人教Ｂ版(2019)选择性必修第一册2.3.1圆的标准方程 2.3.2圆的一般方程 课件（共38张PPT）
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| 名称 | 人教Ｂ版(2019)选择性必修第一册2.3.1圆的标准方程 2.3.2圆的一般方程 课件（共38张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-24 09:41:06 | ||
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文档简介
(共38张PPT)
2.3 圆及其方程
2.3.1 圆的标准方程
2.3.2 圆的一般方程
第二章 平面解析几何
重点：圆的标准方程以及根据已知条件求圆的标准方程
难点：圆的标准方程以及根据已知条件求圆的标准方程
1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.
2.能根据所给条件求圆的标准方程.
3.掌握点与圆的位置关系.
学习目标
1.圆的标准方程
一般地，如果平面直角坐标系中⊙C的圆心为C（a，b），半径为r（r>0），设M（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，则点M在⊙C上的充要条件是|CM|＝r，即＝r，两边平方，得
（x-a）2+（y-b）2＝r2.
此方程表示以点 为圆心， 为半径的圆，通常称为圆的标准方程.
C（a，b）
r
2.点与圆的位置关系
点M（x0，y0）与圆（x-a）2+（y-b）2＝r2的位置关系
点M在圆外（x0-a）2+（y0-b）2>r2；
点M在圆上（x0-a）2+（y0-b）2＝r2；
点M在圆内（x0-a）2+（y0-b）23. 圆的一般方程
一般地，形式x2+y2+Dx+Ey+F＝0，其中D，E，F都是常数.称为圆的一般方程.
（1）当 >0时，方程是以为圆心，为半径的圆的方程；
（2）当D2+E2-4F＝0时，满足方程的实数只有x＝-，y＝-，所以原方程不是
圆的方程；
（3）当D2+E2-4F<0时，方程没有实数解，因而原方程也不是圆的方程.
一 圆的标准方程
<1>辨析圆的标准方程
例1 圆（x-1）2+（y+2）2＝4的圆心坐标和半径分别为 （ ）
A.（1，-2），4 B.（1，2），4
C.（1，-2），2 D.（1，2），2
【解析】 圆（x-1）2+（y+2）2＝4的圆心坐标为（1，-2），半径r＝2.
【答案】 C
若点P（-1，）在圆x2+y2＝m2上，则实数m＝ .
解析：把P（-1， ）代入x2+y2＝m2，得1+3＝m2，∴ m＝2或-2.
<2>求圆的标准方程
例2 圆心为C（2，-3），且经过坐标原点的圆的标准方程为 .
【解析】 （方法1）由题意可设圆的方程为（x-2）2+（y+3）2＝r2（r>0），因为坐标原点在圆上，所以r2＝13，故圆的标准方程为（x-2）2+（y+3）2＝13.
（方法2）由题意可知圆的半径为原点O与点C（2，-3）间的距离，则r＝＝，所以圆的标准方程为（x-2）2+（y+3）2＝13.
【答案】 （x-2）2+（y+3）2＝13
1.［2020·江苏苏州高二检测］在平面直角坐标系xOy中，A（-2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的标准方程为 .
解析：（方法1）∵ A（-2，0），B（2，2），
∴ 以线段AB为直径的圆的圆心为C（0，1），
半径为r＝|AB|＝＝，
∴ 所求圆的标准方程为x2+（y-1）2＝5.
（方法2）以线段AB为直径的圆的方程为（x+2）（x-2）+y（y-2）＝0，即x2+y2-2y-4＝0，∴ 所求圆的标准方程为x2+（y-1）2＝5.
2. ［2020·四川绵阳南山中学高二检测］圆（x+2）2+y2＝5关于y轴对称的圆的方程为（ ）
A.（x-2）2+y2＝5 B.x2+（y-2）2＝5
C.（x+2）2+（y+2）2＝5 D.x2+（y+2）2＝5
解析：圆心（-2，0）关于y轴的对称点为（2，0），
所以所求圆的方程为（x-2）2+y2＝5.
求圆的标准方程的方法
1.待定系数法（代数法）
根据条件设出圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2＝r2， 再由题目给出的条件，列出关于a，b，r的方程组，求出a，b，r代入标准方程.
