人教A版（2019）必修第一册2.2 基本不等式 同步练习（Word版含答案）

2.2 基本不等式同步练习
一、单选题
1．已知正数满足 ，则的最大值（ ）
A． B． C． D．
2．若，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
3．已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
4．若，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，则下面结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则有最大值
6．设实数满足，函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
7．已知，，若，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知，满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
二、多选题
9．对于正数，，且，若恒成立，则可以为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
10．已知，且，则以下结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
11．下列选项中正确的是（ ）
A．不等式恒成立
B．存在实数，使得不等式成立
C．若，为正实数，则
D．若正实数，满足，则
12．下列关于基本不等式的说法正确的是（ ）
A．若，则的最大值为
B．函数的最小值为2
C．已知，，，则的最小值为
D．若正数x，y满足，则的最小值是3
三、填空题
13．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.
14．设，则，，，，，按从小到大顺序排列是______．
15．若正实数，满足，则的最大值为______.
16．已知实数满足，则的取值范围为_________.
四、解答题
17．（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
18．某建筑队在一块长的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如下图中矩形ABCD的学生公寓，要求定点在地块的对角线MN上，B，分别在边AM，AN上.
(1)若m，宽m，求长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少m？
(2)若矩形AMPN的面积为m，问学生公寓ABCD的面积是否有最大值？若有，求出最大值？若没有，请说明理由.
19．（1）已知，求的最大值．
（2）已知，求的最大值．
（3）已知，求的最大值．
20．已知，，求证：．
21．若，，且，求的最大值
参考答案
1--8BCBDB ACC
9．BCD
10．AB
11．BCD
12．AC
13．
14．
15．
16．
17．设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.
（1）由已知得，由，可得，所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；
（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.
由，可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.
18．(1)解：设，依题意知，所以，
即，则．
故矩形的面积为．
，
当且仅当，即时，等号成立．
此时．
故，时，学生公寓的面积最大，最大值是．
(2)
解：由（1）可得，即，同理可得，
设，，所以，即，所以，即，因为的面积为，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以学生公寓的面积有最大值为；
19．解：（1）∵，∴．
∴，当且仅当，即时，等号成立．
故当时，．
（2）∵，∴．
∴，
当且仅当，即时，等号成立．
故当时，．
（3）∵，∴．根据基本不等式得，∴，当且仅当，即时，等号成立．
故当时，．
20．因为，，
所以，
当且仅当，，即时取等号.
所以成立.
21．解:因为
,
当且仅当,即,时,等号成立.
所以,
故的最大值为.