人教新课标高中数学B版必修1《3.2.3 指数函数与对数函数的关系》 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
3.2.3 指数函数与对数
函数的关系
知识与技能：
1、知识目标：
使学生能正确比较指数函数和对数函数性质关系，能以它们为例
对反函数进行解释和直观理解。
2、能力目标：
从观察图像到引出概念，培养学生观察、分析、探究问题的能力，
数形结合思想的运用能力，提高由特殊到一般的归纳概括能力。
情感、态度与价值观：
引导学生发现指数函数与对数函数的对立统一关系，并欣赏数形
和谐的对称美。
重点与难点：
1、重点：对指数函数和对数函数性质关系的比较，及对反函数
概念的理解。
2、难点：反函数的概念。
问题1：以上图片有一个共同特点，是什么？
一、新课引入（发现对称）：
0
1
1
x
y
o
1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-2
-3
3
2
1
结论？
问题2：观察两个对应值表、两组点的坐标、两组点的位置、两个函数图像之间的关系？通过对比你得到什么结论？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 …
x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 …
y … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
表1 y=2x
表2 y=log2x
0
1
1
y=x
问题3：关于y=x对称的两个点的坐标有什么关系？
问题4：同底的指数函数与对数函数图像有什么关系？
二、新课讲授（解释对称）：
问题５：指数函数　　　　　　　　　与
对数函数　　　　　　　　　　有何内在联系？
互化
x、y互换
探究：这种关系是否具有一般性？
强调：指数式与对数式互化图像不变，ｘ，ｙ互换引起图像关于直线ｙ＝ｘ对称
问题6：第一步变换有没有引起图像变化？为什么？
问题7：第二步变换有没有引起图像变化？为什么？
结论？
互化
x、y互换
指数函数与对数函数之间的这种关系并不是
它们所特有的，有大量的函数之间具有这种
关系。我们称它们互为反函数。
反函数的定义：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。
函数y=f(x)(x∈A)的反函数.
三、明确定义：
记：y= f －1 ( x )
（1） 反函数的定义域与值域正好是原来函数的值
域与定义域。如： 不是函数 的反
函数，因为前者的值域显然不是后者的定义域。
（3） 反函数也是函数，因为他们符合函数的定义。
（2） 对任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数；只有当确定一个函数的映射是一一映射时，这个函数才存在反函数。如果有反函数，那么原来函数也是反函数的反函数，即他们互为反函数
概念深化：
问题8：如何求函数的反函数？
求反函数的方法步骤：
1）求出原函数的值域；即求出反函数的定义域；
2）由 y = f ( x ) 反解出 x = f －1 ( y )；即把 x 用 y 表 示出来；
3）将 x = f －1 ( y ) 改写成 y = f －1 ( x )，并写出反函数的定义域；即对调 x = f －1 ( y ) 中的 x、y.
[例1] 求下列函数的反函数：
首先,将y = (x)看作方程,解出x= -1(y) (y∈C);
其次，将x,y互换,得到y= -1(x) (x∈C) .
最后,指出反函数的定义域
结论
四、巩固训练，加深概念：
同底的指数函数与对数函数互为反函数
( )
A. y轴对称 B. x轴对称
C. 原点对称 D. 直线y＝x对称
[例2]函数y＝3x的图象与函数y＝log3x的
图象关于
D
结论
函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数
y = f －1 ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称。
[例3] 已知函数 .
（
求证函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
因f(x)的反函数与原函数相同,故结论成立.
证明：
探究：如何证明一个函数的图象本身关于直线y=x对称？
结论
证明一个函数的图象关于直线y=x对称，
只需说明它的反函数与原函数相同
[例4]函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1)的反函数的图象
经过点(1, 4)，求a的值.
若函数y＝f(x)的图象经过点(a, b)，
则其反函数的图象经过点(b, a).
结论？
解:依题意,得
若函数y=f（x）存在反函数，
且f-1（a）=b，则f（b）=a
结论？
互为反函数的两个函数定义域、值域互换。
练习：求下列函数的反函数：
x 0 1 2 3
y 0 1 4 9
问题9：练习中函数与函数
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
比较，有何异同？
结论？
只有一一映射的函数才有反函数
五、互为反函数的函数图象增减速度比较：
问题10：两个函数图象
在第一象限增长速度有
何关系？
归纳小结：同底的指数函数和对数函数性质关系对照表：
性质 性质关系
图像 1.关于y=x对称
定义域
值域
特殊点
单调性
增减速度
指数
指数
指数
指数
对数
对数
对数
对数
2.定义域、值域
互换
3.横、纵坐标互换
4.单调性不变
5.增减速度一快一慢
注意：同底的指数函数和对数函数性质关系，也体现了
所有互为反函数的两函数间性质关系
布置作业：
1.教材第106页练习A第2题；第107页练习B第1、2题；
2.教材第118页“思考与交流”的第6题
课后思考：
1.为什么同底的指数函数和对数函数单调性一致？
2.为什么同底的指数函数和对数函数增减速度一快一慢？
提示：运用函数单调性定义和反函数定义解释