16.1 第1课时 二次根式的概念 课件（25张ppt）

(共25张PPT)
16.1 二根次式
第1课时 二次根式的概念
人教版八年级下册
知识回顾
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 ±（a≥0） .
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根.
用 （a≥0）表示.

（1）什么叫一个数的平方根？如何表示？
知识回顾
1.如果x2=9，那么x= .
2.如果x2=5，那么x= .
3.如果x2=a（a≥0），那么x= .
4.13的平方根是 ，13的算术平方根是 .





教学目标
1.了解并掌握二次根式的概念.
2.利用二次根式的概念解决具体问题.
新知导入
(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度
h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，则t＝______．
问题1：你能用带有根号的式子填空吗？
(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为
________．
新知导入
问题2：上面得到的式子 , ， ， 分别表示什么意义？它们有什么共同特征？
答：
特点：①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
4个式子分别表示3、S、65、 的算术平方根.
归纳总结
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
注意：a可以是数，也可以是式.
合作探究
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
合作探究
例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有
意义
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得x-1＞0，
∴x＞1.
合作探究
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
归纳：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
课堂总结
【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：(1)∵无论x为何实数，
∴当x=1时， 在实数范围内有意义.
(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为何实数， 在实数范围内都无意义.
归纳：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 有意义的
条件：
(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：
A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：
A≥0且B≠0.
练一练
1.下列各式： .
一定是二次根式的个数有 （ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
B
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______;
(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.
x ≥1
x ≥0且x≠2
二次根式的双重非负性
问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0.
问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
归纳
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，必须满足以下两条：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
探究拓展
例3 若 ，求3a +b-3c的值.
解：
由题意可知a-3=0,b+2=0,c-4=0,
解得a=3,b=-2,c=4.
所以3a+b-3c=9-2-12=-5.
归纳：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
练习
已知|2021﹣x|+
＝x，求x﹣20222的值．
可知，x﹣2022≥0，
解得，x≥2022，
原式可化为：x﹣2021+
＝x，
＝2021，
∴x﹣2022＝20212，
∴x＝20212+2022，
∴x﹣20222＝20212+2022﹣20222
＝（2021+2022）（2021﹣2022）+2022
＝﹣4043+2022＝﹣2021．
【解答】解：由
整理得，
探究拓展
例3 已知
．求﹣x﹣3y的立方根．
∴
解得x＝3，
∴y＝8，
∴﹣x﹣3y＝﹣3﹣24＝﹣27，
∴﹣x﹣3y的立方根﹣3．
【解答】解：∵
练习
已知y = ,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=3×3＋2×8=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
课堂练习
1．如果代数式
在实数范围内有意义，那么x的取值
范围是（　　）
A．x≤2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≥﹣2
A
2．若a，b满足
，则在平面直角坐标系中，点P（a，b）
所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
D
3．使代数式
有意义的x的取值范围是 　　．
x≥2
4．小红说：“因为 ＝2，所以 不是二次根式．”你认为小红的说法对吗？
　　（填对或错）．
错
5．
＝　　．
2
6．已知
+
＝b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
解：（1）根据题意得：
解得：a＝17；
（2）b+8＝0，
解得：b＝﹣8．
则a2﹣b2＝172﹣（﹣8）2＝225，
则平方根是：±15．
本堂小结
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
二次根式的双重非负性
二次根式 中,a≥0且
≥0
作业
谢谢
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