人教新课标高中数学A版必修1《2.3 幂函数》 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
第二章 基本初等函数
2.3 幂函数
教学目标：
我们先来看几个具体的问题:
1、如果圣诞节卡片每张1元，那么买 张卡片需 元，则 与 的关系是什么？　
2、如果正方形的边长为 ，面积为 ，则 与 的关系是什么？
3、如果正方形的边长为 ，体积为 ，则 与 的关系是什么？
4、如果正方形的面积为 ，边长为 ，则 与 的关系是什么？
5、如果某人 秒骑车行了1km，他骑车的平均速度为 ，则 与 的关系是什么？
想一想
以上问题中的函数具有什么共同特征

共同特征：
1、指数为常数；
2、均是以自变量为底的幂；
[定义:]
一般地，函数　　　 叫做幂函数 ，
其中 为自变量，　为常数。
注意:幂函数的解析式必须是 的形式，　　　　　 　　　　其特征可归纳为“两个1:系数为１，只有1项”．
你能说出幂函数与指数函数的区别吗
指数函数：解析式 ，底数为常数a，（a>0
且a≠1），指数为自变量x；
幂函数：解析式 ，底数为自变量x，
指数为常数α， α∈R；
议 一 议
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4
(3) y= -x2
(5) y=2x
(6) y=x3+2
做一做
下面研究幂函数 的图象
在同一平面直角坐标系内作出这五个幂函数的图象.
试一试
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
… -27 -8 -1 0 1 8 27 …
… \ \ \ 0 1 …
… -1/3 -1/2 -1 \ 1 1/2 1/3 …
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-6
-4
-2
2
4
6
y=
x
1
2
y=
x
3
y=
x
2
y=x
(4,2)
(-2,4)
(2,4)
(-1,1)
(-1,-1)
(1,1)
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-6
-4
-2
2
4
6
y=
x
-1
y=
x
1
2
y=
x
3
y=
x
2
y=x
(4,2)
(-2,4)
(2,4)
(-1,1)
(-1,-1)
(1,1)
议 一 议
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点 R
R
R
R
R
［0,+∞）
［0,+∞）
［0,+∞）
{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇
奇
奇
偶
非奇
非偶
在 R上增
在 R
上增
在（-∞，0)
上减
在(0，+∞)
上减
在[ 0，+∞)
上增
(1,1)
在（-∞，0 ]
上减
在[ 0，+∞)
上增
不管指数是多少,图象都经过哪个定点
图象都经过点（1，1）
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-6
-4
-2
2
4
6
y=
x
-1
y=
x
1
2
y=
x
3
y=
x
2
y=x
(4,2)
(-2,4)
(2,4)
(-1,1)
(-1,-1)
(1,1)
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系
在第一象限内，
当a>0时，图象随x增大而上升。
当a<0时，图象随x增大而下降。
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-6
-4
-2
2
4
6
y=
x
-1
y=
x
1
2
y=
x
3
y=
x
2
y=x
(4,2)
(-2,4)
(2,4)
(-1,1)
(-1,-1)
(1,1)
　(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1);
　(2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数；
　(3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数；
幂函数的性质
归纳
例1 如果函数 是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数 的集合。
解:依题意得
检验：当 时，函数为
符合题意；
当 时，函数为
不符合题意，舍去.
所以，
例题解析
例2 证明幂函数 在［0，+∞）上是
增函数.
例题解析
证明:任取
所以幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
课堂练习
1、下列结论正确的是(　　)
A．幂函数图象一定过原点
B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数
C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数
D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数
答案：　D
课堂练习
2、利用单调性判断下列各值的大小
课堂练习
3、求下列幂函数的定义域，并判断其奇偶性
幂函数
定义
五个特殊幂函数
图象
基本性质
本节知识结构:
课堂小结：