高中数学人教新课标B版必修2--《2.3.3 直线与圆的位置关系》教学设计2

人教B版必修二—直线与圆的位置关系的教学设计
【教学内容解析】
本节课是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社 课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）必修2中第二章第三节《圆的方程》第三节《直线与圆的位置关系》的第一课时，它是在学生已经掌握“直线的方程”和“圆的方程”的基础上，进一步研究直线与圆的位置关系．
17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究几何问题．上一章，我们学习了直线与方程．知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研究直线间的位置关系，直线与直线的交点等问题．本章在上一章的基础上，将继续用坐标法探究圆的几何特征，建立它的方程，通过方程研究它的简单性质，并用坐标法解决一些与圆有关的简单几何问题和实际问题，如直线与圆、圆与圆的位置关系等问题，进一步让学生感受数形结合的基本思想方法，形成用代数方法解决几何问题的能力．
解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系．本节课将研究直线与圆的位置关系，它的核心内容是如何借助直线的方程和圆的方程来判断直线与圆的位置关系，通过学习让学生掌握两种判断方法．一种方法，根据学生初中学习直线与圆相交、相切、相离的定义的基础上，将直线的方程与圆的方程联立方程组，通过讨论方程组的解的不同情况来判断．本方法主要突出坐标法的思想且具有一般性，可类比地推广到对椭圆、双曲线、抛物线同类问题的研究中．另一种方法，根据学生初中学习的直线与圆三种位置关系的判定，即利用圆心到直线的距离与半径比较．该方法，涉及到把点与坐标、直线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合．需要特别指出的是：该方法属圆的个性范畴，不能推广．通过分析不难看出，“直线与圆的位置关系”起到了承上启下的重要作用．
直线与圆的位置关系这一内容，蕴含着丰富的数学思想．首先，直线与圆的位置这一几何特征，是通过点的坐标和直线、圆的方程来研究，体现了数形结合的思想方法．这在学习直线的方程、圆的方程时，学生已经接触过，结合本节课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势．其次，从本节课知识的研究过程来看，由“几何问题（位置关系）”到“代数问题（坐标、方程、点到直线的距离公式、联立方程组等），再到“几何问题（分析代数结果的几何含义）”，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的转化过程，是转化思想的具体应用．再有，通过具体例子判断直线与圆的位置关系，来归纳总结判断直线与圆位置关系的方法，充分体现了由特殊到一般的思想方法．
因此，本节课的教学重点：直线与圆的位置关系及判断方法；坐标法的基本思想．
【教学目标】
1．掌握直线与圆的三种位置关系；熟练掌握判断位置关系的两种方法；能够解决一些简单的与直线与圆位置关系相关的问题．
2．（1）通过本节课的学习，让学生经历操作、观察、探索、总结直线与圆位置关系的判断方法的过程，从而培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力；（2）通过本节课的学习，要让学生经历如下过程：将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题，要帮助学生不断地体会“数形结合”、“转化”和“由特殊到一般”的数学思想方法．
3．激发学生的求知欲和学习兴趣，培养学生积极探索、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯．
【教学重点难点】 用坐标法判断直线与圆的位置关系．根据本节课的特点，在教学中借助几何画板可以帮助学生进行数学探究．
【教学方法】
动手实践（作图）、观察思考、合作探究的教学方法.
【授课类型】新授课
【课时安排】1课时
【教 具】多媒体、实物投影仪
教学过程
(一）引入新知
问题1：
（1）回顾圆的标准方程 ；圆的一般方程 ．
点到直线的距离公式 ．
（2）通过唐朝诗人王维的经典诗句引入大漠落日的景象，提高同学们的学习兴趣。
师生活动：学生动手动脑思考，教师指导，学生集体回答．

【设计意图】通过问题的设置，可以锻炼学生的思维能力，同时达到复习巩固的目的，还体现曲线与方程的对应关系；启发学生由图形获取直线与圆的位置关系以及判断方法的直观认知，为新课的学习奠定坚实的基础．
思考1：在核对的过程中，图的结果出现了分歧，有的同学的答案是直线与圆的位置关系是相离，有的同学认为是相切，思考到底哪种情况是正确的呢？
师生活动：教师制造矛盾，让学生发现通过图形判断直线与圆的位置关系会存在一定的误差，但又没有更好地理由否定对方的结果．
【设计意图】通过问题的设计，可以激发学生学习新知识的强烈欲望，体现新知学习的必要性．
思考2：怎样判断直线与圆的位置关系？

