浙江省宁波市2012-2013学年三校联考高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

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2012-2013学年浙江省宁波市三校联考高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）若集合M={﹣1，0，1}，N={y|y=sinx，x∈M}，则M∩N=（　　）
　 A． {1} B． {0} C． {﹣1} D． {﹣1，0，1}
考点： 交集及其运算．
专题： 计算题．
分析： 先求出集合N，再进行交集运算即可．
解答： 解：N={﹣sin1，0，sin1}，∴M∩N={0}故选B
点评： 本题考查交集及其运算．
　
2．（3分）（2009 湛江一模）命题p： x∈[0，+∞），（log32）x≤1，则（　　）
　 A． p是假命题，￢p： x0∈[0，+∞），（log32）x0＞1
　 B． p是假命题，￢p： x∈[0，+∞），（log32）x＞1
　 C． p是真命题，￢p： x0∈[0，+∞），（log32）x0＞1
　 D． p是真命题，￢p： x∈[0，+∞），（log32）x≥1
考点： 命题的否定．
专题： 计算题．
分析： 利用指数函数的单调性判断出命题p是真命题；据含量词的命题的否定形式写出否命题．
解答： 解：：∵0＜log32＜1∴ x∈[0，+∞），（log32）x≤1成立即命题p是真命题 x∈[0，+∞），（log32）x≤1的否定故选C
点评： 本题考查含量词的命题的否定形式：是量词任意和存在互换，结论否定．
　
3．（3分）幂函数f（x）=xα的图象过点（2，4），那么函数f（x）的单调递增区间是（　　）
　 A． （﹣2，+∞） B． [﹣1，+∞） C． [0，+∞） D． （﹣∞，﹣2）
考点： 幂函数的性质．
专题： 计算题．
分析： 利用点在幂函数的图象上，求出α的值，然后求出幂函数的单调增区间．
解答： 解：幂函数f（x）=xα的图象过点（2，4），所以4=2α，即 α=2，所以幂函数为f（x）=x2它的单调递增区间是：[0，+∞）故选C．
点评： 本题考查求幂函数的解析式，幂函数的单调性，是基础题．
　
4．（3分）已知集合S={x∈N|﹣2＜x﹣1＜4，且x≠1}，则集合S的真子集的个数是（　　）
　 A． 32 B． 31 C． 16 D． 15
考点： 子集与真子集．
专题： 计算题．
分析： 根据题意，首先求得S，可得其中有4个元素，由集合的元素数目与子集数目的关系，可得其子集的数目，再排除其本身后，可得答案．
解答： 解：根据题意，﹣2＜x﹣1＜4可化为﹣1＜x＜5；则集合S={x∈N|﹣2＜x﹣1＜4，且x≠1}={x|﹣1＜x＜5}={0，2，3，4}；其子集共24﹣1=16﹣1=15个；故选D．
点评： 本题考查集合的元素数目与子集数目的关系，若一个集合有n个元素，则其由2n个子集，但其中包括本身与 ．
　
5．（3分）若f（x）=（a+1）x2+（a﹣2）x+a2﹣a﹣2是偶函数，则a=（　　）
　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 函数奇偶性的判断．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 由f（x）=（a+1）x2+（a﹣2）x+a2﹣a﹣2是偶函数，知f（﹣x）=f（x），由此能求出a的值．
解答： 解：∵f（x）=（a+1）x2+（a﹣2）x+a2﹣a﹣2是偶函数，∴f（﹣x）=（a+1）x2﹣（a﹣2）x+a2﹣a﹣2=（a+1）x2+（a﹣2）x+a2﹣a﹣2，∴a﹣2=0，解得a=2．故选B．
点评： 本题考查函数的奇偶性的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
　
6．（3分）（2009 江西）设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（　　）
　 A． 4 B． ﹣ C． 2 D． ﹣