2.直接法（几何法）
根据圆的几何性质，直接求得圆心坐标和半径.常用到的几何性质有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心到切线的距离等于半径；③圆心在圆的任意弦的中垂线上，且弦长的一半、弦心距d、半径r满足r2＝d2+；
④两圆相切时，切点与两圆心三点共线等.
<3>已知圆的标准方程，求解点与该圆的位置关系问题
例3 已知点P1（3，8），P2（5，4），求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M（5，3），N（3，4），P（3，5）是在圆上、圆内，还是在圆外.
【解题技法】
【解】 设圆心C（a，b），半径为r，则由C为线段P1P2的中点得a＝＝4，b＝＝6，即圆心坐标为C（4，6）.
又由两点间的距离公式得r＝CP1＝＝，
故所求圆的标准方程为（x-4）2+（y-6）2＝5.
（方法1）分别计算点M，N，P到圆心C的距离：CM＝ ＝>，CN＝ ＝，CP＝ ＝<，所以点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内.
（方法2）由于（5-4）2+（3-6）2＝10>5，故点M在圆外；
由于（3-4）2+（4-6）2＝5，故点N在圆上；
由于（3-4）2+（5-6）2＝2<5，故点P在圆内.
例4 已知圆C的标准方程为（x-5）2+（y-6）2＝a2（a>0）.
（1）若点M（6，9）在圆上，求半径a；
（2）若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围.
【解题提示】 （1）由点在圆上，满足圆的方程可求得a的值；（2）点在圆内（外），则点与圆心的距离小于（大于）圆的半径，可求a的范围.
【解】 （1）∵ 点M（6，9）在圆上，
∴ （6-5）2+（9-6）2＝a2，即a2＝10.
又a>0，∴ a＝.
（2）易知圆心C的坐标为（5，6），
∴ PC＝＝，
QC＝＝3，且PC>QC，
∴ 点P在圆外，点Q在圆内，∴ 3（1）已知点P（1，1）在圆（x-a）2+（y+a）2＝4的内部，求实数a的取值范围.
（2）已知点A（1，2）在圆C：（x+a）2+（y-a）2＝2a2的外部，求实数a的取值范围.
解：（1）∵ 点P（1，1）在圆（x-a）2+（y+a）2＝4的内部，
∴ （1-a）2+（1+a）2<4，即a2<1.解得-1（2）∵ 点A（1，2）在圆C的外部，∴ （1+a）2+（2-a）2>2a2，即5-2a>0，
∴ a<.又2a2>0，∴ a≠0，∴ a的取值范围是a|a<且a≠0}.
二 圆的一般方程
<1>二元二次方程表示圆的条件
例4 若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a＝0表示圆，则a的值为 （ ）
A.1或-2 B.2或-1 C.-1 D.2
【解析】 若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a＝0表示圆，
则解得a＝-1.
【答案】 C
1.［2020·四川蓉城名校联盟高二检测］若方程x2+y2-2tx+4y+2t+7＝0表示圆，则实数t的取值范围是 .
解析：若方程x2+y2-2tx+4y+2t+7＝0表示圆，则（-2t）2+42-4（2t+7）>0，解得t<-1或t>3.
（-∞，-1）∪（3，+∞）
解析：若方程x2+y2-ax+2y+1＝0能表示圆，则（-a）2+22-4×1>0，解得a≠0.所以，若方程x2+y2-ax+2y+1＝0不能表示圆，则a＝0.
2.［2020·山东青岛高二检测］若方程x2+y2-ax+2y+1＝0不能表示圆，则实数a的值为（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.2
A
<2>圆的一般方程与标准方程的互化
例5 已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+＝0的圆心坐标是，则此圆的半径为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】圆C：x2+y2+Dx+Ey+＝0，即+＝ ，表示以点 为圆心，半径为的圆.根据圆C的圆心坐标是，得D＝1，E＝-4，故圆C的半径为＝2.
【答案】 A
［2020·湖北华中师大一附中高二检测］圆C：2x2+2y2+ax-4y-3＝0的直径为，则圆C的圆心坐标可能是 （ ）
A. B. C.（3，2） D.（-3，2）
解析：圆C的标准方程为+（y-1）2＝+，故+＝，所以＝，解得a＝±6，所以圆C的圆心坐标为.
A
<3>求圆的一般方程
例6 已知△ABC的顶点坐标为A（1，1），B（2，4），直线l经过点B且与直线x-y+1＝0平行，点A和点C关于直线l对称.
