人教新课标高中数学B版必修1《2.1.3 函数的单调性》教学设计

§3函数的单调性（教案）
一、教学目的：
（1）通过已学过的函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性．
二、教学重点、难点：
（1）重点：函数的单调性及其几何意义．
（2）难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
三、教学方法：启发、引导、讨论.
四、教学过程：
（一）问题情境
1．海宁潮，又名钱江潮，自古称之为“天下奇观”。“八月十八潮，壮观天下无”。海宁潮是一个壮观无比的自然动态奇观，当江潮从东面来时，似一条银线，周密在《观潮》中写道：“则玉城雪岭际天而来，大声如雷霆，震撼激射，吞天沃日，势极雄豪”。潮起潮落，牵动了无数人的心。
如何用函数形式来表示，起和落？
2．教师和学生一起举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语：蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏。
如何用学过的函数图象来描绘这些成语？
（二）温故知新
1．问题1：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。
观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。
2．问题2：对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的？
例如：初中研究时，我们知道，当x<0时，函数值y随x的增大而减小，当x>0时，函数值y随x的增大而增大。
回忆初中对函数单调性的解释：
图象呈逐渐上升趋势数值y随x的增大而增大；
图象呈逐渐下降趋势数值y随x的增大而减小。
函数这种性质称为函数的单调性。
（三）建构概念
问题3：如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？
对于区间I内的任意两个值，当时，都有。
单调增函数的定义：
问题4：如何定义单调减函数呢？
可以通过类比的方法由学生给出。
如果函数在整个定义域内是增加的或是减少的，我们称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数。
注意：理解概念中自变量取值的任意性。区别“任意”、“无数”、“所有”之间的关系。
其中“任意”等价于“所有”，“任意”不等价于“无数”。
（四）理解概念
1．顾名思义，对“单调”两字加深理解
汉语大词典对“单调”的解释是：简单、重复而没有变化。
2．呼应引入，解决问题情境中的问题
如：的单调增区间是；在上是减函数。
3．单调性是函数的“局部”性质
如：函数在和上都是减函数，能否说在
定义域上是减函数？
引导学生讨论，从图象上观察或用特殊值代入验证否定结论（如取）。
概念理解：增函数、减函数、单调函数是对整个定义域而言。有的函数不是单调函数，但在某个区间上可以有单调性。
运用概念
【例题1】如下图是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像说出的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数。
【例题2】证明函数在区间上是单调递增函数。
证明：设是区间内任意两个实数，且
又，
即
则函数在区间上是单调递增函数。
【例题3】
判断函数的单调性，并加以证明。
通过图像观察可知，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。
通过单调函数的定义，进行证明。
通过三个例题，教师要向学生说明：
判断函数单调性的主要方法：
①观察法：画出函数图象来观察；
②定义法：严格按照定义进行验证；
③分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合。
概括出证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→定号→结论。
（1）设是区间上的任意两个数
（2）作差
（3）判断的符号
① 分解因式, 得出因式
② 配成非负实数和
（4）作结论
【练习】：作出函数、的图象，写出他们的单调区间。
（六）回顾总结
本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用（1）图象法；（2）定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题。
五、教学反思
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