高中数学人教新课标B版必修2--《1.2.3 空间中的垂直关系》教学设计2
文档属性
| 名称 | 高中数学人教新课标B版必修2--《1.2.3 空间中的垂直关系》教学设计2 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 131.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-24 22:17:48 | ||
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文档简介
《直线与平面垂直的判定》教学设计
使用教材：人教社B版教材必修2
【教学目标】
1.学生能借助直线与平面垂直的具体实例，解释“直线与平面垂直”的含义；
2.学生能通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理；
3.在对定义和判定定理的探究和运用的过程中，体会线线垂直与线面垂直相互转化的数学思想；
【教学重点】
1.直线与平面垂直的定义；
2.直线与平面垂直的判定定理．
【教学难点】
1.直线与平面垂直的判定定理的探究;
2.定义和定理中转化思想的挖掘．
【教学方式】 启发探究式
【教学手段】 计算机、自制课件、实物模型
【教学过程】
一、创设情境，引出新知
1.复习空间直线与平面的位置关系，学生通过举例感知生活中直线与平面相交的位置关系，在此基础上提出本节课将重点研究线面的垂直关系．
设计意图：从已有知识中引出新的学习问题，激发学生学习数学的兴趣．
2.给出学生熟悉的图片，引导他们观察国旗旗杆与地面的位置关系，广播塔与地面的位置关系，火箭与地面的位置关系等。然后引出：
问题1：将国旗旗杆与地面上的影子抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确描述，从而引出——
直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直．
设计意图：通过“具体形象——几何图形——数学语言”的学习过程，引导学生体会定义的合理性．
3.线面垂直定义的辨析
（1）说明直线与平面垂直的画法；介绍相关概念：垂面，垂线，垂足。
（2）提出辨析问题：能否将定义中的“任意一条直线”换成“一条直线或有限条直线或无数条直线”，并举例说明。
（3）如何说明一条直线与一个平面不垂直？只需找到这条直线与这个平面内一条直线不垂直即可，即“一票否决”.
设计意图：通过定义辨析，加强对定义中“任意一条直线”的正确认识.
二、群策群力，探知循规
任意一个定义既可用作性质，即如果已知一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内任意一条直线；又可用作判定，即要证一条直线与一个平面垂直，需要满足平面内的每一条直线都与该直线垂直，由于平面内有无数条直线，所以若用定义来判断直线与平面垂直，有时是困难的，甚至是无法完成的，是否有更简洁的判断方法呢？引出课题：2.2.3直线与平面垂直的判定.
试验：准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A，，．如图，过△的顶点折叠纸片，得到折痕，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使、边与桌面接触）
问题:2：折痕与桌面一定垂直吗？
追问：为什么图2中折痕不一定与桌面垂直？（引导学生根据定义进行回答）
设计意图：从另一个角度理解定义：如果想说明一条直线与平面不垂直，只需要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了,实际上就是举反例.
问题3：如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面垂直？
追问：为什么图1中折痕AD与桌面是垂直的？（引导学生根据定义进行确认）
（1）组织学生以小组的形式探究讨论：折叠图形1不论在桌面上如何平移和转动，折痕AD与桌面的垂直关系为什么始终不变？
（2）在学生讨论的基础上教师用课件进行动画演示（如右图），以折痕为轴转动纸片，来说明与平面内过点的所有直线都垂直，平面内不过点的直线，可以通过平移到点，说明它们与都垂直，于是符合直线与平面垂直的定义．
在学生感知直线与平面垂直的判定定理的基础上，进一步引导学生对判定定理中两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．
（3）引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理．
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
强调：两条相交直线，必须满足，不可忽略.
