2.5.2 圆与圆的位置关系-【帮课堂】2022-2023学年高二数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（学案+练习）（含解析）

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2．5.2　圆与圆的位置关系
【考点梳理】
考点　两圆的位置关系及其判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示 INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P544.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P544.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P545.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P545.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P546.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P546.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P547.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P547.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P548.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P548.TIF" \* MERGEFORMATINET
d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
思考　根据代数法确定两个圆的位置关系时，若已知两圆只有一个交点，能否准确得出两圆的位置关系？
答案　不能. 已知两圆只有一个交点只能得出两圆内切或外切．
【题型归纳】
题型一：判断圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
2．已知直线与圆交于两个不同点，则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相离 C．外切 D．相交
3．已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
题型二：求两圆的交点坐标
4．已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．已知直线恒过定点M，点N在曲线上，若（O为坐标原点），则的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
6．圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
题型三：由圆的位置关系确定参数或范围
7．已知点P，Q分别为圆与上一点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
8．已知圆M的半径为，且圆M与圆C：和y轴都相切，则这样的圆M有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．已知圆与圆相切，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
题型四：圆的公共弦
10．已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆与圆交于A、B两点，且平分圆的周长，则 的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
12．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
13．已知圆与圆相切，则实数的取值个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．圆和圆的公切线的条数为( )
A． B． C． D．
15．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
16．圆和圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
17．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
19．已知圆的圆心坐标是,圆的圆心坐标是,若圆的半径为,圆的半径为,则圆与的位置关系是
A．外切 B．相离
C．内切 D．相交
20．已知M，N分别是曲线上的两个动点，P为直线上的一个动点，则的最小值为
A． B． C．2 D．3
21．已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
22．已知，，圆：（），若圆上存在点，使，则圆的半径的范围是（ ）
A． B． C． D．
23．已知半径为的圆与圆外切于点，则圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
24．圆与圆的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
25．已知圆，圆，若圆平分圆的圆周，则正数的值为（ ）
A． B． C． D．
26．已知圆与圆，则两圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
27．已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ）
A．外离 B．外切 C．内含 D．内切
28．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+k(4x+3y)1＝0（k∈R，k≠0）的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
29．圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
30．已知点P在直线上，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB距离的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【高分突破】
一、单选题
31．已知圆与圆内切，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
32．过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
33．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
34．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内含 D．外切
35．过圆内一点作直线交圆O于A，B两点，过A，B分别作圆的切线交于点P，则点P的坐标满足方程（ ）
A． B． C． D．
36．已知圆，圆，则两圆的公切线的条数是（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
37．已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
二、多选题
38．已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为
B．圆截轴所得的弦长为
C．圆上的点到直线的最小距离为
D．圆与圆相离
39．设有一组圆，下列命题正确的是（ ）
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．存在圆，经过点
C．存在定直线始终与圆相切
D．若圆上总存在两点到原点的距离为1，则
40．设，过定点A的动直线，和过定点B的动直线交于点P，圆，则下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点(1，3) B．直线与圆C相交最短弦长为2
C．动点P的曲线与圆C相交 D．|PA|+|PB|最大值为5
41．已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（　　）
A．圆M的圆心为（1，－2），半径为1
B．直线AB的方程为x－2y－4＝0
C．线段AB的长为
D．取圆M上点C（a，b），则2a－b的最大值为
三、填空题
42．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝10相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
43．已知平面直角坐标系中，，若是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方向排列，则点的坐标是___________.
44．设P为曲线上动点，Q为曲线上动点，则称的最小值为曲线，之间的距离，记作.若，，则___________.
45．早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义“一中同长也”已知为坐标原点，，若，的“长”分别为1，，且两圆相外切，则_________.
46．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S 圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d=_____．
47．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则4a2＋b2＝________．
四、解答题
48．已知圆过点，，且圆心在直线上，圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）求圆与圆的公共弦长；
（3）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.
