1.3.3 正方形的性质与判定的综合应用—北师大版数学九年级上册课堂同步练(含答案)

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北师大版数学九年级上册课堂同步练
第一章　特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定
第3课时　正方形的性质与判定的综合应用
分类练
知识点　正方形的性质与判定的综合应用
1. 下列命题错误的是( )
A.正方形的对角线互相垂直平分且相等
B.对角线互相垂直的矩形是正方形
C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D.有一个角是直角，且对角线互相垂直的平行四边形是正方形
2. 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为　 　.
3. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.
(1)求证：四边形OCED是正方形；
(2)若AC＝，则点E到边AB的距离为 　.
提升练
4. 在一次数学课上，张老师出示了一个题目：如图， ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD分别交AB，CD于点F，E，连接DF，BE.请根据上述条件，写出一个正确结论.其中四位同学写出的结论如下：小青：OE＝OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED＝S四边形FBCE；小雨：∠ACE＝∠CAF. 这四位同学写出的结论中错误的是( )
A.小青 B.小何 C.小夏 D.小雨
5. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为( )
A.1 B. C.2 D.2
6. 如图，在正方形ABCD中，若以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB的度数为　 .
7. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD.若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为　 　.
8. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.
(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；
(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形，并说明理由.
9. 如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE，连接BF.
(1)求证：BF＝DE.
(2)当点E运动到AC的中点时(其他条件都保持不变)，四边形AFBE是什么特殊四边形 请说明理由.
拓展练
10. 如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，P，Q分别是BM，DN的中点.
(1)求证：BM∥DN.
(2)求证：四边形MPNQ是菱形.
(3)矩形ABCD的边长AB与AD满足什么数量关系时，四边形MPNQ为正方形 请说明理由.
参 考 答 案
1. C
2. 2
3. 解：(1)∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形. 在正方形ABCD中，OD＝OC，∠COD＝90°，∴ OCED是正方形.
(2)
4. B
5. C
6. 22.5°
7. 6
8. 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD. ∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一). 理由：略.
9. 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°. ∵AF⊥AC，∴∠EAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAE. 又∵AF＝AE，∴△ABF≌△ADE(SAS)，∴BF＝DE.
(2)四边形AFBE是正方形. 理由：∵E为AC的中点，AB＝BC，∴BE⊥AC，BE＝AE＝AC. ∵AF＝AE，∴BE＝AF＝AE. ∵BE⊥AC，AF⊥AC，∴BE∥AF，∴四边形AFBE是平行四边形. 又∵∠FAE＝90°，AF＝AE，∴ AFBE是正方形.
10. 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC. ∵M，N分别是AD，BC的中点，∴DM＝BN. ∴四边形DMBN是平行四边形，∴BM∥DN.
(2)由(1)知BM＝DN，BM∥DN. ∵P，Q分别是BM，DN的中点，∴MP＝NQ，MP∥NQ，∴四边形MPNQ是平行四边形. 连接MN.易得四边形DMNC是矩形. ∵DN是矩形DMNC的对角线，且Q是DN的中点，∴MQ＝NQ，∴平行四边形MPNQ是菱形.
(3)当AB＝AD时，四边形MPNQ为正方形. 理由：∵AB＝AD，M是AD的中点，∴AB＝AM，∴四边形ABNM是正方形. ∵P为正方形ABNM的对角线BM的中点，∴∠NPM＝90°. 由(2)知四边形MPNQ是菱形，∴四边形MPNQ是正方形.
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