人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.1 圆的标准方程 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
2.4.1 圆的标准方程
我们知道，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
复习引入
A
M
r
x
O
y
圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合。
定点
定长
圆心
半径
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．
因此一个圆最基本的要素是:圆心和半径．
1.圆的定义
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．
因此一个圆最基本要素是:圆心和半径．
x
O
y
A
(a,b)
M
r
(x, y)
圆的基本要素
如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标(a，b)表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x，y)与圆心A(a，b)的距离．
圆心为A的圆就是集合
圆上任意点M(x，y)与圆心A(a，b)之间的距离能用什么公式表示？
根据两点间距离公式：
则点M、A间的距离为：
又
x
O
y
A
(a,b)
M
r
(x,y)
圆的方程
2.圆的标准方程
我们把这个方程称为圆心为A(a，b)，半径为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程.
注：三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
特殊位置的圆方程
因为圆心是原点O(0,0)，将a＝0，b＝0和半径r 代入圆的标准方程：
问题
圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？
得：
整理得：
*注：特别的，圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是
X
y
0
2
-2
1.求圆的圆心及半径
(1)x2+y2=4 (2)(x+1)2+y2=1
练习:
解：(1)圆心(0，0)，半径r= 2
(2)圆心(－1，0)，半径r=1
x
y
0
2
－2
C(0,0),r=2
x
y
0
－1
C(－1，0),r=1
圆心为A(a，b)，半径长为r
2.求圆心和半径
⑴圆(x－1)2+(y－1)2=9
⑵圆(x－2)2+(y+4)2=2
圆心(2，－4)，半径为
⑶ 圆(x+1)2+(y+2)2=m2
圆心(1，1)，半径为3
圆心(－1，－2)，半径为|m|
圆心为A(a，b)，半径为r的圆
请看课本P85：练习1
表示圆心为A(a，b)，半径长为r的圆
例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上．
解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：
把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点
在这个圆上；
例题讲解
把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上．
怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？
探究
A
x
y
o
M2
M3
M1
从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则该点在这个圆上，反之，如果不能使圆的方程成立，则该点不在这个圆上．
点在圆外——点到圆心的距离大于半径r.
点在圆内——点到圆心的距离小于半径r;
点在圆上——点到圆心的距离等于半径r;
3.点与圆的位置关系
怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？
探究
A
x
y
o
M2
M3
M1
从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．
设点M到圆心的距离为d，则可以看到：
点在圆内 d点在圆上 d=r ；
点在圆外 d>r ．
3.点与圆的位置关系
1.圆的标准方程：
表示圆心为A(a，b)，半径为r的圆。
课堂小结：
*注：特别的，圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是
2.点与圆的位置关系
A
x
y
o
M2
M3
M1
如果设点M到圆心的距离为d,则 点在圆外 d>r ； 点在圆上 d=r ；
点在圆内 d请看课本P85：练习3
请看课本P85：练习3
圆心：直径的中点
半径：直径长度的一半
解：设点C（a，b）为直径
的中点，则
圆方程为：
因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内。
圆心坐标为C（5，6）
求以C(1，3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆.
圆心：已知
半径：圆心到切线的距离
解：
设所求圆的半径为r，则
=
∴所求圆的方程为：
C
y
x
O
M
补充练习：
圆心C(1，3)到切线3x-4y-7=0的距离为：
解：设所求圆的方程是 (1)
因为A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是
待定系数法
△ABC的外接圆的方程为：
例2: 的三个顶点的坐标分别A(5，1)， B(7，－3)，C(2， －8)，求它的外接圆的方程．
请看课本P85：练习4
例3: 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线l：x－y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程．
分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小．圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，由于圆心C与A, B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线 上．又圆心C在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 的交点，半径长等于|CA|或|CB|．
半径：圆心到圆上一点的距离
x
y
O
C
A(1,1)
B(2,-2)
弦AB的垂直平分线
D
解：因为A(1，1)和B(2，－2)，所以线段AB中点D坐标为
直线AB的斜率:
因此线段AB的垂直平分线 的方程是
即
解方程组
得
所以圆心C的坐标是
圆心为C的圆的半径长
所以，圆心为C的圆的标准方程是
例3: 已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程．