课件28张PPT。正余弦定理的复习教学目标：1、进一步熟悉正余弦定理内容;2、能够应用正余弦定理进行边角关系的相互转化;3、能够利用正余弦定理判断三角形的形状;4、能够利用正余弦定理证明三角形中的三角恒等式。教学重点：利用正余弦定理进行边角互换。难点：1、利用正余弦定理进行边角互换时的转化方向2、三角恒等式证明中结论与条件之间 的内在联系的寻求。余弦定理解三角形中常用关系式角平分线性质圆内接四边形对角互补随堂练习圆半径2、在△ABC中，bcosA=acosB,则三角形为
A、直角三角形 B、锐角三角形
C、等腰三角形 D、等边三角形随堂练习圆半径A2、在△ABC中，bcosA=acosB,则三角形为
A、直角三角形 B、锐角三角形
C、等腰三角形 D、等边三角形C3、在△ABC中，若a=6,b=7,c=8,则△ABC的形状是
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、无法确定5、在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB,则△ABC为
A、等边三角形 B、直角三角形
C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形3、在△ABC中，若a=6,b=7,c=8,则△ABC的形状是
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、无法确定AD5、在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB,则△ABC为
A、等边三角形 B、直角三角形
C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形C（事实上，C为钝角，只有C项适合）6、在△ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于
A、30o B、60o C、120o D、150oA、等边三角形 B、直角三角形
C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件6、在△ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于
A、30o B、60o C、120o D、150oA、等边三角形 B、直角三角形
C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件6、在△ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于
A、30o B、60o C、120o D、150oA、等边三角形 B、直角三角形
C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形DCA、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件B10、在△ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB,则△ABC是_______________等腰三角形10、在△ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB,则△ABC是_______________钝角三角形等腰三角形锐（三维）（三维）例2、已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。（例1变式）例2、已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。解：连接BD（例1变式）（三维）（三维）边长和外接圆面积。（例1变式）边长和外接圆面积。（例1变式）试判断三角形的形状。（三维）试判断三角形的形状。三角形ABC是正三角形（三维）例6、根据所给条件，判断三角形ABC的形状。（例1变式）例6、根据所给条件，判断三角形ABC的形状。∴△ABC是等腰三角形或直角三角形（例1变式）例6、根据所给条件，判断三角形ABC的形状。∴△ABC是等腰三角形或直角三角形tanA=tanB=tanC∴△ABC是等边三角形（例1变式）小结1、正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一边)，那么这个三角形一定可解。2、正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决。3、判断三角形的形状，一般考虑从两个方向进行变形。一个方向是边，走代数变形之路，通常正、余弦定理结合使用;另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，要注意边角转化的桥梁----正、余弦定理。4、根据条件选用定理可使解题简便1)已知两角及其中一个角的对边，选用正弦定理，如已知A,B,a解三角形，则用正弦定理。2)已知三边a,b,c,一般选用余弦定理求角3)已知两边和它们的夹角，用余弦定理求第三边再用正弦定理求角。4)已知两边和一边的对角，用正弦定理求一个角，但需要进行讨论，有两解的可能。课件7张PPT。第一章 解三角形正弦定理余弦定理三角函数解三角形应用举例一、知识要点∥一、知识要点一、知识要点3.正弦定理的变形：2.三角形面积公式：BCAabc边化为角角化为边4.余弦定理及其推论：6.利用余弦定理判断三角形的形状：
（1）若A为直角，则a2 = b2+c2
（2）若A为锐角，则a2 < b2+c2
（3）若A为钝角，则a2 > b2+c2一、知识要点角化为边7.解三角形的四种基本类型：二、巩固练习例1.课件21张PPT。本章优化总结 专题探究精讲章末综合检测本章优化总结知识体系网络知识体系网络专题探究精讲在三角形的六个元素中，已知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法如下表：【点评】 (1)应熟练掌握正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用．
(2)三角形解的个数的确定
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解，在解三角形时常用的结论有：
1．在△ABC中，∠A＞∠B?a＞b?sinA＞sinB?cosA＜cosB.【分析】 将条件中的边转化为角或将角转化为边．【点评】 根据所给条件判断三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角，(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化，②通过余弦定理实现边角转换，③通过三角变换找出角之间的关系，④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常见的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，解决的基本思路是画出正确的示意图把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求． 如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD.【分析】 本题是一个实际应用问题，主要问题可能会出现在题目中所述的角度不能正确的分辨上，从而导致出错．只要能正确根据题目的叙述，将问题转化为一个数学问题，从而容易将问题解决．CD＝BC×tan∠DBC