49．已知圆和圆，若点(，)在两圆的公共弦上，求的最小值．
50．已知圆C：x2+y2﹣8x﹣6y+F＝0与圆O：x2+y2＝4相外切，切点为A，过点P（4，1）的直线与圆C交于点M，N，线段MN的中点为Q．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）若|AQ|＝|AP|，点P与点Q不重合，求直线MN的方程及△AMN的面积．
51．如图，某台机器的三个齿轮，A与B啮合，C与B也啮合．若A轮的直径为200 cm，B轮的直径为120 cm，C轮的直径为250 cm，且．试建立适当的坐标系，用坐标法求出A，C两齿轮的中心距离（精确到1 cm）．
52．已知圆和圆．
（1）当时，判断圆和圆的位置关系；
（2）是否存在实数m，使得圆和圆内含？
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】
由与圆，
可得圆心，半径，
则，且，
所以，所以两圆相交.
故选：A.
2．D
【解析】
【分析】
由直线过定点且定点在圆内，当弦最短时直线垂直，根据斜率乘积为求出，进而求出圆的方程，再根据圆心距与两圆半径的关系确定答案.
【详解】
易知直线过定点，弦最短时直线垂直，
又，所以，解得，
此时圆的方程是.
两圆圆心之间的距离，
又，所以这两圆相交.
故选：D.
3．B
【解析】
【分析】
根据垂径定理可得参数的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.
【详解】
由，即，
故圆心，半径，
所以点到直线的距离，
故，即，
解得：；
所以，；
又，圆心，，
所以，
且，
即圆与圆相交，
故选：B.
4．B
【解析】
【分析】
设，轨迹可得点P的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.
【详解】
设点，则，
且，由，得
，
即，
故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆，
则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为，
有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个.
故选：B.
5．A
【解析】
【分析】
先由直线过定点求出，再结合以及N在曲线上求出，直接计算面积即可.
【详解】
易知直线过定点，即，可得，设，
则，解得或，故，
故的面积为.
故选：A.
6．A
【解析】
【分析】
求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．
【详解】
由解得两圆交点为与
因为，所以线段的垂直平分线斜率；MN中点P坐标为（1，1）
所以垂直平分线为y＝﹣x+2
由
解得x＝3，y＝﹣1，所以圆心O点坐标为（3，﹣1）
所以r
所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0
故选：A
7．A
【解析】
【分析】
根据两圆位置关系求解.
【详解】
圆的圆心坐标为，半径为1；
圆的圆心坐标为，半径为2；
所以两圆的圆心距，两圆外离，
所以 ，
故选：A.
8．C
【解析】
【分析】
根据圆与圆的位置关系判断，分外切和内切两种情况即可得到答案.
【详解】
解：圆C：和y轴相切于原点，
内切时圆只能在圆内部，因此
相外切的圆M位于y轴右侧在轴上方、下方各1个，位于y轴左侧切于原点的1个；相内切的圆必过原点，有1个，共4个.
故选：C．
9．B
【解析】
【分析】
先写出圆心半径，分圆与圆外切以及圆与圆内切两种情况，求出，结合基本不等式即可求解.
【详解】
由题，圆的圆心为，半径为3，圆的圆心为，半径为1.
若圆与圆外切，则，即，则，即，当且仅当时等号成立.
若圆与圆内切，则，即，则，即，当且仅当时等号成立.
综上，的最小值为2.
故选：B.
10．B
【解析】
【分析】
根据题意求解圆，的公共弦方程，再计算圆中的公共弦长即可得圆C的直径，进而求得面积即可
【详解】
由题，圆，的公共弦为和的两式相减，化简可得，又到的距离 ，故公共弦长为，故圆C的半径为，故圆C的面积为
故选：B
11．C
【解析】
【分析】
由题知，弦所在直线方程为，且在弦所在直线上，进而得.
【详解】
解：因为圆与圆交于A、B两点，
所以弦所在直线方程为，
因为圆的圆心为，平分圆的周长，
所以，在弦所在直线上，即，
所以.
故选：C
12．A
【解析】
【分析】
两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，然后k取特值解方程组可得交点.
【详解】
由，
两式相减得公共弦所在直线方程为：，
分别取，得，解得，即
故选：A
13．C
【解析】
分别求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆外切和内切的条件可得答案.