图形语言：
符号语言：，，，，．
设计意图：通过折纸试验，让学生在发现定理的过程中，先通过直观感知， 再操作确认并理性说明，以提高几何直观能力和理性说理能力．
三、迁移拓展，学以致用
1.基础练习，规范格式
(1)正方体中，棱是什么位置关系，它们和底面垂直吗？
(2)变式：已知：，, 求证：．
分析：（1）教师引导学生完成说理过程，注意规范语言. （2）欲证线面垂直，需证线与面内两条相交直线垂直；而已知线面垂直，可得线线垂直，所以，在平面内可作两条相交直线为辅助线，命题可证．
证明：在平面内作两条相交直线．因为直线，
根据直线与平面垂直的定义知．
又因为，所以 ，．
又因为，，，是两条相交直线，所以 ．
方法二：引导学生用定义证明，并全班集体共同整理思路.
设计意图：此题两问都是对判定定理的直接应用，第一个问题中通过观察即可得到定理的条件，目的是进一步强化定理的条件以及定理在应用过程中的准确表述；第二个问题中强调线面垂直与线线垂直的相互转化.此题重视对学生思维策略的引导和启发，培养学生的逻辑推理能力；同时规范证明题的书写．
2.深化认识，提升能力
如图，在直四棱柱ABCD—A B C D 中，已知底面ABCD为正方形，
(1)试判断直线BD与平面A AC是否垂直？
(2)试判断直线BD与A C是否垂直？
解析：
（2）由（1）的结论知：BD与A C垂直.
变式：如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，
(1)底面四边形ABCD满足什么条件时，
(2)底面四边形ABCD满足什么条件时，
分析：要证线线垂直，只需满足线面垂直，而要满足线面垂直，还需线线直，体现数学中线线垂直与线面垂直相互转化的思想.
设计意图：本题为课本第66页的探究题，本题思路跳跃性较大，如果直接让学生去做就会有一部分学生比较困难，产生畏难情绪，所以在探究之前先搭建两个台阶，这样学生思维活动就比较平缓，大部分学生都能顺利探究出问题答案，从而树立学生学习数学的自信心。
四、自我总结，系统梳理
1．学习小结：从知识和方法两个方面进行．
知识方面：线面垂直的定义（1∞1）、线面垂直的判定定理（121）．方法方面：转化思想．概括为：1-1-1
2．布置作业：
（1）阅读课本相关内容进行复习；
（2）做课本79页复习参考题A组第10题，B组第1题；
（3）完成课本66页课后探究题并写出规范步骤．
使用教材：人教社B版教材必修2
【教学目标】
1.学生能借助直线与平面垂直的具体实例，解释“直线与平面垂直”的含义；
2.学生能通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理；
3.在对定义和判定定理的探究和运用的过程中，体会线线垂直与线面垂直相互转化的数学思想；
【教学重点】
1.直线与平面垂直的定义；
2.直线与平面垂直的判定定理．
【教学难点】
1.直线与平面垂直的判定定理的探究;
2.定义和定理中转化思想的挖掘．
【教学方式】 启发探究式
【教学手段】 计算机、自制课件、实物模型
【教学过程】
一、创设情境，引出新知
1.复习空间直线与平面的位置关系，学生通过举例感知生活中直线与平面相交的位置关系，在此基础上提出本节课将重点研究线面的垂直关系．
设计意图：从已有知识中引出新的学习问题，激发学生学习数学的兴趣．
2.给出学生熟悉的图片，引导他们观察国旗旗杆与地面的位置关系，广播塔与地面的位置关系，火箭与地面的位置关系等。然后引出：
问题1：将国旗旗杆与地面上的影子抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确描述，从而引出——
直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直．
设计意图：通过“具体形象——几何图形——数学语言”的学习过程，引导学生体会定义的合理性．
3.线面垂直定义的辨析
（1）说明直线与平面垂直的画法；介绍相关概念：垂面，垂线，垂足。
（2）提出辨析问题：能否将定义中的“任意一条直线”换成“一条直线或有限条直线或无数条直线”，并举例说明。
（3）如何说明一条直线与一个平面不垂直？只需找到这条直线与这个平面内一条直线不垂直即可，即“一票否决”.
设计意图：通过定义辨析，加强对定义中“任意一条直线”的正确认识.