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率．
专题： 计算题．
分析： 欲求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率，即求f′（1），先求出f′（x），然后根据曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1求出g′（1），从而得到f′（x）的解析式，即可求出所求．
解答： 解：f′（x）=g′（x）+2x．∵y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，∴g′（1）=2，∴f′（1）=g′（1）+2×1=2+2=4，∴y=f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为4．故选A．
点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题．
　
7．（3分）函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象如图所示，则等于（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 利用导数研究函数的极值．
专题： 综合题．
分析： 由图象知f（x）=0的根为﹣1，0，2，求出函数解析式，x1和x2是函数f（x）的极值点，故有x1和x2 是f′（x）=0的根，可结合根与系数求解．
解答： 解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，由图象知，﹣1+b﹣c+d=0，0+0+0+d=0，8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2 ∴f′（x）=3x2+2bx+c=3x2﹣2x﹣2． 由题意有x1和x2是函数f（x）的极值点，故有x1和x2 是f′（x）=0的根，∴x1+x2=，x1 x2=﹣．则x12+x22 =（x1+x2）2﹣2x1 x2=+=，故答案为：．
点评： 本题考查一元二次方程根的分布，根与系数的关系，函数在某点取的极值的条件，以及求函数的导数，属中档题．
　
8．（3分）已知命题p：函数y=log 0.5（x2+2x+a）的值域为R，命题q：函数y=（x﹣a）2在（2，+∞）上是增函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（　　）
　 A． a＜1或a≥2 B． a≤2 C． 1＜a≤2 D． a≤1
考点： 复合命题的真假．
专题： 计算题．
分析： 由题意可得p，q分别对应的a的范围，由命题的真假可知p，q一真一假，由集合的交并运算可得答案．
解答： 解：由函数y=log 0.5（x2+2x+a）的值域为R，可得△=4﹣4a≥0，解得a≤1，由函数y=（x﹣a）2在（2，+∞）上是增函数，可得a≤2．因为p或q为真命题，p且q为假命题，所以p，q一真一假，当p真q假时，可得a≤1，当p假q真时，可得1＜a≤2，综上可得a≤2故选B
点评： 本题考查复合命题的真假，涉及函数的值域和单调性，属基础题．
　
9．（3分）（2005 安徽）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（　　）
　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 利用导数研究函数的极值．
专题： 计算题．
分析： 因为f（x）在x=﹣3是取极值，则求出f′（x）得到f′（﹣3）=0解出求出a即可．
解答： 解：∵f′（x）=3x2+2ax+3，又f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=30﹣6a=0则a=5．故选D
点评： 考查学生利用导数研究函数极值的能力．
　
10．（3分）函数f（x）=（x3+1）（x3+2）…（x3+100）在x=﹣1处的导数值为（　　）
　 A． 0 B． 100! C． 3 99! D． 3 100!
