2.3.4圆与圆的位置关系 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
2.3　圆及其方程
2.3.4　圆与圆的位置关系
第二章 平面解析几何
重点：两圆位置关系的判断
难点：通过联立两圆方程来研究两圆位置关系
1.掌握圆与圆的位置关系及判断方法.
2.了解两圆相交或相切时一些简单的几何性质的应用.
学习目标
知识梳理
圆与圆的位置关系
两个圆的半径r1，r2以及两个圆的圆心距d来判断两个圆位置关系的方法：
两个圆外离d>r1+r2；
两个圆外切d＝r1+r2；
两个圆相交 ；
两个圆内切 ；
两个圆内含d<|r1-r2|.
|r1-r2|d＝|r1-r2|
常考题型
题组一　两圆的位置关系的判断及应用
<1>圆与圆的位置关系的判断
例1 已知直线3x+4y+4＝0与圆M：x2+y2-2ax＝0（a>0）相切，则圆M和圆N：（x-1）2+（y-1）2＝1的位置关系是 （　　）
A.相离　　 B.外切　　 C.相交　　 D.内切
【解题提示】　根据直线与圆M相切，可利用圆心到直线距离等于半径求得参数a，再根据圆心距与两半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系.
【解析】　因为直线3x+4y+4＝0与圆M：x2+y2-2ax＝0（a>0）相切，圆心M的坐标为（a，0） ，半径为a，所以a＝ ，解得a＝2或a＝-（舍去），
所以圆M的方程为（x-2）2+y2＝4.圆N：（x-1）2+（y-1）2＝1，圆心N的坐标为（1，1），半径为1.
圆心距|MN|＝＝，两个圆的半径的和为3，半径的差为1.因为1< <3 ，所以两个圆相交.
【答案】　C
【变式训练】
1.圆A：x2+y2＝1与圆B：x2-4x+y2-5＝0的公共点个数为 （　　）
A.0　　 B.3　　 C.2　　 D.1
解析：圆A：x2+y2＝1的圆心为A（0，0），半径为1；圆B：x2-4x+y2-5＝0，即（x-2）2+y2＝9的圆心为B（2，0），半径为3.圆心距|AB|＝2＝3-1，所以两圆的位置关系为内切，故只有一个公共点.
【变式训练】
2.设r>0，两圆（x-1）2+（y+3）2＝r2与x2+y2＝16的位置关系可能是 （　　）
A.相离　　　　　　 B.相交或外离
C.内切或内含或相交　　 D.外切或外离
解析：∵ 两圆圆心坐标分别为（1，-3），（0，0），∴ 两圆的圆心的距离为 ＝.又两圆的半径分别为r，4，∴ 当|4-r|< <4+r时，两圆相交；当|4-r|＝ 时，两圆内切；当|4-r|< 时，两圆内含.
【方法技巧】
判断两圆位置关系的方法
1.几何法：由圆心距|C1C2|和两圆的半径的和与差之间的关系来判断，
（1）两圆外离?|C1C2|>r1+r2；（2）两圆外切?|C1C2|＝r1+r2；
（3）两圆相交?|r1-r2|<|C1C2|（5）两圆内含?|C1C2|<|r1-r2|.
2.代数法：联立圆与圆的方程，消去y，得到一个关于x的一元二次方程，
（1）Δ>0?两圆相交； （2）Δ＝0?两圆外切或内切；
（3）Δ<0?两圆外离或内含.
<2>由圆与圆的位置关系求参数
例2 已知圆（x-a）2+y2＝9（a>5）上存在点M，使得|OM|＝2|MQ|（O为原点）成立，Q（2，0），则实数a的取值范围是　　　　.
【解题提示】　根据条件中|OM|＝2|MQ|计算出点M的轨迹方程，然后转化为圆与圆的位置关系，求出实数a的取值范围.
【解析】　设M（x，y），由|OM|＝2|MQ|，得 ＝，化简得 +y2＝ ，故点M的轨迹是以为圆心，半径为的圆.又点M在圆（x-a）2+y2＝9（a>5）上，故两圆有交点，可得3- ≤≤3+，又a>5，解得5【答案】　（5，7］
【变式训练】
1.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x-a）2+（y-a-2）2＝1与圆C2：x2+y2-2x-3＝0有公共点，则实数a的取值范围是　　　　.
解析：圆C1：（x-a）2+（y-a-2）2＝1，其圆心为C1（a，a+2），半径r1＝1，圆C2：x2+y2-2x-3＝0，即（x-1）2+y2＝4，其圆心为C2（1，0），半径r2＝2.