（1）求直线AC的方程；（2）求△ABC外接圆的方程.
【解题提示】 （1）先由题意求出直线l的方程，再由点A和点C关于直线l对称，确定直线AC的斜率，由点斜式写出直线AC的方程即可；（2）可根据题意求出圆心坐标以及半径，得到圆的标准方程；也可结合（1）的结果先求出点C的坐标，再由待定系数法设出圆的一般方程，将A、B、C三点坐标代入得出方程组，求解即可.
【解】 （1）∵ 直线l与直线x-y+1＝0平行，∴ 直线l的斜率kl＝1.
又∵ 点A和点C关于直线l对称，
∴ 直线AC与l垂直，∴ 直线AC的斜率kAC＝-1.
又∵ 直线AC过点A（1，1），∴ 直线AC的方程为y-1＝-（x-1），
即x+y-2＝0.
（2）（方法1）∵ kl＝1且直线l经过点B（2，4）
∴ 直线l的方程为y-4＝x-2，即x-y+2＝0.∵ A（1，1），B（2，4），
∴ AB的中点为，直线AB的斜率kAB＝＝3，
∴ 线段AB的垂直平分线的方程为y-＝-，即x+3y-9＝0.
△ABC的外接圆的圆心即为直线l与x+3y-9＝0的交点.
由得∴ △ABC外接圆的圆心坐标为，
∴ 半径r＝＝，∴ △ABC外接圆的方程为+＝.
（方法2）设直线l的方程为x-y+c＝0，∵ 直线l经过点B（2，4），
∴ 2-4+c＝0，∴ c＝2，即直线l的方程为x-y+2＝0.
设C（x0，y0），由（1）知kAC＝-1，即＝-1.①
又∵ 线段AC的中点在直线l上，∴-+2＝0.②
由①②得x0＝-1，y0＝3，∴ C（-1，3）.
设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
由题意可得解得
故△ABC外接圆的方程为x2+y2-x-y+5＝0.
［2020·河南驻马店高一期末］已知△ABC三个顶点坐标为A（0，2），B（0，-2），C（-2，2）.
（1）在△ABC中，求与BC边平行的中位线所在直线的方程；
（2）求△ABC外接圆的方程.
解：（1）由题意知，AC边的中点为（-1，2），AB边的中点为（0，0），
故与BC边平行的中位线所在直线方程为2x+y＝0.
（2）设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
把A，B，C三点的坐标代入外接圆的方程，得
解得
故所求的圆的方程为x2+y2+2x-4＝0.
过不共线的三点A，B，C的圆的方程的求法
1.待定系数法（代数法）：设出圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0，分别把三个点的坐标代入，求出待定系数D，E，F，即可求出圆的方程；
2.直接法（几何法）：因为所求圆为△ABC的外接圆，所以△ABC任意两边的中垂线交点即为外接圆的圆心，顶点到圆心的距离即为外接圆的半径，代入圆的标准方程即可.
<4>点与圆的位置关系问题
例7 已知点A是圆C：x2+y2+ax+4y-5＝0上任意一点，点A关于直线x+2y-1＝0的对称点也在此圆上，则实数a＝ .
【解析】 由题意可知，圆C的圆心在直线x+2y-1＝0上，则--4-1＝0，解得a＝-10.
【答案】 -10
［2020·浙江湖州高一检测］过点P（-3，0）作直线：2x+（λ+1）y+2λ＝0（λ∈R）的垂线，垂足为M，已知点N（3，2），则当λ变化时，|MN|的取值范围是（ ）
A.［0，5+］ B.［5- ，5+ ］
C.［5，5+ ］ D.［5- ，5］
B
解析：直线2x+（λ+1）y+2λ＝0（λ∈R），
即（2x+y）+λ（y+2）＝0.
由得直线经过定点Q（1，-2）.
由△PQM为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，
可得圆心为PQ的中点H（-1，-1），半径r＝|PQ|＝，
则|MN|的最大值为|NH|+r＝+＝5+；
|MN|的最小值为|NH|-r＝ -＝5-.
故|MN|的取值范围为［5- ，5+ ］.
题组三 与圆有关的轨迹问题
例8 已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足|PA|＝λ|PB|（λ>0），若点P的轨迹为一条直线，则λ＝ ；若λ＝2，则点P的轨迹方程为 .
