高中数学人教新课标B版必修2《2.2.4 点到直线的距离》教学设计

全日制普通高中人教B版必修2
《2.2.4点到直线的距离》
1、教学内容
本节课是人教B版数学必修2第二章《平面解析几何初步》§2.2.4节，主要内容是点到直线的距离公式的推导和应用。
2、课程标准
探索并掌握点到直线的距离公式，会求点到直线的距离。
3、地位与作用
本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，是在学生已掌握了两点间距离、解直角三角形、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识基础上的学习，对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系等几何问题的进一步学习奠定了基础。
二、学情分析
学生虽然学习了两点间距离、解直角三角形、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识，但本节课的定性与定量计算仍然很难。
三、设计理念
本着“教师为主导，学生为主体，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想，采用“问题探究式教学方法”。通过创设问题情境，在认知冲突中激发学生的探索欲望；通过设置一条问题链，引导学生自主探究与合作交流相结合去研究；通过恰当的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质.
四、教学目标
依据《普通高中数学课程标准》的要求及教材的特点，结合学生的认知水平确定教学目标如下：
1、知识与技能目标：
理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线距离公式并能用公式解决实际问题，在课后的问题解决过程中自主探索两平行线间距离公式。
2、过程与方法目标：
⑴通过对点到直线的距离公式的推导与应用，培养学生数形结合、分类讨论、转化与化归的数学思想，引导学生尝试探究性思维方法，提升学生由特殊到一般、由具体到抽象的研究能力，以及用代数方法解决几何问题的能力。
⑵通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生辩证的观点和数学元认知能力。
⑶通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程。
3、情感、态度与价值观目标：
通过特殊到一般，具体到抽象的层层递进式的问题解决中培养学生多途径、多角度分析和解决问题，体会将理论知识和现实生活建立联系的快乐，提高数学学习兴趣，克服畏惧感，激发求知欲；通过合作探究学习培养学生锲而不舍的钻研精神和合作交流的团队精神。
4、教学重点、难点及确立的依据
教学重点：点到直线的距离公式
教学难点：点到直线的距离公式的推导
五、教学方法
1、讲授法
2、探究法
3、实践法
4、演示法
六、学法指导
本节课主要引导学生在问题的解决中学习反思，并通过一个问题的解决形成解决一类问题的能力，甚至该问题派生出的一系列问题
七、教学过程
创设情景，引入课题——启发探索；合作尝试——交流悟理；加深理解——研究例题；联系运用——反馈矫正；知识迁移——归纳小结，纳入体系。
㈠创设情景提出问题
1、问题：如图,在铁路的附近有一大型仓库。现要修建一条公路与之连接起来。那么怎样设计能使公路最短？
假设在平面直角坐标系中，仓库所在点P（-1,2），铁路所在直线方程为2x-3y+14=0.问：最短路程是多少？
由这个实际问题引出本节课“点到直线距离”。
㈡合作探究
1、思路一：利用两点间距离公式求解
简解：直线PQ的方程为3x+2y-1=0,
与直线l联立方程组
,
解得点Q的坐标为（
利用两点间距离公式得
2、思路二：构造三角形，利用面积求解
简解：过点P作x轴的平行线交直线l于点M，
作y轴的平行线交直线l于点N，
则坐标分别是M(-4，2)，N(-1，4)
所以在Rt△PMN中，|PM|=3,|PN|=2,|MN|=
由三角形面积得，|PM|·|PN|=|MN|·|PQ|
所以
3、思路三：利用直角三角形正弦函数求解
简解：直线l交x轴、y轴分别于点E(-7，0)、F(0,.过点P作x轴、y轴的平行线分别交直线l于点M(-4，2)，N(-1，4)，
所以|PM|=3,|OF|=,|EF|=
则在Rt△PMQ和Rt△OEF中，有
sin∠PMQ= ,即
所以
上述三种解题思路和过程，学生合作探究，之后代表到黑板展示，为下面一般性的推导做铺垫。
?
上面的问题比较特殊?下面我们研究一个比较一般性的问题
问题变式一：求点P（x0 ,y0）到直线l：2x-3y+14=0的距离。
学生采用上述问题中经历过的三种方法中的某一种方法进行求解，给出结果。教师通过幻灯片展示其中一种思路的过程。
简解：直线l交x轴、y轴分别于点E(-7，0)、F(0,.过点P作x轴、y轴的平行线分别交直线l于点M(，y0)，N(x0，)，
所以|PM|=,|OF|=,|EF|=
则在Rt△PMQ和Rt△OEF中，有
sin∠PMQ= ,即
所以
从简单问题入手?让学生能沿着教师设置的问题的梯子拾级而上?在由特殊
到一般、由抽象到具体的思维活动过程中提出问题，并逐步解决问题。
问题变式二：求点P（x0 ,y0）到直线l：Ax+By+C=0(A ·B ≠0)的距离。
通过问题变式一的结果引导学生归纳猜想：距离d并给予详细的证明过程。
推导过程（幻灯片展示）：
证明(法一)：设Q(x1，y1)，则，
因为PQ⊥l，所以,即B(x1-x0)-A(y1-y0)=0 ①
又因为Ax1+By1+C=0，所以Ax1+By1=-C
两边同减Ax0+By0,得
A(x1-x0)+B(y1-y0)= -（Ax0+By0+C） ②
①2+②2得
(A2+B2)(x1-x0)2+(A2+B2) (y1-y0)2=（Ax0+By0+C）2
即(A2+B2)d2=（Ax0+By0+C）2
所以d=
证明(法二)：直线l交x轴、y轴分别于点E、F(0,.过点P作x轴的平行线交直线l于点M(，y0) .所以|PM|=,|OF|=,|EF|=
则在Rt△PMQ和Rt△OEF中，有sin∠PMQ= ,即
所以
所以点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离为d=
证明(法三)：直线l交x轴、y轴分别于点E、F(0,.过点P
作x轴、y轴的平行线分别交直线l于点M(，y0) ，N(x0，).