若两圆有公共点，则2-1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a-1）2+（a+2）2≤9，变形可得， 解得-2≤a≤1，即a的取值范围为［-2，1］.
【变式训练】
2.若圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m＝0相切，则实数m＝（　　）
A.9　　 B.-11　　 C.-11或-9　　 D.9或-11
D
解析：圆C1的圆心坐标为（0，0），半径r1＝1；圆C2的圆心坐标为（3，4），半径r2＝ ..当圆C1与圆C2外切时，＝1+所以m＝9；当圆C1与圆C2内切时，＝|-1|，所以m＝-11.
综上，m＝9或-11.
【方法技巧】
根据圆与圆的位置关系求参数的步骤
1.化圆的方程为标准方程，求出圆心和半径；
2.根据两圆的位置关系，转化为圆心距与两圆半径的和与差的关系；
3.解方程（组）或不等式（组），求解参数值或取值范围.
<3>由圆与圆的位置关系求圆的方程
例3 ［2020·江苏宿迁高一期末］以（3，4）为圆心，且与圆x2+y2＝1外切的圆的标准方程为　　　　　　　.
【解析】　根据题意，设所求圆的标准方程为（x-3）2+（y-4）2＝r2（r>0），圆x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径为1.
由两圆外切，得＝r+1，解得r＝4.故所求圆的标准方程为（x-3）2+（y-4）2＝16.
【答案】（x-3）2+（y-4）2＝16
【变式训练】
求与圆C：x2+y2-2x-4y＝0外切于点P（2，4），且半径为 的圆M的方程.
解：圆C：x2+y2-2x-4y＝0化为（x-1）2+（y-2）2＝5.
设所求圆的圆心为M（a，b），∵ 圆M与圆C外切于点P（2，4），
∴ 切点P（2，4）与两圆的圆心三点共线，∴ ＝ ，∴ b＝2a.①
又 ＝2，∴ a2+b2-4a-8b＝0.②
联立①②解得（舍去）或
故所求圆的方程为（x-4）2+（y-8）2＝20.
题型二 两圆的公切线问题
例4 与圆O1：x2+y2+4x-4y+7＝0和圆O2：x2+y2-4x-10y+13＝0都相切的直线条数是（　　）
A.2　　 B.3　 C.4　　 D.1
【解题提示】　求出两圆的圆心坐标和半径，计算出两圆的圆心距，与两圆半径的和与差比较，判断出两圆的位置关系.
【解析】　圆O1：x2+y2+4x-4y+7＝0的圆心坐标为（-2，2），半径为1，圆O2：x2+y2-4x-10y+13＝0的圆心坐标为（2，5），半径为4，两圆心之间的距离d＝5，等于半径和，故两圆外切，故公切线共有3条.
【答案】　B
1.［2020·江西宜春高三检测］若圆C：x2+y2＝5-m与圆E：（x-3）2+（y-4）2＝16有三条公切线，则m的值为（　　）
A.2　　　　　　B. 　　　　　　C.4　　　　　　D.6
【变式训练】
解析：由题意可知两圆外切，圆C的圆心为（0，0），半径为，圆E的圆心为（3，4），半径为4，则＝+4，解得m＝4.
C
【变式训练】
解析：圆C1：x2+y2＝1，圆心为（0，0），半径为1；
圆C2：（x-4）2+y2＝25，圆心为（4，0），半径为5.圆心距为4＝5-1，故两圆内切.易知切点为（-1，0），圆心连线为x轴，所以两圆公切线的方程为x＝-1，即x+1＝0.
2. ［2020·安徽六安高一检测］已知圆C1：x2+y2＝1，圆C2：（x-4）2+y2＝25，则两圆公切线的方程为　　　　.
x+1＝0　
【方法技巧】
两圆的公切线条数的判断
两圆的公切线条数与两圆位置关系的对应如下：
（1）两圆外离?两圆有4条公切线；
（2）两圆外切?两圆有3条公切线；
（3）两圆相交?两圆有2条公切线；
（4）两圆内切?两圆有1条公切线；
（5）两圆内含?两圆没有公切线.
题组三　两圆的公共弦问题
例5 已知圆C：x2+y2-2x+4my+4m2＝0，圆C1：x2+y2＝25，直线l：3x-4y-15＝0.
（1）求圆C1：x2+y2＝25被直线l截得的弦长；
（2）当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l.
【解题提示】　（1）根据圆心到直线的距离、半径与弦长的一半满足勾股定理求出弦长；（2）利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，利用直线平行列方程求得m的值.