【解题提示】 设P（x，y），把|PA|＝λ|PB|两边平方，整理得，
（1-λ2）x2+（1-λ2）y2+4（1+λ2）x+4-4λ2＝0，从而可得结果.
【解析】 设P（x，y），由|PA|＝λ|PB|可得，＝，
两边平方，整理得点P的轨迹方程为
（1-λ2）x2+（1-λ2）y2+4（1+λ2）x+4-4λ2＝0.
若该方程表示直线，则解得λ＝1.
当λ＝2时，点P的轨迹方程为3x2+3y2-20x+12＝0，
即x2+y2-x+4＝0.
【答案】 1；x2+y2-x+4＝0
已知圆C与y轴相切，圆心在直线x-2y＝0上，且经过点A（2，3），求圆C的方程.
解：∵ 圆心在直线x-2y＝0上，∴ 设圆心坐标为（2a，a）.
又圆C与y轴相切，∴ 半径r＝2|a|.
设圆C的标准方程为（x-2a）2+（y-a）2＝4a2，
∵ 圆C经过点A（2，3），∴ （2-2a）2+（3-a）2＝4a2，∴ a＝1或a＝13，
∴ 圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2＝4或（x-26）2+（y-13）2＝676.
求轨迹方程的常用方法
1.直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）＝0.
2.定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义写出动点的轨迹方程.
3.代入（相关点）法：动点P（x，y）随另一动点Q（x0，y0）的变化而变化，常利用代入法求动点P（x，y）的轨迹方程.
小结
1.圆的标准方程
圆的标准方程：（x-a）2+（y-b）2＝r2.
表示以点（a,b）为圆心，r为半径的圆.
2.点与圆的位置关系
点M（x0，y0）与圆（x-a）2+（y-b）2＝r2的位置关系
点M在圆外（x0-a）2+（y0-b）2>r2；
点M在圆上（x0-a）2+（y0-b）2＝r2；
点M在圆内（x0-a）2+（y0-b）23. 圆的一般方程
一般地，形式x2+y2+Dx+Ey+F＝0，其中D，E，F都是常数.称为圆的一般方程.
（1）当 >0时，方程是以为圆心，为半径的圆的方程；
（2）当D2+E2-4F＝0时，满足方程的实数只有x＝-，y＝-，所以原方程不是
圆的方程；
（3）当D2+E2-4F<0时，方程没有实数解，因而原方程也不是圆的方程.
2.3 圆及其方程
2.3.1 圆的标准方程
2.3.2 圆的一般方程
第二章 平面解析几何
重点：圆的标准方程以及根据已知条件求圆的标准方程
难点：圆的标准方程以及根据已知条件求圆的标准方程
1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.
2.能根据所给条件求圆的标准方程.
3.掌握点与圆的位置关系.
学习目标
1.圆的标准方程
一般地，如果平面直角坐标系中⊙C的圆心为C（a，b），半径为r（r>0），设M（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，则点M在⊙C上的充要条件是|CM|＝r，即＝r，两边平方，得
（x-a）2+（y-b）2＝r2.
此方程表示以点 为圆心， 为半径的圆，通常称为圆的标准方程.
C（a，b）
r
2.点与圆的位置关系
点M（x0，y0）与圆（x-a）2+（y-b）2＝r2的位置关系
点M在圆外（x0-a）2+（y0-b）2>r2；
点M在圆上（x0-a）2+（y0-b）2＝r2；
点M在圆内（x0-a）2+（y0-b）2
一般地，形式x2+y2+Dx+Ey+F＝0，其中D，E，F都是常数.称为圆的一般方程.
（1）当 >0时，方程是以为圆心，为半径的圆的方程；
（2）当D2+E2-4F＝0时，满足方程的实数只有x＝-，y＝-，所以原方程不是
圆的方程；
（3）当D2+E2-4F<0时，方程没有实数解，因而原方程也不是圆的方程.
一 圆的标准方程
<1>辨析圆的标准方程
例1 圆（x-1）2+（y+2）2＝4的圆心坐标和半径分别为 （ ）
A.（1，-2），4 B.（1，2），4
C.（1，-2），2 D.（1，2），2
【解析】 圆（x-1）2+（y+2）2＝4的圆心坐标为（1，-2），半径r＝2.
