人教新课标高中数学B版必修1《3.3 幂函数》 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
3.3　幂函数
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1.幂函数的定义
一般地,我们把形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自变量,α为常数.
关于定义的理解:
①幂的底数是自变量;
②幂的指数是一个常数,它可以取任意实数;
③幂值前面的系数是1,否则不是幂函数;
④幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义域也不同.
名师点拨判断函数是否为幂函数时要根据定义,即xα的系数为1,指数位置的α为一个常数,且常数项为0,或者经过变形后满足条件的均可.
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【做一做1-1】 下列函数是幂函数的是(　　)
解析:幂函数必须符合y=xα(α为常数)的形式.
答案:D
【做一做1-2】 若函数y=(k2-k+1)x3是幂函数,则实数k的值是(　　)
A.0 B.1
C.0或1 D.k≠0,且k≠1
解析:由幂函数的定义可知k2-k+1=1,解得k=0或k=1.
答案:C
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已知幂函数的图象特征或性质求解析式时,常用待定系数法.判断幂函数y=xα的单调性时,通常借助其指数α的符号来分析.
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答案:B
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答案:C
一、详述幂函数的定义和定义域
剖析:(1)幂函数具有严格的形式,形如y=mxα,y=(mx)α,y=xα+m,y=(x+m)α(以上m均为不等于零的常数)的函数都不是幂函数,二次函数中只有y=x2是幂函数,其他的二次函数都不是幂函数,尤其要区分开y=x0与y=1,要知道y=1是函数,但不是幂函数;y=x0是幂函数.
(2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量.
二、幂函数的图象与性质
剖析:(1)幂函数的图象
幂函数的图象与其他函数相比,在理解和记忆上都比较困难.主要因为幂函数图象的位置和形状变化复杂,只要指数稍有不同,图象的位置和形状就可能发生很大的变化,所以有必要对幂函数的图象分布进行一番考查.
考查或作幂函数图象须考虑以下几个方面:
①定义域:有x∈R,x≠0,x≥0,x>0四种情况.
②奇偶性.
③单调性:侧重点在第一象限.当指数α>0时,尤其要注意以(0,0)和(1,1)两点为对角顶点的正方形内部的情况.
④曲线类型:分直线型、抛物线型、双曲线型和拐线型等情况.
(2)幂函数的性质
①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1);
②若α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数;
③若α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴;当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴.
三、教材中的“思考与讨论”
(1)在幂函数y=xα中,如果α是正偶数(α=2n,n为非零自然数),如α=2,4,6,…,这一类函数具有哪些重要性质
(2)在幂函数y=xα中,如果α是正奇数(α=2n-1,n为非零自然数),如α=1,3,5,…,这一类函数具有哪些重要性质
(3)幂函数y=xα,x∈[0,+∞),α>1与0<α<1的图象有何不同
剖析:(1)重要性质:①定义域为R,图象都经过(-1,1),(0,0),(1,1)三点;②函数的图象关于y轴对称,即函数为偶函数;③函数在(-∞,0]上为减函数,在[0,+∞)上为增函数.
(2)重要性质:①定义域、值域为R,图象都经过(-1,-1),(0,0),(1,1)三点;②函数的图象关于原点对称,即函数为奇函数;③函数在R上单调递增.
(3)两者图象的区别和联系:无论α>1还是0<α<1,函数y=xα在[0,+∞)上的图象都是单调递增的,但在[0,1]上前者比后者增长得慢,在(1,+∞)上前者比后者增长得快.
题型一
题型二
题型三
题型四
答案:(1)①⑤　(2)2
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是(　　)
A.bB.bC.aD.a题型一
题型二
题型三
题型四
解析:方法一(性质法):
由幂函数的性质可知,当自变量x>1时,幂指数大的函数的函数值较大,故有b>c>d>a.
方法二(类比法):
当x趋于正无穷时,函数y=xa图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴,类似于典型幂函数y=x-1,故a<0.
函数y=xb在区间[0,+∞)上是增函数,图象下凸,类似于函数y=x2,故b>1.
故0题型一
题型二
题型三
题型四
方法三(特殊值法):
作直线x=2,由图象可知2a<2d<2c<2b,由指数函数的性质可知a答案:D
反思幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1右侧,按“逆时针”方向,图象所对应的幂指数依次增大,即“指大图高”.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思解以上例题的关键在于适当选取某一个函数.函数选得恰当,解决问题就简单.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思通过本题,我们必须牢记常见幂函数的主要性质和图象,并且还说明了函数的单调性是针对某一确定区间而言的,不能随便取并集.
题型一
题型二
题型三
题型四
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
2若幂函数的图象过点(2,4),则它的单调递增区间是 (　　)
A.(2,+∞) B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞) D.(-∞,0)
解析:设f(x)=xα,由2α=4,得α=2,
故f(x)=x2,其单调递增区间为[0,+∞).
答案:B
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3下列命题中正确的是(　　)
A.当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)
C.若幂函数y=xα是奇函数,则y=xα是定义域上的增函数
D.幂函数的图象不可能出现在第四象限
答案:D
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4如图给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是(　　)
答案:B
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答案:(1)>　(2)<
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