【解】　（1）因为圆C1：x2+y2＝25的圆心坐标为（0，0），半径为5，圆心（0，0）到直线l：3x-4y-15＝0的距离为d＝＝3，所以直线l被圆C1：x2+y2＝25截得的弦长为 ＝8.
（2）圆C与圆C1的方程相减可得公共弦所在直线的方程为2x-4my-4m2-25＝0.因为该弦平行于直线l：3x-4y-15＝0，所以 ＝≠，解得m＝.经检验符合题意，所以m的值为.
若圆（x-a）2+（y-b）2＝b2+1始终平分圆（x+1）2+（y+1）2＝4的周长，则a，b应满足的关系式是（　 　）
A.a2-2a-2b-3＝0 　 B.a2+2a+2b+5＝0
C.a2+2b2+2a+2b+1＝0 　 D.3a2+2b2+2a+2b+1＝0
【变式训练】
解析：∵ 圆（x-a）2+（y-b）2＝b2+1始终平分圆（x+1）2
+（y+1）2＝4的周长，∴ 过两圆交点的直线过圆（x+1）2+（y+1）2＝4的圆心（-1，-1）.两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程为（2+2a）x+（2+2b）y-a2-1＝0，将点（-1，-1）的坐标代入可得-2-2a-2-2b-a2-1＝0，即a2+2a+2b+5＝0.
B
【方法技巧】
1.两圆相交时，两圆的公共弦所在直线方程的求法
若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1＝0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为两圆方程的差，即（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2＝0.
2.两圆相交时公共弦长的求法
（1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长；
（2）几何法：根据圆的几何性质，公共弦所在直线与过两圆圆心的直线垂直，求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距满足勾股定理求解.
题组四　圆系方程
例6 圆心在直线x-y-4＝0上且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交点的圆的方程为 （　　）
A.x2+y2-x+7y-32＝0 　　B.x2+y2-x+7y-16＝0
C.x2+y2-4x+4y+9＝0 　　D.x2+y2-4x+4y-8＝0
【解题提示】　设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ（x2+y2+6y-28）＝0，用λ表示出圆心，代入直线x-y-4＝0，求出λ即可.
【解析】　根据题意，设经过两圆x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交点的圆的方程为x2+y2+6x-4+λ（x2+y2+6y-28）＝0，整理可得（1+λ）x2+（1+λ）y2+
6x+6λy-4-28λ＝0，其圆心为 .又圆心在直线x-y-4＝0上，
∴ --4＝0，解得λ＝-7.
故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32＝0.
【答案】　A
1. ［2020·湖北荆州高二检测］已知圆系方程（x-m）2+（y-2m）2＝5（m∈R），这些圆的公切线方程为　　　　　　　.
【变式训练】
解析：由题意知，圆心的轨迹方程为y＝2x，则这些圆的公切线与直线y＝2x平行.设公切线方程为2x-y+c＝0，则，∴ c＝±5，∴ 公切线方程为2x-y±5＝0.
2x-y±5＝0
2.已知一个圆经过两圆x2+y2+4x+y＝-1与x2+y2+2x+2y+1＝0的交点，且有最小面积，求此圆的方程.
【变式训练】
解：设所求圆的方程为x2+y2+2x+2y+1+λ（x2+y2+4x+y+1）＝0，即（1+λ）x2+（1+λ）y2+（2+4λ）x+（2+λ）y+1+λ＝0，其圆心为.
∵ 圆的面积最小，∴ 所求的圆以已知两相交圆的公共弦为直径.又两圆的相交弦的方程为2x-y＝0，将圆心的坐标代入2x-y＝0，得λ＝-，
∴ 所求圆的方程为x2+y2+x+y+＝0，即x2+y2+x+y+1＝0.
【方法技巧】
过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1＝0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2＝0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）＝0（λ≠-1）（其中不含有圆C2，因此注意检验圆C2是否满足题意以防丢解）.当λ＝-1时，圆系方程表示直线l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2＝0（当两圆是同心圆时，此直线不存在）：
①若两圆相交，则l为两圆公共弦所在直线；
②若两圆相切，则l为公切线；
③若两圆相离，则l为与两圆圆心连线垂直的直线.
小结
圆与圆的位置关系
两个圆的半径r1，r2以及两个圆的圆心距d来判断两个圆位置关系的方法：
两个圆外离d>r1+r2；
两个圆外切d＝r1+r2；
两个圆相交|r1-r2|两个圆内切 d＝|r1-r2|. ；
两个圆内含d<|r1-r2|.