人教A版（2019）选择性必修第三册7.5正态分布（大题）同步练习（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第三册7.5正态分布（大题）同步练习（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-23 05:02:23 | ||
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文档简介
《随机变量》专题12-1 正态分布（大题）
（8套8页，含答案）
在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名．
（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人？
（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？[endnoteRef:0]
附：P（|X﹣μ|＜σ）＝0.683，P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.954，P（|X﹣μ|＜3σ）＝0.997． [0: 【解答】解：（1）设参赛学生的成绩为X，因为X～N（70，100），所以μ＝70，σ＝10，则：
＝
＝，
16÷0.023≈696（人）．
因此，此次参赛学生的总数约为696人．
（2）由P（X≥80）＝P（X≤60）
＝
＝
＝
＝0.1585，
得696×0.1585≈110．
因此，此次竞赛获奖励的学生约为110人．
]
《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B＋、B、C＋、C、D＋、D、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]、[81，90]、[71，80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．
某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N（60，169）．
（Ⅰ）求物理原始成绩在区间（47，86）的人数；
（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望.([endnoteRef:1])
（附：若随机变量，则，
，） [1: 18【解析】（Ⅰ）因为物理原始成绩
则
……………………… 3分
所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）…… 5分
（Ⅱ）随机抽取1人，其成绩在区间[61，80]的概率为
所以随机抽取三人，则可取0，1，2，3，且………………………7分
所以的分布列为
……………………………10分
数学期望…………………………………………12分
]
《随机变量》专题12-2 正态分布（大题）
为了解某市高三学生身高情况，对全市高三学生进行了测量，经分析，全市高三学生身高X（单位：cm）服从正态分布N（160，），已知P(X<150）＝0.2，P(X≥ 180)＝0.03.
(1) 现从该市高三学生中随机抽取一位学生，求该学生身高在区间[170，180)的概率；
(2) 现从该市高三学生中随机抽取三位学生，记抽到的三位学生身高在区间[150，170)的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望E.
（答案：[endnoteRef:2]P＝0.17；；期望1.8人；） [2: 10、
]
某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布. 现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组 [160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（Ⅰ）试估计该校高三年级男生的平均身高；
（Ⅱ）求这50名男生中身高在172cm以上（含172cm）的人数；
（III）从（Ⅱ）中身高在172cm以上（含172cm）的男生里任意抽取2人，将这2人身高纳入全市排名（从高到低），能进入全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望.（[endnoteRef:3]）
参考数据：若，则，，.
答案：168.72，10，2/5；
（3）先把正态分布的问题转化为分布列的问题，然后按前面方面求期望值即可； [3: 答案：解：（Ⅰ）由频率分布直方图，可估计该校高三年级男生平均身高为：
.
（2分）
（Ⅱ）由频率分布直方图，可得这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数为：
（0.02＋0.02＋0.01）450＝10. （4分）
（Ⅲ）∵P（168－3×4＜ξ≤168＋3×4）＝0.9974，
∴P(ξ≥180)＝ ＝0.0013， （5分）
0.0013×100000＝130，∴全市前130名的身高在180cm以上. （6分）
这50人中180cm以上的人数为：0.01450＝2，
因此随机变量ξ可取0，1，2. （7分）
P(ξ＝0)＝ ＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝， （10分）
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. （12分）
]
《随机变量》专题12-3 正态分布（大题）
在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.
（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为考生竞赛成绩服正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过分（含84.81分）的人数估计有多少人？
（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求.（精确到）[endnoteRef:4]
附：①，； ③.
②，则，；
[4: 解：（1）由题意知：
∴，
∴名考生的竞赛平均成绩为分.
（2）依题意服从正态分布，其中，
，，
∴服从正态分布，
而，
∴.
∴竞赛成绩超过分的人数估计为人人.
（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.
而，
∴.