考点： 导数的运算．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 本题对100个因式的乘积求导，只有对第一个因式求导时不再含有因式x3+1，而对剩下的每个因式求导时都含有因式x3+1，据此可计算出导数值．
解答： 解：∵f（x）=（x3+1）（x3+2）…（x3+100），∴f′（x）=3x2（x3+2）（x3+3）…（x3+100）+3x2（x3+1）×…，∴f′（﹣1）=3×99!+0=3×99!．故选C．
点评： 本题考查求导函数的值，弄清导数的特点是计算的前提．
　
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．（3分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（ UA）∩B　{x|x＜1}　．
考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 规律型．
分析： 先将集合A，B进行化简，确定集合A，B的元素，然后利用补集和交集，进行交补运算．
解答： 解：因为A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|x＜1}，所以 UA=y|y≤1}，所以（ UA）∩B={x|x＜1}．故答案为：{x|x＜1}．
点评： 本题的考点是集合的交集和补集运算．先将集合进行化简是解决本题的关键．
　
12．（3分）幂函数f（x）的图象过点（3，），则f（x）的解析式是
　f（x）=　．
考点： 幂函数的单调性、奇偶性及其应用．
专题： 待定系数法．
分析： 幂函数f（x）的图象过点（3，），故可根据幂函数的定义用待定系数法设出函数的解析式，代入所给点的坐标求参数，由此可得函数的解析式．
解答： 解：由题意设f（x）=xa，∵幂函数f（x）的图象过点（3，），∴f（3）=3a=∴a=∴f（x）=故答案为：f（x）=
点评： 本题的考点是幂函数的单调性、奇偶性及其应用，考查用待定系数法求已知函数类型的函数的解析式，待定系数法求解析式是求函数解析式的常用方法，主要用求函数类型已知的函数的解析式．
　
13．（3分）（2006 上海）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数．当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣x4，则当x∈（0，+∞）时，f（x）=　﹣x4﹣x　．
考点： 函数奇偶性的性质．
专题： 计算题；转化思想．
分析： 先设x∈（0，+∞）得﹣x∈（﹣∞，0），代入已知的解析式求出f（﹣x），再由偶函数的关系式f（x）=f（﹣x）求出．
解答： 解：设x∈（0，+∞），则﹣x∈（﹣∞，0），∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣x4，∴f（﹣x）=﹣x﹣x4，∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=﹣x﹣x4，故答案为：﹣x4﹣x．
点评： 本题考查了利用函数奇偶性求函数的解析式，即求谁设谁，利用负号转化到已知范围内，求出f（﹣x）的关系式，再利用偶函数的关系式求出f（x）的表达式，考查了转化思想．
　
14．（3分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则a b=　﹣44　．
考点： 利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．
专题： 导数的综合应用．
分析： 求出导函数，令导函数在1处的值为0；f（x）在1处的值为10，列出方程组求出a，b的值，注意检验．
解答： 解：f′（x）=3x2+2ax+b，由题意得，f′（1）=3+2a+b=0①，f（1）=1+a+b+a2=10②，联立①②解得或，当a=﹣3，b=3时，f′（x）=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2，x＜1或x＞1时，f′（x）＞0，所以x=1不为极值点，不合题意；经检验，a=4，b=﹣11符合题意，所以ab=﹣44，故答案为：﹣44．
点评： 本题考查利用导数研究函数的极值，可导函数f（x）在x=x0处取得极值的充要条件是f′（x0）=0，且在x0左右两侧导数异号．
　
15．（3分）（2012 河南模拟）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为　2　．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 计算题．
分析： 切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．三个方程联立即可求出a的值．
解答： 解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵切线方程y=x+1的斜率为1，即 ，∴x0+a=1，∴y0=0，x0=﹣1，∴a=2．故答案为：2
点评： 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．学生在解方程时注意利用消元的数学思想．
　
16．（3分）已知集合A={x|（x2+ax+b）（x﹣1）=0}，集合B满足条件：A∩B={1，2}，A∩（CUB）={3}，U=R，则a+b等于　1　．
考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 探究型．
分析： 先根据条件A∩B={1，2}，A∩（CUB）={3}，确定集合A的元素，然后代入方程求a，b．
解答： 解：因为A∩B={1，2}，所以1∈A，2∈A．又因为A∩（CUB）={3}，所以3∈A．所以2，3是方程x2+ax+b=0的两个根，所以有根与系数的关系可知2+3=﹣a，2×3=b，解得a=﹣5，b=6，所以a+b=1．故答案为：1