【答案】 C
若点P（-1，）在圆x2+y2＝m2上，则实数m＝ .
解析：把P（-1， ）代入x2+y2＝m2，得1+3＝m2，∴ m＝2或-2.
<2>求圆的标准方程
例2 圆心为C（2，-3），且经过坐标原点的圆的标准方程为 .
【解析】 （方法1）由题意可设圆的方程为（x-2）2+（y+3）2＝r2（r>0），因为坐标原点在圆上，所以r2＝13，故圆的标准方程为（x-2）2+（y+3）2＝13.
（方法2）由题意可知圆的半径为原点O与点C（2，-3）间的距离，则r＝＝，所以圆的标准方程为（x-2）2+（y+3）2＝13.
【答案】 （x-2）2+（y+3）2＝13
1.［2020·江苏苏州高二检测］在平面直角坐标系xOy中，A（-2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的标准方程为 .
解析：（方法1）∵ A（-2，0），B（2，2），
∴ 以线段AB为直径的圆的圆心为C（0，1），
半径为r＝|AB|＝＝，
∴ 所求圆的标准方程为x2+（y-1）2＝5.
（方法2）以线段AB为直径的圆的方程为（x+2）（x-2）+y（y-2）＝0，即x2+y2-2y-4＝0，∴ 所求圆的标准方程为x2+（y-1）2＝5.
2. ［2020·四川绵阳南山中学高二检测］圆（x+2）2+y2＝5关于y轴对称的圆的方程为（ ）
A.（x-2）2+y2＝5 B.x2+（y-2）2＝5
C.（x+2）2+（y+2）2＝5 D.x2+（y+2）2＝5
解析：圆心（-2，0）关于y轴的对称点为（2，0），
所以所求圆的方程为（x-2）2+y2＝5.
求圆的标准方程的方法
1.待定系数法（代数法）
根据条件设出圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2＝r2， 再由题目给出的条件，列出关于a，b，r的方程组，求出a，b，r代入标准方程.
2.直接法（几何法）
根据圆的几何性质，直接求得圆心坐标和半径.常用到的几何性质有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心到切线的距离等于半径；③圆心在圆的任意弦的中垂线上，且弦长的一半、弦心距d、半径r满足r2＝d2+；
④两圆相切时，切点与两圆心三点共线等.
<3>已知圆的标准方程，求解点与该圆的位置关系问题
例3 已知点P1（3，8），P2（5，4），求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M（5，3），N（3，4），P（3，5）是在圆上、圆内，还是在圆外.
【解题技法】
【解】 设圆心C（a，b），半径为r，则由C为线段P1P2的中点得a＝＝4，b＝＝6，即圆心坐标为C（4，6）.
又由两点间的距离公式得r＝CP1＝＝，
故所求圆的标准方程为（x-4）2+（y-6）2＝5.
（方法1）分别计算点M，N，P到圆心C的距离：CM＝ ＝>，CN＝ ＝，CP＝ ＝<，所以点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内.
（方法2）由于（5-4）2+（3-6）2＝10>5，故点M在圆外；
由于（3-4）2+（4-6）2＝5，故点N在圆上；
由于（3-4）2+（5-6）2＝2<5，故点P在圆内.
例4 已知圆C的标准方程为（x-5）2+（y-6）2＝a2（a>0）.
（1）若点M（6，9）在圆上，求半径a；
（2）若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围.
【解题提示】 （1）由点在圆上，满足圆的方程可求得a的值；（2）点在圆内（外），则点与圆心的距离小于（大于）圆的半径，可求a的范围.
【解】 （1）∵ 点M（6，9）在圆上，
∴ （6-5）2+（9-6）2＝a2，即a2＝10.
又a>0，∴ a＝.
（2）易知圆心C的坐标为（5，6），
∴ PC＝＝，
QC＝＝3，且PC>QC，
∴ 点P在圆外，点Q在圆内，∴ 3
（2）已知点A（1，2）在圆C：（x+a）2+（y-a）2＝2a2的外部，求实数a的取值范围.
解：（1）∵ 点P（1，1）在圆（x-a）2+（y+a）2＝4的内部，
∴ （1-a）2+（1+a）2<4，即a2<1.解得-1
∴ a<.又2a2>0，∴ a≠0，∴ a的取值范围是a|a<且a≠0}.
