1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题： 线面角（中档） 同步练习（Word版含解析）

《空间向量》专题9-1 线面角（中档）
（4套，4页，含答案）
如图(1)，在边长为2的正方形ABCD中，E是边AB的中点．将△ADE沿DE折起，如图(2)，F是折叠后AC的中点．
(Ⅰ)求证：BF∥平面ADE；
(Ⅱ)若平面ADE⊥平面BCDE，求BF与平面ABD所成角的正弦值．[endnoteRef:0]
[0: 答案：证明略，；
【解析】(Ⅰ)取AD中点G，连结EG，FG，
∵F为AC中点， ∴FG綊CD，BE綊CD
∴FG綊BE，从而四边形EBFG是平行四边形．(3分)
∴BF∥EG，又BF?平面ADE，EG?平面ADE，
∴BF ∥平面ADE.(5分)
(Ⅱ) 如图所示以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，在图(1)中作AH⊥DE于H，易求得EH＝，AH＝，
作HN⊥AE于N，HM⊥BC于M，则HN＝，HM＝，
所以A.(7分)
而B(0，0，0)，D(2，2，0)，则＝，＝(2，2，0)．
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则?
解得一个法向量为n＝(－，，－2)．(9分)
又C(2，0，0)，∴F，∴＝，
∵cos〈n，〉＝＝－.
∴BF与平面ABD所成角的正弦值为.(12分)
]
如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为棱A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中，M更靠近D，且MN＝C1N.
（1）证明：A1E⊥平面AC1D；
（2）若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求异面直线BM与NE所成角的余弦值.[endnoteRef:1]
[1: 答案：证明略，；
（1）证明：由已知得为正三角形，为棱的中点，
∴，
在正三棱柱中，底面，则.
又，∴平面，∴.
易证，又，∴平面.
（2）解：取的中点，的中点，则，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，
则，
易知是平面的一个法向量，
∴，解得.
∴，，，，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
]
《空间向量》专题9-2 线面角（中档）
如图（1）五边形ABCDE中，ED＝EA，AB//CD，CD＝2AB，∠EDC＝150°，将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P－ABCD，如图（2），点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD.
（1）求证：BM//平面PAD.
（2）若直线PC，AB与所成角的正切值为，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值.[endnoteRef:2]
[2: 答案：证明略，；
（1）证明：取的中点，连接，则，
又，所以，………………………………2分
则四边形为平行四边形，所以，……………………………………3分
又因为面
所以平面……………………………………………………………………5分
（2）又平面，
∴平面，∴.
由即及为的中点，可得为等边三角形，
∴，又，∴，∴，
∴平面平面，
∴平面平面.………………………………………………………………6分
，∴为直线与所成的角，
由（1）可得，∴，∴，
设，则，
取的中点，连接，过作的平行线，
可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，…………………………………………………………………9分
所以，
设为平面的法向量，则，即，
取，则为平面的一个法向量，
∵，
则直线与平面所成角的正弦值为.………………………………12分
]
如图四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝PD＝4，CD＝2，，M为CD的中点，N为PB上一点，且。
（1）若MN∥平面PAD；
（2）若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为，求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值。
《空间向量》专题9-3 线面角（中档）
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，
EF＝AD＝AB．
（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；
（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．[endnoteRef:3]
[3: 答案：N是CF的中点，；
解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．
证明：连结AC交BD于M，连结MN．
∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，
∵N是CF的中点，
∴MN∥AF，又AF 平面BDN，MN 平面BDN，
∴AF∥平面BDN．
（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P为BC的中点．
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD＝1，则BF＝1，FP＝，∵EF＝＝1，∴OP＝（AB﹣EF）＝，∴OF＝．
∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，），N（﹣，，）．
∴＝（0，2，0），＝（﹣，，），＝（﹣，﹣，）．
设平面ABF的法向量为＝（x，y，z），则，
∴，令z＝得＝（2，0，），
∴＝﹣1，||＝，||＝．
∴cos＜，＞＝＝﹣．
∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos＜，＞|＝．
]
如图1，在高为2的梯形ABCD中，AB//CD，AB＝2，CD＝5，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F已知DE＝1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，得空间几何体ADE－BCF，如图2．
（1）若AF⊥BD，证明：DE⊥BE；
（2）若DE//CF，，在线段AB上是否存在点P使得CP与平面ACD所成角的正弦值为？并说明理由．[endnoteRef:4]
[4: 答案：证明略，P为AB的中点；
证明：Ⅰ由已知得四边形ABEF是正方形，且边长为2，在图2中，，
由已知得平面BDE，
又平面，又平面ABEF，
又平面，
解：Ⅱ当P为AB的中点时满足条件在图2中，，即面DEFC，过E作交DC于点G，可知两两垂直，以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系分
则
设平面ACD的一个法向量为，则，
得分
设，则，可得．
设CP与平面ACD所成的角为，则
分，
所以P为AB的中点时满足条件分

Ⅰ由已知得四边形ABEF是正方形，且边长为2，取BE与AF的交点为O，推导出，从而平面BDE，进而，再由，得平面ABEF，从而，
Ⅱ以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
求得平面ACD的一个法向量为，设，则，可得．
设CP与平面ACD所成的角为，则，即可
本题考查了空间线线垂直，空间线面角，属于中档题．]
《空间向量》专题9-4 线面角（中档）
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB＝∠A1AD＝60°.
（1）求证：BD⊥CC1；
（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．[endnoteRef:5]
[5: 答案：证明略，当为的中点时；
解：（1）连接，，，
因为，，
所以和均为正三角形，
于是．
设与的交点为，连接，则，
又四边形是正方形，所以，
而，所以平面，
又平面，所以，
又，所以．
（2）由，及，知，
于是，从而，
结合，，
得底面，
所以、、两两垂直．
如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
由，易求得．
设（），则，即．　
设平面的一个法向量为，
由得令，得，
设直线与平面所成角为，则，
解得或（舍去）.
所以当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为.
]
直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，E是AC的中点，F是线段AB上一个动点，且，如图所示，沿BE将△CEB翻折至△DEB，使得平面DEB⊥平面ABE．
（1）当时，证明：BD⊥平面DEF；
（2）是否存在λ，使得DF与平面ADE所成的角的正弦值是？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．[endnoteRef:6]
[6: 答案：证明略，；
证明：（1）在中，，即，则，
取的中点，连接交于，当时，是的中点，
而是的中点，所以是的中位线，所以，
在中，是的中点，所以是的中点，
在中，，
所以，则，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以．
而，所以平面；
（2）以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，
由（1）知是的中点，，又平面平面，
所以平面，则，
假设存在满足题意的，则由，
可得，
则，设平面的一个法向量为，
则即，
令，可得，即，
所以与平面所成的角的正弦值，
解得或3（舍去），
综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为．
]