]
《随机变量》专题12-4 正态分布（大题）
从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数，中位数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
(i)利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187．8，212．2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：≈12．2．
若～，则＝0．6826，＝0．9544．
（答案：[endnoteRef:5](Ⅰ)200；150；P＝0.6826；EX＝68.26；） [5: 17．解：(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为
（Ⅱ）（i）由（I）知，，从而
（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187．8，212．2）的概率为0．6826，
依题意知～，所以
]
《随机变量》专题12-5 正态分布（大题）
当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．重庆年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、分钟跳绳三项测试，三项考试满分为分，其中立定跳远分，掷实心球分，分钟跳绳分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了名学生进行测试，得到频率分布直方图(如图），且规定计分规则如下表：
（1）现从样本的名学生中，任意选取人，求两人得分之和不大于分的概率；
（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加个，现利用所得正态分布模型：
（ⅰ）预估全年级恰好有名学生时，正式测试每分钟跳个以上的人数；（结果四舍五入到整数）
（ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取人，记正式测试时每分钟跳个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望．([endnoteRef:6])
附：若随机变量服从正态分布，则，， [6: 20.（1）两人得分之和不大于分，即两人得分均为分，或两人中人分，人分，
………………（3分）
（2）…（5分）
又，所以正式测试时，，∴．
（ⅰ）∴，
∴．（人） ………………（7分）
（ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取人，每分钟跳绳个数以上的概率为，
即，∴，
，
∴的分布列为
………………（12分）
]
《随机变量》专题12-6 正态分布（大题）
2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；
(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：
若．
利用直方图得到的正态分布，求。
(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，
求(结果精确到0.0001)以及Z的数学期望．([endnoteRef:7])
参考数据：． [7: 20. 解：（1） ……2分
…………4分
(i)由题知，，∴.
. ……………………5分
. ……………………7分
（ⅱ）由(i)知， ……………………8分
可得，
……………………10分
的数学期望. ……………………12分
]
《随机变量》专题12-7 正态分布（大题）
在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.
（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为考生竞赛成绩服正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和
考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？
（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机
抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求.（精确到）([endnoteRef:8])
附：①，；
②，则，；
③.
[8: 18.解：（1）由题意知：
∴，
∴名考生的竞赛平均成绩为分……………4分
（2）依题意服从正态分布，其中，
，，
∴服从正态分布，
而，
∴.
∴竞赛成绩超过分的人数估计为人人. ………8分
（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.
而，∴.……………12分
]
某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．
（Ⅰ）经统计，消费额X服从正态分布，某天有1000位顾客，请估计消费额X（单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；
附：若，则，．
（Ⅱ）某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列；
（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：一次B箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大．（[endnoteRef:9]）
[9: 解：（Ⅰ）依题意得，，得，， －－－－－－－－－－－－ 1分
消费额X在区间（100，150]内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6，－－－－－－－－－ 2分
人数约为＝477人， －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－3分
其中中奖的人数约为477×0.6＝286人； －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 4分
（Ⅱ）三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为0.6，
三人中中奖人数服从二项分布，
，（k＝0， 1， 2， 3） －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－6分
故的分布列为
－－－－－－－－－－－8分
（Ⅲ）A箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.1＋20×0.2＋5×0.3＝10.5，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－9分
B箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5＋20×0.5＝35，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－10分
方法一所得奖金的期望值为3×10.5＝31.5，方法二所得奖金的期望值为35，
所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－12分
]
答案：
286人，，方法一望值31.5，方法二期望值为35，方法二大；
《随机变量》专题12-8 正态分布（大题）
为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率）；
①； ②；
③.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级.
（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
（ⅰ）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；
（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）. （[endnoteRef:10]）
答案：丙级，，；
[10: 答案：（1）由题意知道：，
所以由图表知道：
所以该设备的性能为丙级别.
（2）由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件共计6件
（i）从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，
依题意，故.
（ii）从100件样品中任意抽取2件，次品数的可能取值为0，1，2
故.]