点评： 本题的考点是利用集合的关系判断集合的元素，以及利用根与系数之间的关系求方程系数问题．
　
17．（3分）有下列命题：
①命题“ x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“ x∈R，都有x2+1≤3x”；
②设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q为真命题”；
③若p（x）=ax2+2x+1＞0，则“ x∈R，p（x）是真命题”的充要条件为 a＞1；
④若函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0，f（x）=3x+3x+a，则f（﹣2）=﹣14；
⑤不等式的解集是．
其中所有正确的说法序号是　①②③④　．
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 计算题．
分析： ①根据命题否定的定义对其进行判断；②p为真则￢p为假，反过来p为假，￢p为真，利用此定义进行判断；③对“ x∈R，方程ax2+2x+1＞0，可得判别式小于0，可以推出a的范围；④根据奇函数过点（0，0）求出a值，根据x≥0的解析式，可以求出x＜0时的解析式，把x=﹣2进行代入；⑤解不等式要移项，注意分母不为零，由此进行判断；
解答： 解：①已知命题“ x∈R，使得x2+1＞3x”对其进行否定：“ x∈R，都有x2+1≤3x”，故①正确；②若“p∨q”为假命题，可得p与q都为假命题，则￢p与￢q都为真命题，则“￢p∧￢q为真命题”，故②正确；③“ x∈R，p（x）=ax2+2x+1＞0，可得△＜0，得4﹣4a＜0，得a＞1，故③正确；④函数f（x）为R上的奇函数，可得f（0）=0，推出a=﹣1，得x≥0，f（x）=3x+3x﹣1，令x＜0得﹣x＞0，f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x）=﹣f（x）=3﹣x﹣3x﹣1，f（x）=﹣3﹣x+3x+1，f（﹣2）=﹣32﹣6+1=﹣14；⑤不等式，，可得，从而求解出﹣≤x≤3且x≠1；故⑤错误；故答案为①②③④；
点评： 此题主要考查命题的真假判断，涉及方程根与不等式的关系，不等式的求解问题，奇函数的解析式求法，考查知识点多且全面，是一道综合题；
　
三、解答题（共5小题，满分0分）
18．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且=f（x）﹣f（y）
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣＜2．
考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的性质．
专题： 计算题．
分析： （1）问采用赋值法求出f（1）的值；（2）问首先由f（6）=1分析出f（36）=2，再根据函数的单调性将原不等式转化为一元二次不等式．
解答： 解：（1）解：（1）令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1）=0；∴f（1）=0（2）令x=1则所以因为f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，则解得
点评： 赋值法是解决抽象函数常用的方法．抽象函数是以具体函数为背景的，“任意x＞0，y＞0时，f（x）+f（y）=f（xy）”的背景函数是f（x）=logax（a＞0），我们可以构造背景函数来帮助分析解题思路．
　
19．已知命题p：方程a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有且仅有一解．命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0．若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
考点： 复合命题的真假．
专题： 计算题．
分析： 若命题p真，即方程a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有且仅有一解，可求得﹣2＜a≤﹣1或1≤a＜2；若命题q真，即只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，由△=0可求得a=0或a=2，依题意，命题p和命题q都是假命题，从而可求得a的取值范围．
解答： 解：由a2x2+ax﹣2=0，得（ax+2）（ax﹣1）=0，显然a≠0，∴x=﹣或x=，∵方程a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有且仅有一解，故或∴﹣2＜a≤﹣1或1≤a＜2．只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，∴△=4a2﹣8a=0，解得a=0或a=2．∵命题“p或q”是假命题，∴命题p和命题q都是假命题，∴a的取值范围为{a|a≤﹣2或﹣1＜a＜0或0＜a＜1或a＞2}．
点评： 本题考查复合命题的真假，求得命题p真与命题q真中a的取值范围是关键，考查分析，理解与运算能力，属于中档题．
　
20．（2012 烟台一模）定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数； ②f′（x）是偶函数；③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=4lnx﹣m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 综合题．
