1.3.2 正方形的判定—北师大版数学九年级上册课堂同步练(含答案)

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北师大版数学九年级上册课堂同步练
第一章　特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定
第2课时　正方形的判定
分类练
知识点1　用定义判定正方形
1. 如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )
A.AB＝BD且AC⊥BD B.∠A＝∠B且AB＝AD
C.∠A＝∠B且AC＝BD D.AC和BD互相垂直平分
2. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相等且互相平分，再添加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，可添加的条件是　 .(写出一个条件即可)
3. 如图，已知D是△ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形.
(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；
(2)若AC＝BC，AC⊥BC，求证：四边形ADCE是正方形.
知识点2　已知菱形再判定正方形
4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件可以是　 .(写出一个即可)
5. 如图，已知E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE.
求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；
(2)四边形EFPQ是正方形.
知识点3　已知矩形再判定正方形
6. 下列说法正确的是( )
A.四条边相等的四边形是正方形
B.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C.两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形
D.两条对角线互相垂直的矩形是正方形
7. 如图，等边△AEF的顶点E，F分别在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形.
提升练
8. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD，选出其中两个，使 ABCD变为正方形.下面组合错误的是( )
A.①② B.①③ C.③④ D.①④
9. 如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，∠B＝60°，当边AD∶AB＝　 时，四边形AECF是正方形.
10. 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC.
(1)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
(2)若∠BAC＝90°，且AD＝2，求四边形AFDE的面积.
拓展练
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，连接BF，CE.
(1)判断四边形BECF是什么特殊的四边形，并说明理由；
(2)当△ABC满足　 时，四边形BECF是正方形.
参 考 答 案
1. B
2. AB＝BC(答案不唯一)
3. 证明：(1)∵四边形BCED是平行四边形，∴BD∥CE，BD＝CE. ∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ADCE是平行四边形.
(2)∵AC⊥BC，D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD. ∵AC＝BC，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是正方形.
4. AC＝BD(答案不唯一)
5. 证明：(1)由题易证△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS)，∴EF＝FP＝PQ＝QE.
(2)∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四边形EFPQ是菱形. ∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ. ∵∠AFP＋∠APF＝90°，∴∠APF＋∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴菱形EFPQ是正方形.
6. D
7. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°. ∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°. ∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形.
8. D
9. (＋1)∶2
10. 解：(1)四边形AFDE是菱形. 理由：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形. ∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD. ∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EDA＝∠EAD，∴AE＝DE，∴四边形AFDE是菱形.
(2)∵∠BAC＝90°，∴四边形AFDE是正方形. ∵AD＝2，∴AF＝DF＝DE＝AE＝2. ∴四边形AFDE的面积为2×2＝4.
11. 解：(1)四边形BECF是菱形. 理由：∵CF∥AB，∴∠FCD＝∠CBE. ∵EF垂直平分BC，∴∠CDF＝∠BDE＝90°，BD＝CD. ∴△BDE≌△CDF(ASA)，∴BE＝CF，∴四边形BECF是平行四边形. ∵EF⊥BC，∴ BECF是菱形.
(2)AC＝BC(或∠A＝45°或∠ABC＝45°)
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