为了落实习主席提出 “绿水清山就是金山银山”的环境治理要求，全国各地纷纷规定春节期间禁止燃放烟花爆竹，以减轻大量燃放烟花爆竹造成的环境污染。有关部门在除夕和初一对往年燃放严重的10万个地点测量了PM2.5的浓度，调查数据显示这些PM2.5的浓度值服从正态分布N(168，16)．现从合肥地区的数据中随机抽取50个进行分析，发现这些数据都在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）试评估春节期间合肥地区PM2.5浓度的中位数及这50个地点PM2.5的浓度在172以上（含172）的个数；[endnoteRef:11]
（2）在这50个数据中PM2.5浓度值在172以上（含172）中任意抽取2个，这2个PM2.5的浓度值在全国前130名（从高到低）的个数记为，求的数学期望。
参考数据：若2)，则 0.6826，
0.9544， 0.9974
[11: 解：（1）在[160，164）内的频率为，在[164，168）内的频率为，
设合肥市50个数据的中位数为，则，
所以
所以，合肥地区PM2.5浓度的中位数 .....3分
50个数据在172以上（含172）的个数为50×（0.02＋0.02＋0.01）×4＝10． .....5分
（2）∵P（168﹣3×4≤＜168＋3×4）＝0.9974，∴P（≥180）＝（1﹣0.9974）＝0.0013，
∵0.0013×100 000＝130．
∴全国前130名的PM2.5浓度在180以上（含180）， ................8分
这50个中在180以上（含180）的有2个
∴随机变量的可能取值为0，1，2，
∴P（＝0）＝，P（＝1）＝，P（＝2）＝
∴E（）＝ ................12分
]
《随机变量》专题12-9 正态分布（大题）
未来制造业对零件的精度要求越来越高．3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图（单位：）
（1）计算平均值与标准差；
（2）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？
参考数据：，，，，．
（答案：[endnoteRef:12]105；；；需要进一步调试） [12:
3、【解析】(Ⅰ) 3分
……5分
所以 ……6分
(Ⅱ)结论:需要进一步调试. ……………………8分
[方法1]理由如下:如果机器正常工作，则服从正态分布，……………………9分
零件内径在之外的概率只有，……………………………………11分
而，根据原则，知机器异常，需要进一步调试. …………………………12分
[方法2]理由如下:如果机器正常工作，则服从正态分布， ……9分
正常情况下个零件中恰有一件内径在外的概率为:
， ……11分
为小概率事件，而，小概率事件发生，说明机器异常，需要进一步调试. ……12分
[方法3]理由如下:如果机器正常工作，则服从正态分布， ……9分
正常情况下件零件中恰有件内径在外的概率为:
，…11分
此为小概率事件，而，，小概率事件发生，说明机器异常，需要进一步调试.
若有下面两种理由之一可得2分
试验结果件中有件在之外，概率为，远大于正常概率.
试验结果件中有件在之外，概率为，远大于正常概率.
]
（8套8页，含答案）
在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名．
（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人？
（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？[endnoteRef:0]
附：P（|X﹣μ|＜σ）＝0.683，P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.954，P（|X﹣μ|＜3σ）＝0.997． [0: 【解答】解：（1）设参赛学生的成绩为X，因为X～N（70，100），所以μ＝70，σ＝10，则：
＝
＝，
16÷0.023≈696（人）．
因此，此次参赛学生的总数约为696人．
（2）由P（X≥80）＝P（X≤60）
＝
＝
＝
＝0.1585，
得696×0.1585≈110．
因此，此次竞赛获奖励的学生约为110人．
]
《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B＋、B、C＋、C、D＋、D、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]、[81，90]、[71，80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．
某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N（60，169）．
（Ⅰ）求物理原始成绩在区间（47，86）的人数；
（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望.([endnoteRef:1])
（附：若随机变量，则，
，） [1: 18【解析】（Ⅰ）因为物理原始成绩
则
……………………… 3分
所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）…… 5分
（Ⅱ）随机抽取1人，其成绩在区间[61，80]的概率为
所以随机抽取三人，则可取0，1，2，3，且………………………7分
所以的分布列为
……………………………10分
数学期望…………………………………………12分
]
《随机变量》专题12-2 正态分布（大题）
为了解某市高三学生身高情况，对全市高三学生进行了测量，经分析，全市高三学生身高X（单位：cm）服从正态分布N（160，），已知P(X<150）＝0.2，P(X≥ 180)＝0.03.
(1) 现从该市高三学生中随机抽取一位学生，求该学生身高在区间[170，180)的概率；
(2) 现从该市高三学生中随机抽取三位学生，记抽到的三位学生身高在区间[150，170)的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望E.
（答案：[endnoteRef:2]P＝0.17；；期望1.8人；） [2: 10、
]
某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布. 现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组 [160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（Ⅰ）试估计该校高三年级男生的平均身高；
（Ⅱ）求这50名男生中身高在172cm以上（含172cm）的人数；
（III）从（Ⅱ）中身高在172cm以上（含172cm）的男生里任意抽取2人，将这2人身高纳入全市排名（从高到低），能进入全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望.（[endnoteRef:3]）
参考数据：若，则，，.