直线与圆相交、相切、相离的定义：
（1）直线和圆有两个公共点，直线与圆相交；
（2）直线和圆有唯一公共点，直线与圆相切；
（3）直线和圆没有公共点，直线与圆相离．
直线与圆相交、相切、相离的判定：设圆的半径为，圆心到直线的距离为．
（1）当时，直线与圆相交；
（2）当时，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆相离．
两种方法：①根据定义（根据公共点的个数来定义位置关系）；
②圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系．
师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答情况及时进行补充．
【设计意图】以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，培养学生养成良好的学习习惯．
（二）构建新知
问题2：已知直线与圆 的方程，判断它们的位置关系。
师生活动：以小组为单位进行讨论研究，教师巡视指导，讨论有结果的小组可以派代表回答，其他小组同学补充．
【设计意图】由较简单的问题导出这节课的内容，让学生利用已有的知识，探究用坐标法判断直线与圆的位置关系的方法，给学生留有充分的活动时间．
师生活动：学生思考、讨论，教师巡视指导，让学生完成用联立方程组的方法确定直线与圆的位置关系，并完成利用坐标法的三步曲总结这种方法．
【设计意图】用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算，最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.让学生体验坐标法的思想.借助几何画板平台，让学生真正理解“数”与“形”的对应关系.
思考：总结利用方程判断直线与圆的位置关系的两种方法．
方法一：设直线，圆
可由方程组（）的解的不同情况来判断：
当方程组有两组实数解时，直线与圆相交；
当方程组有一组实数解时，直线与圆相切；
当方程组没有实数解时，直线与圆相离．
方法二:设直线，圆
可由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断：
（1）当时，直线与圆相交；
（2）当时，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆相离．
教师帮助学生梳理、归纳：
位置关系 相 交 相 切 相 离
几何特征
代数特征 两组实数解 一组实数解 没有实数解
公共点个数 两个 一个 没有
【设计意图】让学生通过独立的思考，概括出利用直线与圆的方程来判断它们位置关系的两种方法，自己可以把课堂上所学的知识点连成知识线，从而加深了学习的印象．
（三）小结新知
问题2：利用所学知识解决有“争议”的问题
（4）思考3：变式训练：变式：设直线和圆相切，求实数m的值。
师生活动：学生讲解，教师板书总结的过程，其他学生补充，教师适时点评．
【设计意图】利用几何特征解决这个问题，符合学生的认知基础，思路简单，容易获得结论.
师生活动：学生任意选择方法，进行判断，教师巡视、统计选择两种方法的人数．对比两种方法．
【设计意图】通过问题的设计，可以让学生感受到利用所学的知识可以解决一些问题，充分体现所学知识的必要性．通过两种方法的对比，可以对解法进行归纳，并体现坐标法的思想．一种方法属圆的个性范畴，不能解决公共点的坐标，也不能推广；另一种方法具有一般性，可以解决公共点的坐标，也可类比地推广到对椭圆、双曲线、抛物线同类问题的研究中.
（四）巩固新知
问题3：
师生活动：学生练习巩固，教师巡视指导，利用投影展示学生的解题过程，并提出解题的规范要求．利用几何画板的动态演示，让学生充分认识到“数”与“形”的对应关系．
【设计意图】通过问题的设计，不但可以巩固所学知识，还可以让学生真正体会由“几何问题（位置关系）”到“代数问题（坐标、方程、点到直线的距离公式、联立方程组等），再到“几何问题（分析代数结果的几何含义）”，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的转化过程，是转化思想的具体应用．
（五）归纳小结
师生活动：教师引导学生从知识—方法—思想的角度，层层深入，梳理本节课的内容．
【设计意图】教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对本节课的学习有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学习习惯．
（六）布置作业

【设计意图】通过直线与圆的位置关系，求圆的方程，帮助学生运用逆向思维来解决问题，同时达到掌握本节课知识的目的．
3．选做题：
【设计意图】通过设计开放性问题，可以调动学生学习的积极性，在掌握知识的同时可以培养学生学习的能力，实现由知识向能力的转化．设计必做题和选做题，体现了分层教学，同时对学有余力的同学留出自由发展的空间．