人教新课标高中数学B版必修1《2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教新课标高中数学B版必修1《2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 32.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-23 15:50:27 | ||
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文档简介
《2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》
本节选自《普通高中课程标准实验教科书 数学1》人教B版2.4.，主要是分析函数与方程的关系．教材分两步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；
本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．本节课以“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．
学生学习情况分析
同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤。
设计理念
本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．
教学目标
1．了解二分法是求方程近似解的一种方法．
2．会用二分法求给定精确度的方程的近似解．
3．在具体问题情境中感受逐步逼近的过程．
4．培养学生观察、分析数据的能力．
5．培养学生合作与交流的意识和对新知探求的精神．
教学重点与难点
重点：二分 法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解．
难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解．
教学方法与教学手段
教学方法：“问题驱动”，启发、探究
学法：自主探究、分组合作、辨析讨论、深化理解
教辅工具：计算机、投影仪、计算器
教学过程
1．设置情境，提出问题
问题1：函数的零点的定义
设计意图
让学生进一步理解函数与方程的关系。引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲．
问题2：求下列函数的零点？
设计意图
引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲
2．自主探究，获得新知
零点存在性定理（教材P72）
如果函数y= f(x) 在区间[a，b]上的图像不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 ，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点 ，使 。
变号零点：如果函数图像通过零点时穿过 轴，则称这样的零点为变号零点。
例1. 求函数f(x)=x3+x2－2x－2的一个正实数零点（精确到0.1）。
探究1：怎样确定零点所在的区间？
试值法：
由于f(1)=－2<0，f(2)=6>0，可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间。
探究2：怎样缩小解所在的区间？
幸运52中猜商品价格环节，让学生思考：
(1)主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？
(2)如何猜才能最快猜出商品的价格？
设计意图
在学生“最近发展区”设置问题，搭建平台，拉近数学与现实的距离 ，不仅激发学 生学习兴趣，学生也在猜测的过程中逐步体会二分法思想．
问题3：为什么要取中点，好处是什么？
设计意图
体会二分法的辩证思想．
探究3：区间缩小到什么程度满足要求？
设计意图
利用计算器进行了多次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学上的难点，提高了探究活动的有效性．
问题4：精确度0.1指的是什么？与精确到0.1一样吗？
通过对以上问题的探究，给出二分法的定义就水到渠成了．
二分法的定义：
对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a) f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3.例题剖析，总结用二分法求零点近似值的步骤
设计意图：由特殊到一般学生更易接受，符合学生的认知规律。
用二分法求零点近似值的步骤：
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a) f(b)＜0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a) f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c) f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
二分法求方程近似解的口诀:
定区间，找中点，中值计算两边看;
同号去，异号算，零点落在异号间;
周而复始怎么办 精确度上来判断
设计意图：通俗易懂，便于学生理解记忆。
4．检验成果，巩固提升
思维升华：在零点的附近连续且f(a) f(b)＜0.
2、用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈_____，第二次应计算_______。（填上横线上应填的内容。）
3．已知函数的图象是不间断的，x、的对应关系见下表，则函数存在零点的区间有（ ）
x 1 2 3 4 5 6
6 5 -3 10 -5 -23
4.用二分法求函数f(x)=x3-x-2在区间[1，2]内的 一个零点.（精确到0.1）
6．回顾反思
本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？还有什么疑问？
预设课堂生成问题(有些同学可能会有这样的疑惑，若没有就作为课下拓展留给学生思考)．
七、知识迁移
问题：回忆用二分法求方程的近似解的步骤中，缩小零点所在的区间的步骤是否可以进行重复，如果给定精确度后重复的步骤是否是有限次的？
设计意图
初步介绍算法思想，为必修3的算法教学埋下伏笔．
作业：卷子
本节选自《普通高中课程标准实验教科书 数学1》人教B版2.4.，主要是分析函数与方程的关系．教材分两步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；
本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．本节课以“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．
学生学习情况分析
同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤。
设计理念
本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．
教学目标
1．了解二分法是求方程近似解的一种方法．
2．会用二分法求给定精确度的方程的近似解．
3．在具体问题情境中感受逐步逼近的过程．
4．培养学生观察、分析数据的能力．
5．培养学生合作与交流的意识和对新知探求的精神．
教学重点与难点
重点：二分 法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解．
难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解．
教学方法与教学手段
教学方法：“问题驱动”，启发、探究
学法：自主探究、分组合作、辨析讨论、深化理解
教辅工具：计算机、投影仪、计算器
教学过程
1．设置情境，提出问题
问题1：函数的零点的定义
设计意图
让学生进一步理解函数与方程的关系。引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲．
问题2：求下列函数的零点？
设计意图
引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲
2．自主探究，获得新知
零点存在性定理（教材P72）
如果函数y= f(x) 在区间[a，b]上的图像不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 ，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点 ，使 。
变号零点：如果函数图像通过零点时穿过 轴，则称这样的零点为变号零点。
例1. 求函数f(x)=x3+x2－2x－2的一个正实数零点（精确到0.1）。
探究1：怎样确定零点所在的区间？
试值法：
由于f(1)=－2<0，f(2)=6>0，可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间。
探究2：怎样缩小解所在的区间？
幸运52中猜商品价格环节，让学生思考：
(1)主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？
(2)如何猜才能最快猜出商品的价格？
设计意图
在学生“最近发展区”设置问题，搭建平台，拉近数学与现实的距离 ，不仅激发学 生学习兴趣，学生也在猜测的过程中逐步体会二分法思想．
问题3：为什么要取中点，好处是什么？
设计意图
体会二分法的辩证思想．
探究3：区间缩小到什么程度满足要求？
设计意图
利用计算器进行了多次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学上的难点，提高了探究活动的有效性．
问题4：精确度0.1指的是什么？与精确到0.1一样吗？
通过对以上问题的探究，给出二分法的定义就水到渠成了．
二分法的定义：
对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a) f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3.例题剖析，总结用二分法求零点近似值的步骤
设计意图：由特殊到一般学生更易接受，符合学生的认知规律。
用二分法求零点近似值的步骤：
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a) f(b)＜0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a) f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c) f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
二分法求方程近似解的口诀:
定区间，找中点，中值计算两边看;
同号去，异号算，零点落在异号间;
周而复始怎么办 精确度上来判断
设计意图：通俗易懂，便于学生理解记忆。
4．检验成果，巩固提升
思维升华：在零点的附近连续且f(a) f(b)＜0.
2、用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈_____，第二次应计算_______。（填上横线上应填的内容。）
3．已知函数的图象是不间断的，x、的对应关系见下表，则函数存在零点的区间有（ ）
x 1 2 3 4 5 6
6 5 -3 10 -5 -23
4.用二分法求函数f(x)=x3-x-2在区间[1，2]内的 一个零点.（精确到0.1）
6．回顾反思
本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？还有什么疑问？
预设课堂生成问题(有些同学可能会有这样的疑惑，若没有就作为课下拓展留给学生思考)．
七、知识迁移
问题：回忆用二分法求方程的近似解的步骤中，缩小零点所在的区间的步骤是否可以进行重复，如果给定精确度后重复的步骤是否是有限次的？
设计意图
初步介绍算法思想，为必修3的算法教学埋下伏笔．
作业：卷子