=4
K2-2k-8=0
∵ △= K2-4k-8
当k=4时， △＜0
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2
解得：k=4 或k=－2
课堂练习
8、方程
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
解:由已知,
△=
{
即
{
m>0
m-1<0
∴0课堂练习
9、方程x2 (m 1)x 2m 1 0求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？
解: (m 1)2 4(2m 1) m2 6m 5
①∵两根互为相反数
∴两根之和m 1 0,m 1,且 0
∴m 1时,方程的两根互为相反数.
②∵两根互为倒数 m2 6m 5,
∴两根之积2m 1 1 m 1且 0,
∴m 1时,方程的两根互为倒数.
③∵方程一根为0,
∴两根之积2m 1 0 且 0,
∴ 时,方程有一根为零.
课堂小结
04
Class summary
课堂小结
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，
首先要把已知方程化成一般形式.
3.应用一元二次方程的根与系数关系时，
要特别注意，方程有实根的条件，即在初
中代数里，当且仅当 时，才
能应用根与系数的关系.
1.一元二次方程根与系数的关系是什么
总结归纳
课堂练习
以 为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
　4、已知两根求作新的方程