所以|PM|=,|PN|=,|MN|=
由三角形面积公式得，|MN|·|PQ|=|PM|·|PN|
所以
所以点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0（A·B≠0）的距离为d=
完整吗？还有什么不足？
特别地：
当A=0，即l∥y轴时
此时直线l:
又PQ∥y轴,
所以|PQ|=
结论成立。
⑵当B=0，即l∥x轴时
此时直线l:
又PQ∥x轴,
所以|PQ|=
结论成立。
强调研究问题的完整性。
得出结论（板书）：
点P（x0，y0）到直线l:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)的距离公式：
d=
师生共同分析公式的特征，学生加强记忆。
1.此公式的作用是求点到直线的距离；
2.公式特征：分子是将点的坐标代入直线方程一般式的左边得到的代数式加绝对值；分母是;
3．公式的适用范围：当A=0或B=0时，公式仍成立，但计算时常用图形直接求解。
4.使用公式应注意的问题：
（1）套用点到直线距离的公式时，应先将直线方程化为一般式；
（2）该公式对于任何位置的点P（包括直线上的点）都适合；
㈢典例解析
例1:求点P(-1,2)到直线⑴ 2x+y=5； ⑵ 3x=2的距离。
解：（1）直线方程的一般式为2x+y-5=0
X0=-1,y0=2,A=2，B=1，C=-5
由点到直线的距离公式，得
（2）因为直线3x=2平行于y轴
所以
（教师板书示范，强调步骤。强化学生公式记忆和运用）
求点P（x0，y0）到直线l:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)的距离的计算步骤（板书）：
1.将直线方程化为一般式；
2.给点的坐标及方程的系数赋值；
3.代入距离公式计算求值.
练习1：求下列点到相应直线的距离
⑴O(0,0)
⑵A(1,0)
⑶B(-1,2)
⑷C(1,2)
⑸D(-2,3)
⑹E(1,-1)
（学生答题，自主练习，巩固应用知识，加深知识的识记）
例1变式1：已知点P(a,2)到直线和的距离分别为和1，求a的值。
解：（1）因为x0=a，y0=2，A=2，B=1，C=-5
由点到直线的距离公式，得
,即
解得
（2）因为直线3x=2平行于y轴
所以,解得
例1变式2：已知点P点在直线 上O为坐标原点，求|OP|的最小值。
解：|OP|的最小值就是点O到直线l:2x+y-5=0的距离
根据点到直线的距离公式，得
所以|OP|的最小值为。
思考：
1.平行线l1:12x-5y+8=0与l2:12x-5y-24=0之间的距离是多少？
2.如何求两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离？
一般性结论是什么？
㈣课堂小结（师生共同完成）
1.本节课学到的知识：
点P（x0，y0）到直线l:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)的距离公式：
d=
2.本节课掌握的方法：
观察分析法、归纳法、整体代换法、综合法等
3.本节课渗透的数学思想：
数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想
4.本节课提升的数学能力：
计算能力、分析问题能力、特殊到一般和具体到抽象的探究能力
㈤课后作业
A层：课本89页练习A组第2题，练习B组第1、2题，91页14题，课后思考题。
B层：课本89页练习A组第2题，练习B组第1、2题，课后思考题。
C层：课本89页练习A组第2题，练习B组第1、2题。
八、板书设计
(
课题：
点到直线的距离
)
(
一、点到直线距离公式
1、公式
(
)
2、强调
⑴公式作用；
⑵公式的结构特点；
⑶适用范围；
3、求点到直线距离的计算步骤：
⑴直线化成一般式；
⑵
给点的坐标及方程的系数赋值；
3、代入距离公式计算求值.
) (
一、典例解析
例1：
解：
（1）直线方程的一般式为
2
x+y
-5=0
X
0
=-1,y
0
=2,A=2，B=1，C=-5由点到直线的距离公式，得
（2）因为
直线3
x=
2
平行于
y
轴
所以
) (
一、点到直线距离公式推导
1、思路一：利用两点间距离公式（幻灯片展示）；
2、思路二：利用三角形面积（学生板书）；
3、思路三：利用直角三角形正弦函数（幻灯片展示）。
)