答案：168.72，10，2/5；
（3）先把正态分布的问题转化为分布列的问题，然后按前面方面求期望值即可； [3: 答案：解：（Ⅰ）由频率分布直方图，可估计该校高三年级男生平均身高为：
.
（2分）
（Ⅱ）由频率分布直方图，可得这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数为：
（0.02＋0.02＋0.01）450＝10. （4分）
（Ⅲ）∵P（168－3×4＜ξ≤168＋3×4）＝0.9974，
∴P(ξ≥180)＝ ＝0.0013， （5分）
0.0013×100000＝130，∴全市前130名的身高在180cm以上. （6分）
这50人中180cm以上的人数为：0.01450＝2，
因此随机变量ξ可取0，1，2. （7分）
P(ξ＝0)＝ ＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝， （10分）
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. （12分）
]
《随机变量》专题12-3 正态分布（大题）
在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.
（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为考生竞赛成绩服正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过分（含84.81分）的人数估计有多少人？
（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求.（精确到）[endnoteRef:4]
附：①，； ③.
②，则，；
[4: 解：（1）由题意知：
∴，
∴名考生的竞赛平均成绩为分.
（2）依题意服从正态分布，其中，
，，
∴服从正态分布，
而，
∴.
∴竞赛成绩超过分的人数估计为人人.
（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.
而，
∴.
]
《随机变量》专题12-4 正态分布（大题）
从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数，中位数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
(i)利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187．8，212．2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：≈12．2．
若～，则＝0．6826，＝0．9544．
（答案：[endnoteRef:5](Ⅰ)200；150；P＝0.6826；EX＝68.26；） [5: 17．解：(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为
（Ⅱ）（i）由（I）知，，从而
（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187．8，212．2）的概率为0．6826，
依题意知～，所以
]
《随机变量》专题12-5 正态分布（大题）
当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．重庆年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、分钟跳绳三项测试，三项考试满分为分，其中立定跳远分，掷实心球分，分钟跳绳分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了名学生进行测试，得到频率分布直方图(如图），且规定计分规则如下表：
（1）现从样本的名学生中，任意选取人，求两人得分之和不大于分的概率；
（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加个，现利用所得正态分布模型：
（ⅰ）预估全年级恰好有名学生时，正式测试每分钟跳个以上的人数；（结果四舍五入到整数）
（ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取人，记正式测试时每分钟跳个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望．([endnoteRef:6])
附：若随机变量服从正态分布，则，， [6: 20.（1）两人得分之和不大于分，即两人得分均为分，或两人中人分，人分，
………………（3分）
（2）…（5分）
又，所以正式测试时，，∴．
（ⅰ）∴，
∴．（人） ………………（7分）
（ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取人，每分钟跳绳个数以上的概率为，
即，∴，
，
∴的分布列为
………………（12分）
]
《随机变量》专题12-6 正态分布（大题）
2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；
(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：
若．
利用直方图得到的正态分布，求。
(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，
求(结果精确到0.0001)以及Z的数学期望．([endnoteRef:7])
参考数据：． [7: 20. 解：（1） ……2分
…………4分
(i)由题知，，∴.
. ……………………5分
. ……………………7分
（ⅱ）由(i)知， ……………………8分
可得，
……………………10分
的数学期望. ……………………12分
]
《随机变量》专题12-7 正态分布（大题）
在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.
（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为考生竞赛成绩服正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和
考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？
（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机
抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求.（精确到）([endnoteRef:8])
附：①，；
②，则，；
③.
[8: 18.解：（1）由题意知：
∴，
∴名考生的竞赛平均成绩为分……………4分
（2）依题意服从正态分布，其中，
，，
∴服从正态分布，
而，
∴.
∴竞赛成绩超过分的人数估计为人人. ………8分
（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.