二 圆的一般方程
<1>二元二次方程表示圆的条件
例4 若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a＝0表示圆，则a的值为 （ ）
A.1或-2 B.2或-1 C.-1 D.2
【解析】 若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a＝0表示圆，
则解得a＝-1.
【答案】 C
1.［2020·四川蓉城名校联盟高二检测］若方程x2+y2-2tx+4y+2t+7＝0表示圆，则实数t的取值范围是 .
解析：若方程x2+y2-2tx+4y+2t+7＝0表示圆，则（-2t）2+42-4（2t+7）>0，解得t<-1或t>3.
（-∞，-1）∪（3，+∞）
解析：若方程x2+y2-ax+2y+1＝0能表示圆，则（-a）2+22-4×1>0，解得a≠0.所以，若方程x2+y2-ax+2y+1＝0不能表示圆，则a＝0.
2.［2020·山东青岛高二检测］若方程x2+y2-ax+2y+1＝0不能表示圆，则实数a的值为（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.2
A
<2>圆的一般方程与标准方程的互化
例5 已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+＝0的圆心坐标是，则此圆的半径为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】圆C：x2+y2+Dx+Ey+＝0，即+＝ ，表示以点 为圆心，半径为的圆.根据圆C的圆心坐标是，得D＝1，E＝-4，故圆C的半径为＝2.
【答案】 A
［2020·湖北华中师大一附中高二检测］圆C：2x2+2y2+ax-4y-3＝0的直径为，则圆C的圆心坐标可能是 （ ）
A. B. C.（3，2） D.（-3，2）
解析：圆C的标准方程为+（y-1）2＝+，故+＝，所以＝，解得a＝±6，所以圆C的圆心坐标为.
A
<3>求圆的一般方程
例6 已知△ABC的顶点坐标为A（1，1），B（2，4），直线l经过点B且与直线x-y+1＝0平行，点A和点C关于直线l对称.
（1）求直线AC的方程；（2）求△ABC外接圆的方程.
【解题提示】 （1）先由题意求出直线l的方程，再由点A和点C关于直线l对称，确定直线AC的斜率，由点斜式写出直线AC的方程即可；（2）可根据题意求出圆心坐标以及半径，得到圆的标准方程；也可结合（1）的结果先求出点C的坐标，再由待定系数法设出圆的一般方程，将A、B、C三点坐标代入得出方程组，求解即可.
【解】 （1）∵ 直线l与直线x-y+1＝0平行，∴ 直线l的斜率kl＝1.
又∵ 点A和点C关于直线l对称，
∴ 直线AC与l垂直，∴ 直线AC的斜率kAC＝-1.
又∵ 直线AC过点A（1，1），∴ 直线AC的方程为y-1＝-（x-1），
即x+y-2＝0.
（2）（方法1）∵ kl＝1且直线l经过点B（2，4）
∴ 直线l的方程为y-4＝x-2，即x-y+2＝0.∵ A（1，1），B（2，4），
∴ AB的中点为，直线AB的斜率kAB＝＝3，
∴ 线段AB的垂直平分线的方程为y-＝-，即x+3y-9＝0.
△ABC的外接圆的圆心即为直线l与x+3y-9＝0的交点.
由得∴ △ABC外接圆的圆心坐标为，
∴ 半径r＝＝，∴ △ABC外接圆的方程为+＝.
（方法2）设直线l的方程为x-y+c＝0，∵ 直线l经过点B（2，4），
∴ 2-4+c＝0，∴ c＝2，即直线l的方程为x-y+2＝0.
设C（x0，y0），由（1）知kAC＝-1，即＝-1.①
又∵ 线段AC的中点在直线l上，∴-+2＝0.②
由①②得x0＝-1，y0＝3，∴ C（-1，3）.
设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
由题意可得解得
故△ABC外接圆的方程为x2+y2-x-y+5＝0.
［2020·河南驻马店高一期末］已知△ABC三个顶点坐标为A（0，2），B（0，-2），C（-2，2）.
（1）在△ABC中，求与BC边平行的中位线所在直线的方程；
（2）求△ABC外接圆的方程.
解：（1）由题意知，AC边的中点为（-1，2），AB边的中点为（0，0），
故与BC边平行的中位线所在直线方程为2x+y＝0.