【详解】
设的圆心为，半径，
的圆心为，半径，
当两圆外切时，有，即，解得或，
当两圆内切时，有，即，解得，
综上所述，，或，或.
故选：C.
【点睛】
本题考查圆和圆的位置关系，其中熟记两圆的内切和外切的条件，列出相应的方程求解是解答的关键，考查了推理与运算能力，属于基础题．
14．B
【解析】
【分析】
本题考查了两圆的位置关系的判定及确定公切线的条数，是基础题.根据圆心距与半径的和差的大小关系判定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数.
【详解】
∵两个圆与，
∴圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，
∴两圆圆心距为，
∵，
∴两圆相交，有条公切线.
故选：B.
15．D
【解析】
计算出圆心距，比较圆心距与两圆半径差的绝对值的大小关系，可得出结论.
【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
，因此，两圆内切.
故选：D.
16．C
【解析】
【分析】
先根据两圆的方程，求出相应的圆心与半径，再通过计算得出，故两圆外切.
【详解】
因为圆的方程为，所以圆心，半径，
因为圆的方程为，所以圆心，半径，
所以.
因为，所以圆和圆外切.
故选：C.
17．A
【解析】
【分析】
将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点，利用点在直线上可得，再代入消元，转化成一元二次函数的取值范围；
【详解】
解：由圆，圆，
得圆与圆的公共弦所在直线方程为，求得定点，
又在直线上，，即.
∴，∴的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用.
18．D
【解析】
【分析】
先将两个圆的方程化为圆的标准方程，写出两个圆的圆心坐标和半径，然后计算两个圆的圆心之间的距离，圆心距等于两个圆的半径差的绝对值、和，得到关于a的方程，即可解得a的值.
【详解】
设圆 圆的半径分别为 .圆的方程可化为，
圆的方程可化为.
由两圆相切得，或，
∵，
∴或或或(舍去).
因此， 解得a=34
或 解得
故选:D.
【点睛】
本题考查了利用两个圆相切求解参数值的问题，属于中档题目，解题时需要准确将圆的一般方程化为圆的标准方程，利用圆心距与半径的关系建立关于参数的方程.
19．A
【解析】
根据圆与圆的位置关系判断方法即可得出．
【详解】
因为圆与的圆心距为：，而圆与的半径之和为，
所以圆与的位置关系是外切．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查圆与圆的位置关系判断，属于基础题．
20．D
【解析】
【分析】
求出圆心关于的对称点为，则的最小值是．
【详解】
解：圆的圆心，半径为 ，圆，圆心，半径为，
圆心关于的对称点为，
解得故
．
故选．
【点睛】
本题考查圆的方程，考查点线对称，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
21．A
【解析】
【分析】
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】
解：圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，
所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴，即 ，由，解得．
所以以为直径的圆的方程为，
即，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：A .
【点睛】
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
22．A
【解析】
【分析】
设，由得，即可知的轨迹为，要使圆上存在点，即圆与有交点，进而可得半径的范围.
【详解】
设，则，，
∵，即，
∴，即在以原点为圆心，半径为1的圆上，
而圆的圆心为，半径为R，
∴圆上存在点，即圆与有交点，
∴.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：由及向量垂直的数量积公式即可确定的轨迹，要使圆上存在点，只需保证圆与的轨迹有交点即可.
23．C
【解析】
【分析】
设，由两圆向外切可知三点共线且，由此构造方程求得，舍去两圆内切的情况即可得到结果.
【详解】
由题意知：圆圆心为，半径，
设所求圆的圆心，
若圆与圆外切于点，则必有三点共线且，
即，解得：或；
当，时，圆与圆相内切，不合题意；
当，时，圆与圆相外切，符合题意；
.
故选：C.
【点睛】
易错点点睛：本题考查根据圆与圆的位置关系求解参数的问题，易错点是在求解出参数值后，忽略两圆内切也有满足三点共线且圆心距为的情况，造成增根.
24．B
【解析】
【分析】
求出两圆的位置关系即可得出结果.
【详解】
圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
由于圆心距，满足：，
故两圆相交，故而可得两圆公切线的条数为2条，
故选：B.