二、群策群力，探知循规
任意一个定义既可用作性质，即如果已知一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内任意一条直线；又可用作判定，即要证一条直线与一个平面垂直，需要满足平面内的每一条直线都与该直线垂直，由于平面内有无数条直线，所以若用定义来判断直线与平面垂直，有时是困难的，甚至是无法完成的，是否有更简洁的判断方法呢？引出课题：2.2.3直线与平面垂直的判定.
试验：准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A，，．如图，过△的顶点折叠纸片，得到折痕，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使、边与桌面接触）
问题:2：折痕与桌面一定垂直吗？
追问：为什么图2中折痕不一定与桌面垂直？（引导学生根据定义进行回答）
设计意图：从另一个角度理解定义：如果想说明一条直线与平面不垂直，只需要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了,实际上就是举反例.
问题3：如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面垂直？
追问：为什么图1中折痕AD与桌面是垂直的？（引导学生根据定义进行确认）
（1）组织学生以小组的形式探究讨论：折叠图形1不论在桌面上如何平移和转动，折痕AD与桌面的垂直关系为什么始终不变？
（2）在学生讨论的基础上教师用课件进行动画演示（如右图），以折痕为轴转动纸片，来说明与平面内过点的所有直线都垂直，平面内不过点的直线，可以通过平移到点，说明它们与都垂直，于是符合直线与平面垂直的定义．
在学生感知直线与平面垂直的判定定理的基础上，进一步引导学生对判定定理中两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．
（3）引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理．
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
强调：两条相交直线，必须满足，不可忽略.
图形语言：
符号语言：，，，，．
设计意图：通过折纸试验，让学生在发现定理的过程中，先通过直观感知， 再操作确认并理性说明，以提高几何直观能力和理性说理能力．
三、迁移拓展，学以致用
1.基础练习，规范格式
(1)正方体中，棱是什么位置关系，它们和底面垂直吗？
(2)变式：已知：，, 求证：．
分析：（1）教师引导学生完成说理过程，注意规范语言. （2）欲证线面垂直，需证线与面内两条相交直线垂直；而已知线面垂直，可得线线垂直，所以，在平面内可作两条相交直线为辅助线，命题可证．
证明：在平面内作两条相交直线．因为直线，
根据直线与平面垂直的定义知．
又因为，所以 ，．
又因为，，，是两条相交直线，所以 ．
方法二：引导学生用定义证明，并全班集体共同整理思路.
设计意图：此题两问都是对判定定理的直接应用，第一个问题中通过观察即可得到定理的条件，目的是进一步强化定理的条件以及定理在应用过程中的准确表述；第二个问题中强调线面垂直与线线垂直的相互转化.此题重视对学生思维策略的引导和启发，培养学生的逻辑推理能力；同时规范证明题的书写．
2.深化认识，提升能力
如图，在直四棱柱ABCD—A B C D 中，已知底面ABCD为正方形，
(1)试判断直线BD与平面A AC是否垂直？
(2)试判断直线BD与A C是否垂直？
解析：
（2）由（1）的结论知：BD与A C垂直.
变式：如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，
(1)底面四边形ABCD满足什么条件时，
(2)底面四边形ABCD满足什么条件时，
分析：要证线线垂直，只需满足线面垂直，而要满足线面垂直，还需线线直，体现数学中线线垂直与线面垂直相互转化的思想.
设计意图：本题为课本第66页的探究题，本题思路跳跃性较大，如果直接让学生去做就会有一部分学生比较困难，产生畏难情绪，所以在探究之前先搭建两个台阶，这样学生思维活动就比较平缓，大部分学生都能顺利探究出问题答案，从而树立学生学习数学的自信心。
四、自我总结，系统梳理
1．学习小结：从知识和方法两个方面进行．
知识方面：线面垂直的定义（1∞1）、线面垂直的判定定理（121）．方法方面：转化思想．概括为：1-1-1
2．布置作业：
（1）阅读课本相关内容进行复习；
（2）做课本79页复习参考题A组第10题，B组第1题；
（3）完成课本66页课后探究题并写出规范步骤．