＝BC×tan8°≈1047(m)．
即山的高度约为1047米．
【点评】 此类问题主要容易错在角度的具体位置找不对，另外在具体问题中有时可能不知道采用什么定理以及在哪些三角形中应用相应定理去解决问题，这些都要根据具体题目的已知条件去作具体分析．章末综合检测本部分内容讲解结束点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用课件12张PPT。解三角形复习课1、正弦定理及证明：（其中：R为△ABC的外接圆半径）3、正弦定理的变形：2、三角形面积公式：一.复习回顾： ４正弦定理应用范围：① 已知两角和任意边，求其他两边和一角 ②
已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角。(注意解的情况)例３、非等边三角形ＡＢＣ的外接圆半径为２，
最长的边ＢＣ＝ ，求sinB+sinC的取值范围．例１、在三角形ABC中，一定成立的等式是：
(1)asinA=bsinB (2)acosA=bcosB
(3)asinB=bsinA (4)acosB=bcosA
例２、在三角形ＡＢＣ中，已知Ａ＞Ｂ，
求证sinA>sinB.１、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。例、已知三角形ABC中，a:b:c=2: ,求
三角形的各角度数．例、在三角形ABC中，已知 ，
则角Ａ为多少例、在三角形ABC中， ，
则角Ｃ为多少例、如图，在四边形ABDC中，CD＝ ，∠ACB=
75°, ∠ BCD=45°, ∠ ADC=30°, ∠ ADB=45°.求
AB的长．ＡＣＤＢACabab 一解1、不解三角形，判断下列三角形解的个数。
(1)a=5,b=4,A=120°;(2)a=7,b=14,A=150°;
(3)a=9,b=10,B=60°;(4)c=50,b=72,C=135°.２、在三角形ＡＢＣ中，若b=18,c=24,B=44°
则此三角形有几个解？课件9张PPT。新课标人教版A必修5复习课第一章 解三角形知识要点：一、正弦定理及其变形：二、余弦定理及其推论：三、三角形的面积公式：典例分析：一、选择题：AAB二、填空题：B三、解答题：等边三角形（2）c=6分析：如图本章知识框架图 解 三 角 形 应 用 举 例小结与练习：课件20张PPT。知识网络本章归纳整合解三角形常见类型及解法
在三角形的6个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：要点归纳1．三角形解的个数的确定
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
若sin B＝1，一解；若sin B<1，两解．
(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcos A，即c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无
2.解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．
三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：
3．解三角形应用题的基本思路
解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求．
4．专题一 正、余弦定理的基本应用
应用正、余弦定理解三角形问题往往和面积公式、正、余弦定理的变形等结合．在解三角形时，注意挖掘题目中的隐含条件和正、余弦定理的变形应用，注意公式的选择和方程思想的应用． 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，【例1】 在高考中，正、余弦定理与向量、三角函数的综合命题出现的较频繁，解决与三角形有关的问题时，有时除了运用正、余弦定理外，还会用到三角形的面积公式，两角和与差的三角函数公式，倍角、半角公式、向量的计算公式等．因此，应结合题目给定条件，综合运用正弦定理、余弦定理以及相关知识解题．
专题二 正、余弦定理解三角形中的综合问题
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－b)cos C＝c·cos B，△ABC的面积S＝10 ，c＝7.
(1)求角C；
(2)求a，b的值．
解 (1)∵(2a－b)cos C＝ccos B，
∴(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B，
2sin Acos C－sin Bcos C＝cos Bsin C，
即2sin Acos C＝sin(B＋C)，
∴2sin Acos C＝sin A.
【例2】解斜三角形应用题的步骤：
(1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、方位角等．
(2)根据题意画出图形．
(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答．
专题三 解斜三角形在实际问题中的应用
如图，a是海面上一条南北方向
的海防警戒线，在a上点A处有一个
水声监测点，另两个监测点B，C分
别在A的正东方20 km和54 km处．某
时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km)．
解 (1)由题意PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝1.5×20＝30(km)．
∴PB＝(x－12)(km)，PC＝(18＋x)(km)．
【例3】 与函数思想相联系的就是方程思想．所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系．方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁．
函数与方程思想在数学中有着广泛的应用，本章在利用正、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想．
专题四 函数与方程思想
在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a，c的长．
【例4】 解斜三角形是高考的热点内容，经常和三角化简、向量运算等联系在一起综合考查，既可能以选择题和填空题的方式也可能以解答题的形式进行考查，解答题的难度属于中低档的问题．
具体的命题过程有如下规律：
一是考查三角形的角的问题．求三角形的角常用到的工具有三角形内角和为180°，正、余弦定理及其变式，经常与三角化简求值联系在一起考查．
二是考查三角形的面积．三角形面积的处理途径比较多，需要根据条件，恰当的进行选择，实际上最终转化为三角形的边角问题解决．
命题趋势 三是对解三角形的综合问题的考查．一般题目给出边角满足的关系式，问题处理的重点是正、余弦定理的选择．需要熟练掌握正、余弦定理和三角形面积公式以及之间的联系，灵活应用二倍角公式、两角和与差公式等进行化简；不仅会利用方程思想求值，还要会利用函数思想讨论最值问题．
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