【点睛】
本题主要通过两圆的位置关系求公切线的条数，属于基础题.
25．A
【解析】
【分析】
直接利用两圆的位置关系的应用求出相交弦的方程，由题意可知圆心在相交弦上，进一步求出的值
【详解】
圆，化为，则圆心，
两圆方程相减可得，即为两圆的相交弦方程，
因为圆平分圆的圆周，所以圆心在相交弦上，
所以，解得或（舍去），
故选：A
26．B
【解析】
【分析】
根据圆的标准方程，得到两圆的圆心和半径，求出圆心距，与半径比较，即可得出结果.
【详解】
因为圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为，
因此圆心距为，
所以两圆外切.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查判断两圆位置关系，属于基础题型.
27．C
【解析】
求出圆心距的取值范围，然后利用圆心距与半径的和差关系判断.
【详解】
由两圆的标准方程可得，，，；
则，所以两圆不可能内含.
故选：C.
28．A
【解析】
【分析】
由两圆的方程分别求出圆心和半径，然后由两点间距离公式求出|C1C2|，与两圆半径作比较即可判断．
【详解】
圆C1：x2+y2＝1的圆心C1(0,0)，半径r＝1，
圆C2：x2+y2+k(4x+3y)1＝0的圆心C2，半径R，
∴，而，
∴两圆相交．
故选：A．
29．D
【解析】
【分析】
圆和圆的位置关系，可以通过比较圆心距和半径之和、半径之差间的关系判断﹒
【详解】
两圆圆心分别为，，半径分别为1和3，圆心距．
∵，∴两圆外离．
故答案为：D
30．D
【解析】
【分析】
假设点，然后得到以OP为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线AB的方程，然后可知直线AB过定点，最后简单判断和计算可得结果.
【详解】
设，则，
以OP为直径的圆的方程是，
与圆O的方程相减，得直线AB的方程为，即，
因为，所以，代入直线AB的方程，得，
即，当且，即，时该方程恒成立，
所以直线AB过定点N(1，1)，
点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，，
所以点M(3，2)到直线AB距离的最大值为.
故选:D
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键在于得到直线AB的方程以及观察得到该直线过定点.
31．B
【解析】
【分析】
将圆化为标准形式确定圆心和半径，即知内切于则，结合基本不等式求的最小值.
【详解】
由题设，，，
又与内切，而，且，
所以内切于，则，故，当时等号成立.
所以的最小值为.
故选：B
32．C
【解析】
【分析】
根据切线长相等和PA⊥PB，容易判断四边形OAPB是正方形，根据勾股定理即可解得.
【详解】
由题意可知：0故选：C.
33．B
【解析】
【分析】
根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解出的最小值.
【详解】
由题可知：，圆心，半径，
又，是的中点，所以，
所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为，
若直线上存在两点，使得恒成立，
则以为直径的圆要包括圆，
点到直线的距离为，
所以长度的最小值为，
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于点轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以为直径的圆包括的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析的最小值.
34．D
【解析】
【分析】
由圆的方程得到两圆的圆心和半径，通过比较圆心距与半径关系即可判断.
【详解】
由题，圆的圆心为，半径为2；
圆，即，所以圆心为，半径为；
所以两圆圆心距离为，
所以两圆外切.
故选：D
35．A
【解析】
【分析】
设出点坐标，求解出以为直径的圆的方程，将圆的方程与圆的方程作差可得公共弦的方程，结合点在上可得点P的坐标满足的方程.
【详解】
设，则以为直径的圆，即①
因为是圆O的切线，所以，所以A，B在圆M上，
所以是圆O与圆M的公共弦，又因为圆②，
所以由①②得直线的方程为：，
又点满足直线方程，所以，即.
故选：A.
36．B
【解析】
【分析】
分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆的位置关系的判定方法，求得两圆的位置关系，即可求解.
【详解】
由圆可化为，
可得圆心坐标为，半径为，
由圆可化为，
可得圆心坐标为，半径为，
则圆心距为，
又由，所以，
可得圆与圆相交，所以两圆公共切线的条数为2条.