分析： （Ⅰ）求出f′（x）=3ax2+2bx+c，由f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，得到f′（1）=3a+2b+c=0，再由函数的奇偶性和切线方程能够求出函数y=f（x）的解析式．（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使4lnx﹣m＜x2﹣1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx﹣x2+1，由此入手，结合题设条件，能够求出实数m的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2+2bx+c∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，∴f′（1）=3a+2b+c=0…①…（1分）由f′（x）是偶函数得：b=0②…（2分）又f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，f′（0）=c=﹣1③…（3分）由①②③得：，即…（4分）（Ⅱ）由已知得：若存在x∈[1，e]，使4lnx﹣m＜x2﹣1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx﹣x2+1设h（x）=4lnx﹣x2+1m＞hmin，对h（x）求导，导数在（0，）大于零，（，e）小于零，即h（x）先递增再递减，当x=．m取最大值+∞，x=e 时，m取最小值5﹣e2．∴实数m的取值范围是（5﹣e2，+∞）．
点评： 本题考查函数解析式的求法和求实数的取值范围，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．
　
21．（2008 湖北）已知函数f（x）=x3+mx2﹣m2x+1（m为常数，且m＞0）有极大值9．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率为﹣5的直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程．
考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程．
专题： 计算题．
分析： （I）求出导函数，求出导函数等于0的两个根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况的表格，求出极大值，列出方程求出m的值．（II）将（I）求出的m的值代入导函数，利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率，令导数等于﹣5，求出x即切点横坐标，将横坐标代入f（x）求出切点坐标，利用直线方程的点斜式写出切线方程．
解答： 解：（Ⅰ）f’（x）=3x2+2mx﹣m2=（x+m）（3x﹣m）=0，则x=﹣m或x=m，当x变化时，f’（x）与f（x）的变化情况如下表：从而可知，当x=﹣m时，函数f（x）取得极大值9，即f（﹣m）=﹣m3+m3+m3+1=9，∴m=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x3+2x2﹣4x+1，依题意知f’（x）=3x2+4x﹣4=﹣5，∴x=﹣1或x=﹣．又f（﹣1）=6，f（﹣）=，所以切线方程为y﹣6=﹣5（x+1），或y﹣=﹣5（x+），即5x+y﹣1=0，或135x+27y﹣23=0．
点评： 本题考查利用导数求函数的极值的步骤：求出导数；令导数为0求出根；列出表格判断根左右两边导函数的符号；求出极值．考查导数的几何意义：导数在切点处的值是曲线的切线斜率．
　
22．已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为x=﹣
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）﹣x2﹣13]|x|，求函数g（x）在[t，2]上的最大值和最小值；
（3）函数y=f（x）的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
考点： 函数与方程的综合运用；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）根据函数对称轴方程为x=﹣，求得b的值，再由f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），求出c的值，从而求得f（x）的解析式；（2）由题意可得 g（x）=（x﹣2） |x|，画出它的图象，讨论t的范围，结合图象求出g（x）在[t，2]上的最值．（3）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n2），从而4n2﹣（2m+1）2=43，由此求得m、n的值，从而得出结论．
解答： 解：（1）∵二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为x=﹣，∴∴b=1，c=11∴f（x）=x2+x+11；（2）g（x）=[f（x）﹣x2﹣13]|x|=（x﹣2）|x|，当x≤0时，g（x）=﹣（x﹣1）2+1，当x＞0时，g（x）=（x﹣1）2﹣1，由此可知g（x）在[t，2]上的最大值 g（x）max=g（2）=0．当1≤t＜2，g（x）min =g（t）=t2﹣2t．当1﹣≤t＜1，g（x）min=g（1）=﹣1．当t＜1﹣，g（x）min=g（t）=﹣t2+2t；3）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n2），其中m为正整数，n为自然数，则m2+m+11=n2，从而4n2﹣（2m+1）2=43，即[2n+（2m+1）][2n﹣（2m+1）]=43．注意到43是质数，且2n+（2m+1）＞2n﹣（2m+1），2n+（2m+1）＞0，所以，解得mm=10，n=11因此，函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）．
点评： 本题主要考查二次函数的性质应用，求二次函数在闭区间上的最值的方法，考查分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．
　
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