而，∴.……………12分
]
某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．
（Ⅰ）经统计，消费额X服从正态分布，某天有1000位顾客，请估计消费额X（单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；
附：若，则，．
（Ⅱ）某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列；
（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：一次B箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大．（[endnoteRef:9]）
[9: 解：（Ⅰ）依题意得，，得，， －－－－－－－－－－－－ 1分
消费额X在区间（100，150]内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6，－－－－－－－－－ 2分
人数约为＝477人， －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－3分
其中中奖的人数约为477×0.6＝286人； －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 4分
（Ⅱ）三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为0.6，
三人中中奖人数服从二项分布，
，（k＝0， 1， 2， 3） －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－6分
故的分布列为
－－－－－－－－－－－8分
（Ⅲ）A箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.1＋20×0.2＋5×0.3＝10.5，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－9分
B箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5＋20×0.5＝35，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－10分
方法一所得奖金的期望值为3×10.5＝31.5，方法二所得奖金的期望值为35，
所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－12分
]
答案：
286人，，方法一望值31.5，方法二期望值为35，方法二大；
《随机变量》专题12-8 正态分布（大题）
为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率）；
①； ②；
③.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级.
（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
（ⅰ）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；
（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）. （[endnoteRef:10]）
答案：丙级，，；
[10: 答案：（1）由题意知道：，
所以由图表知道：
所以该设备的性能为丙级别.
（2）由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件共计6件
（i）从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，
依题意，故.
（ii）从100件样品中任意抽取2件，次品数的可能取值为0，1，2
故.]
为了落实习主席提出 “绿水清山就是金山银山”的环境治理要求，全国各地纷纷规定春节期间禁止燃放烟花爆竹，以减轻大量燃放烟花爆竹造成的环境污染。有关部门在除夕和初一对往年燃放严重的10万个地点测量了PM2.5的浓度，调查数据显示这些PM2.5的浓度值服从正态分布N(168，16)．现从合肥地区的数据中随机抽取50个进行分析，发现这些数据都在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）试评估春节期间合肥地区PM2.5浓度的中位数及这50个地点PM2.5的浓度在172以上（含172）的个数；[endnoteRef:11]
（2）在这50个数据中PM2.5浓度值在172以上（含172）中任意抽取2个，这2个PM2.5的浓度值在全国前130名（从高到低）的个数记为，求的数学期望。
参考数据：若2)，则 0.6826，
0.9544， 0.9974
[11: 解：（1）在[160，164）内的频率为，在[164，168）内的频率为，
设合肥市50个数据的中位数为，则，
所以
所以，合肥地区PM2.5浓度的中位数 .....3分
50个数据在172以上（含172）的个数为50×（0.02＋0.02＋0.01）×4＝10． .....5分
（2）∵P（168﹣3×4≤＜168＋3×4）＝0.9974，∴P（≥180）＝（1﹣0.9974）＝0.0013，
∵0.0013×100 000＝130．
∴全国前130名的PM2.5浓度在180以上（含180）， ................8分
这50个中在180以上（含180）的有2个
∴随机变量的可能取值为0，1，2，
∴P（＝0）＝，P（＝1）＝，P（＝2）＝
∴E（）＝ ................12分
]
《随机变量》专题12-9 正态分布（大题）
未来制造业对零件的精度要求越来越高．3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图（单位：）
（1）计算平均值与标准差；
（2）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？
参考数据：，，，，．
（答案：[endnoteRef:12]105；；；需要进一步调试） [12:
3、【解析】(Ⅰ) 3分
……5分
所以 ……6分
(Ⅱ)结论:需要进一步调试. ……………………8分
[方法1]理由如下:如果机器正常工作，则服从正态分布，……………………9分
零件内径在之外的概率只有，……………………………………11分
而，根据原则，知机器异常，需要进一步调试. …………………………12分
[方法2]理由如下:如果机器正常工作，则服从正态分布， ……9分
正常情况下个零件中恰有一件内径在外的概率为:
， ……11分
为小概率事件，而，小概率事件发生，说明机器异常，需要进一步调试. ……12分
[方法3]理由如下:如果机器正常工作，则服从正态分布， ……9分
正常情况下件零件中恰有件内径在外的概率为:
，…11分
此为小概率事件，而，，小概率事件发生，说明机器异常，需要进一步调试.
若有下面两种理由之一可得2分
试验结果件中有件在之外，概率为，远大于正常概率.
试验结果件中有件在之外，概率为，远大于正常概率.
]