故选：B.
37．B
【解析】
【分析】
本题首先可将转化为，圆心为，然后根据圆关于直线对称求出，最后通过圆心间距离等于两圆半径之和即可得出结果.
【详解】
即，圆心，
因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，
即，解得，，圆心，半径为，
，圆心，半径为，
圆心间距离为，
因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆与圆的位置关系是相切，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查两圆的位置关系，可通过圆心间距离与两圆半径之和的关系来判断，考查圆的对称性的应用，考查计算能力，是中档题.
38．BC
【解析】
【分析】
将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出圆心到直线的距离再减去半径可判断C；求出圆的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：由可得，所以的半径为，故选项A不正确；
对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为
，故选项B正确；
对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，故选项C正确；
对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，故选项D不正确；
故选：BC.
39．AC
【解析】
【分析】
对于A，考查圆心的横纵坐标关系即可判断；对于B，把代入圆方程，由关于k的方程根的情况作出判断；对于C，判断圆心到直线距离与半径的关系即可；对于D，圆与以原点为圆心的单位圆相交即可判断作答.
【详解】
对于A选项：圆心的轨迹为直线，即不论如何变化，圆心始终在一条直线上，A正确；
对于B选项：圆中，时，，，关于k的方程无实根，B错误；
对于C选项：选取直线l：，圆心直线l的距离 ，即直线l与圆相切，C正确；
对于D选项：到原点距离为1的轨迹是单位圆O：，当圆O与圆相交时满足条件，此时，得或，D错误.
故选：AC
40．ABC
【解析】
【分析】
根据直线过定点的求法求出定点坐标即可判断A；
由题意可知当时所得弦长最短，由求出进而得到的方程，结合 到直线的距离公式和勾股定理求出弦长即可判断B；
当时得到，P在圆C外；当时，根据两直线方程消去m得到点P的轨迹方程，比较圆心距和两圆半径之和的大小即可判断C；
由题可证，设可得，进而得到
，结合三角函数的值域即可判断D.
【详解】
A：由，
有，所以直线过的定点为，故A正确；
B：由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，当
时所得弦长最短，则，又，，所以，得
，则圆心到直线的距离为，所以弦长为：，
故B正确；
C：当时，，则点，此时点P在圆C外；
当时，由直线得，代入直线中得点P的方程为
圆，得，半径为，
所以圆心距，所以两圆相交.故C正确；
D：由，
当时，，有，
当时，，，则，所以，
又点P是两直线的交点，所以，所以，
设，则，
因为，所以，
所以，故D错误.
故选：AB
41．ABD
【解析】
【分析】
化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得AB的方程判断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB的长判断C；利用直线与圆相切求得2a－b的范围判断D．
【详解】
由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，
则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确；
联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项，
可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确；
圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d，圆O的半径为2，
则线段AB的长为2，故C错误；
令t＝2a－b，即2a－b－t＝0，由M（1，－2）到直线2x－y－t＝0的距离等于圆M的半径，
可得，解得t＝4．
∴2a－b的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
42．x＋3y－5＝0
【解析】
【分析】
将两个圆方程相减来求得相交弦所在直线方程.
【详解】
两个圆方程可化为，，
两式相减得，即.
故答案为：
43．
【解析】
【分析】
分别点为圆心，为半径作圆，根据题意得两圆在第一象限中的交点即为所求点，进而写出圆的方程并联立求解即可得答案.
【详解】
解：如图，分别以点为圆心，为半径作圆，两圆在第一象限的交点即为所求的点.
因为，
所以以点为圆心，为半径的圆的方程为；
以点为圆心，为半径的圆的方程为.
联立方程，解得（负舍），
所以点的坐标是
故答案为：
44．
【解析】
【分析】
求出圆心距，根据圆的对称性得出.
【详解】
由可得
故答案为：
45．1
【解析】
【分析】
根据圆的定义，求得，，根据两圆的位置关系，即可求解.
【详解】
由题意，为坐标原点，，
根据圆的定义，可得，，
因为两圆相外切，可得，即，
解得.
故答案为：.