（2）设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
把A，B，C三点的坐标代入外接圆的方程，得
解得
故所求的圆的方程为x2+y2+2x-4＝0.
过不共线的三点A，B，C的圆的方程的求法
1.待定系数法（代数法）：设出圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0，分别把三个点的坐标代入，求出待定系数D，E，F，即可求出圆的方程；
2.直接法（几何法）：因为所求圆为△ABC的外接圆，所以△ABC任意两边的中垂线交点即为外接圆的圆心，顶点到圆心的距离即为外接圆的半径，代入圆的标准方程即可.
<4>点与圆的位置关系问题
例7 已知点A是圆C：x2+y2+ax+4y-5＝0上任意一点，点A关于直线x+2y-1＝0的对称点也在此圆上，则实数a＝ .
【解析】 由题意可知，圆C的圆心在直线x+2y-1＝0上，则--4-1＝0，解得a＝-10.
【答案】 -10
［2020·浙江湖州高一检测］过点P（-3，0）作直线：2x+（λ+1）y+2λ＝0（λ∈R）的垂线，垂足为M，已知点N（3，2），则当λ变化时，|MN|的取值范围是（ ）
A.［0，5+］ B.［5- ，5+ ］
C.［5，5+ ］ D.［5- ，5］
B
解析：直线2x+（λ+1）y+2λ＝0（λ∈R），
即（2x+y）+λ（y+2）＝0.
由得直线经过定点Q（1，-2）.
由△PQM为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，
可得圆心为PQ的中点H（-1，-1），半径r＝|PQ|＝，
则|MN|的最大值为|NH|+r＝+＝5+；
|MN|的最小值为|NH|-r＝ -＝5-.
故|MN|的取值范围为［5- ，5+ ］.
题组三 与圆有关的轨迹问题
例8 已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足|PA|＝λ|PB|（λ>0），若点P的轨迹为一条直线，则λ＝ ；若λ＝2，则点P的轨迹方程为 .
【解题提示】 设P（x，y），把|PA|＝λ|PB|两边平方，整理得，
（1-λ2）x2+（1-λ2）y2+4（1+λ2）x+4-4λ2＝0，从而可得结果.
【解析】 设P（x，y），由|PA|＝λ|PB|可得，＝，
两边平方，整理得点P的轨迹方程为
（1-λ2）x2+（1-λ2）y2+4（1+λ2）x+4-4λ2＝0.
若该方程表示直线，则解得λ＝1.
当λ＝2时，点P的轨迹方程为3x2+3y2-20x+12＝0，
即x2+y2-x+4＝0.
【答案】 1；x2+y2-x+4＝0
已知圆C与y轴相切，圆心在直线x-2y＝0上，且经过点A（2，3），求圆C的方程.
解：∵ 圆心在直线x-2y＝0上，∴ 设圆心坐标为（2a，a）.
又圆C与y轴相切，∴ 半径r＝2|a|.
设圆C的标准方程为（x-2a）2+（y-a）2＝4a2，
∵ 圆C经过点A（2，3），∴ （2-2a）2+（3-a）2＝4a2，∴ a＝1或a＝13，
∴ 圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2＝4或（x-26）2+（y-13）2＝676.
求轨迹方程的常用方法
1.直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）＝0.
2.定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义写出动点的轨迹方程.
3.代入（相关点）法：动点P（x，y）随另一动点Q（x0，y0）的变化而变化，常利用代入法求动点P（x，y）的轨迹方程.
小结
1.圆的标准方程
圆的标准方程：（x-a）2+（y-b）2＝r2.
表示以点（a,b）为圆心，r为半径的圆.
2.点与圆的位置关系
点M（x0，y0）与圆（x-a）2+（y-b）2＝r2的位置关系
点M在圆外（x0-a）2+（y0-b）2>r2；
点M在圆上（x0-a）2+（y0-b）2＝r2；
点M在圆内（x0-a）2+（y0-b）2
一般地，形式x2+y2+Dx+Ey+F＝0，其中D，E，F都是常数.称为圆的一般方程.
（1）当 >0时，方程是以为圆心，为半径的圆的方程；
（2）当D2+E2-4F＝0时，满足方程的实数只有x＝-，y＝-，所以原方程不是
圆的方程；
（3）当D2+E2-4F<0时，方程没有实数解，因而原方程也不是圆的方程.