46．
【解析】
圆L与圆S关于原点对称，直线l过原点，求出圆L与圆S的圆心坐标，设出直线l方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d．
【详解】
由题意圆与圆关于原点对称，设，则
即．
设方程为，则三个圆心到该直线的距离分别为：
，，，
则，
即有，解得，
则，即.
故答案为: .
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．
47．1
【解析】
【分析】
由公切线条数得两圆内切，然后由圆心距等于半径之差可得结论．
【详解】
圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，
|C1C2|＝.
因为两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，
所以|C1C2|＝2－1＝1，所以4a2＋b2＝1.
故答案为：1．
【点睛】
本题考查圆与圆的位置关系，解题关键是把问题转化为两圆相交．圆与圆的位置关系：
两圆圆心距离为，半径分别为，则相离，外切，相交，内切，内含．
48．（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）求出的坐标及其圆的半径，从而可得圆的标准方程；
（2）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，利用垂径定理可求弦长.
（3）设所求的圆的方程为：，求出圆心的坐标，利用该圆心在已知直线上可求的值，从而得到圆的方程.
【详解】
解：（1）设，则，
解得，圆即
所求的标准方程为：.
（2）圆的一般方程为，
将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即
即，故到直线的距离为，
所以所求公共弦长为.
（3）设所求的圆的方程为：，
整理得到，该圆圆心为，
因为该圆心在直线，故，解得，
故所求圆的方程为.
【点睛】
本题考查圆的方程的求法、以及圆的公共弦的方程及弦长的求法，注意公共弦的直线方法可以由两个圆的一般方程相减得到，在求过已知直线和圆的交点的圆的方程时，注意利用圆系方程降低运算量，本题属于基础题.
49．8
【解析】
【分析】
两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程，根据P在公共弦上可得a＋b＝2，根据和基本不等式即可求的最小值．
【详解】
圆和圆的两个方程相减即可得到两圆的公共弦所在直线方程为，
∵点(，)在两圆的公共弦上，∴，
∴，当且仅当，即、时等号成立，
∴的最小值为8．
50．（1）；（2），.
【解析】
【分析】
（1）利用两圆外切确定圆，通过弦心距与弦垂直可得，故知轨迹为以为直径的圆；
（2）先求得点坐标，由可知，也在以为圆心，以为直径的圆上，该圆与点的轨迹圆联立可得直线也即直线的方程，之后利用点到直线距离公式等知识求解即可．
【详解】
解：（1）圆的标准方程为，
圆心，半径为，
由圆与圆相外切可知，解得，
圆，
又，则点在圆内，
弦过点，是的中点，
则，
点的轨迹是以为直径的圆，
其方程为；
（2）线段与圆的交点为，
由，解得，
若，
则，是以点为圆心，为半径的圆与点的轨迹的交点，
由，与，
作差可得，
即直线的方程为，
点到直线的距离，
，
点到直线的距离，
的面积．
51．
【解析】
【分析】
根据题意，以点为坐标原点，所在直线为建立平面直角坐标，进而得直线的方程为，故设，再结合圆与圆的位置关系求解即可得答案.
【详解】
解：根据题意，以点为坐标原点，所在直线为建立平面直角坐标系，如图，
则，，，
由于，所以直线的方程为，
故设，则，
由于圆与圆相外切，故，解方程得
所以cm.
故A，C两齿轮的中心距离约为.
52．（1）圆和圆相交；（2）不存在.
【解析】
【分析】
（1）由题设写出圆、的圆心坐标及半径，并求出圆心距，根据与的大小关系，判断两圆的位置关系.
（2）假设存在实数m，根据两圆内含关系列不等式并求解，即可知参数m的存在性.
【详解】
（1）当时，圆的标准方程为，则，半径，
圆的方程为，则，半径，
∴两圆的圆心距，又，
∴，故圆和圆相交．
（2）不存在．理由如下：
圆的方程可化为， 则 ，半径．而，半径．
假设存在实数m，使得圆和圆内含，则圆心距，即，此不等式无解．
故不存在实数m，使得圆和圆内含．
试卷第1页，共3页