人教A版(2019)选择性必修第一册1.1空间向量及其运算 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
1.1　空间向量及其运算
第一章　空间向量与立体几何
目录
一、知识讲解
二、小结
三、练习
1．空间向量的相关概念
与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector），空间向量的大小叫做空间向量的长度或模（modulus）．空间向量用字母 a，b，c表示．
我们规定，长度为 0 的向量叫做零向量（zero vector），记为 0．当有向线段的起点 A 与终点 B 重合时，模为 1 的向量叫做单位向量（unit vector）．与向量 a 长度相等而方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记为－a．
一、知识讲解
a
A
B
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）．我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 a，都有 0∥a．
方向相同且模相等的向量叫做相等向量（equal vectors）．
一、知识讲解
如图，已知空间向量 a，b，以任意点 O 为起点，作向量＝a，＝b，我们就可以把它们平移到同一个平面 α内．
a
A
B
b
a
b
O
α
1．空间向量的相关概念
定义空间向量的加法、减法以及数乘运算：
（1）a＋b＝＋＝；
（2）a－b＝－＝；
（3）当 λ＞0 时，λa＝λ＝；
当 λ＜0 时，λa＝λ＝；
当 λ＝0 时，λa＝0．
一、知识讲解
想一想，向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关系吗？
？
O
A
B
C
a
b
a－b
a＋b
a
O
A
λa(λ＞0)
P
Q
λa(λ＜0)
N
M
2．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算满足以下运算律（其中 λ，μ∈R）：
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，
λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，
λ(a＋b)＝λa＋λb．
一、知识讲解
你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？
？
2．空间向量的线性运算
一、知识讲解
如图，在平行六面体 ABCD－A′B′C′D′ 中，分别标出 ＋＋，＋＋ 表示的向 量．从中你能体会向量加法运算的交换律和结 合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这 三个向量有什么关系？
探究
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
　　对任意两个空间向量 a，b (b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数 λ，使a＝λb．
如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于直线 l 上任意一点 P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 λ，使得 ＝λa．我们把与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量（direction vector）．
一、知识讲解
对任意两个空间向量 a 与 b，如果 a＝λb(λ∈R)， a 与 b 有什么位置关系？反过来，a 与 b 有什么位置关系时，a＝λb？
探究
a
O
P
a
l
3．空间向量的共线与共面
　　如图，如果表示向量 a 的有向线段 所在的直线 OA 与直线 l 平行或重合，那么称向量 a 平行于直线 l．如果直线 OA 平行于平面 α或在平面 α内，那么称向量 a 平行于平面 α．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量（coplanar vectors）．
一、知识讲解
a
O
A
a
l
a
α
3．空间向量的共线与共面
　　如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使 p＝xa＋yb．
一、知识讲解
对平面内任意两个不共线向量 a，b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量 p 可以写成 p＝xa＋yb，其中 (x，y) 是唯一确定的有序实数对．对两个不共线的空间向量 a，b，如果 p＝xa＋yb，那么向量 p 与向量 a，b 有什么位置关系？反过来，向量 p 与向量 a，b 有什么位置关系时，p＝xa＋yb？
探究
3．空间向量的共线与共面
例1　如图，已知平行四边形 ABCD，过平面 AC 外一点 O 作射线 OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点 E，F，G，H，使 ＝＝＝＝k．求证：E，F，G，H 四点共面．
分析：欲证 E，F，G，H 四点共面，只需证明 ，， 共面．而由已知 ，， 共面，可以利用向量运算由 ，， 共面的表达式推得 ，， 共面的表达式．
一、知识讲解
O
A
B
C
D
E
F
G
H
　　已知两个非零向量 a，b，则 |a||b|cos叫做 a，b 的数量积（inner product），记作 a· b．即 a· b＝|a||b|cos．
　　特别地，零向量与任意向量的数量积为 0．
　　由向量的数量积定义，可以得到：
　　a⊥b a· b＝0；
　　 a· a＝|a||a|cos＝|a|2．
4．空间向量的数量积运算
一、知识讲解
　　在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影．类似地，在空间，向量 a 向向量 b 的投影有什么意义？向量 a 向直线 l 的投影呢？向量 a 向平面 β 的投影呢？
？
思考
　　空间向量的数量积满足如下的运算律：
(λa) · b＝λ(a · b)，λ∈R；
a · b＝b · a（交换律）；
(a＋b) · c＝a · c＋b · c（分配律）．
一、知识讲解
4．空间向量的数量积运算
一、知识讲解
　 （1）对于三个均不为 0 的数 a，b，c，若 ab＝ac，则 b＝c ．对于向量 a，b，c，由 a· b＝a· c，你能得到 b＝c 吗？如果不能，请举出反例．
　 （2）对于三个均不为 0 的数 a，b，c，若 ab＝c，则 a＝（或 b＝）．对于向量 a，b，若 a· b＝k，能不能写成 a＝（或 b＝）的形式？
　 （3）对于三个均不为 0 的数 a，b，c，有 (ab)c＝a(bc)．对于向量 a，b，c，由 (a· b)c＝a(b· c)成立吗？为什么？
？
思考
例2　如图，在平行六面体 ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝ 45°．求：
（1）· ；（2）AC′ 的长（精确到 0.1）．
解：（1）· ＝||||cos<,>＝7.5；（2）||2＝(＋＋)2＝98＋56，所以 AC′≈13.3．
一、知识讲解
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
例3　如图，m，n 是平面 α 内的两条相交直线．如果 l⊥m，l⊥n ，求证：l⊥α．
分析：要证明 l⊥α，就是要证明 l 垂直于 α 内的任意一条直线 g（直线与平面垂直的定义）．如果我们能在 g和 m，n 之间建立某种联系，并由l⊥m，l⊥n，得到 l⊥g，那么就能解决此问题．
一、知识讲解
l
m
n
n
m
g
l
α
g
例 3 即为直线与平面垂直的判定定理的证明过程．尝试用综合几何方法证明这个定理，并比较两种方法，你能从中体会到向量方法的优越性吗？
？
二、小结
空间向量及其运算
空间向量的
基本概念
空间向量的
运算
有关结论
及其应用
零向量
空间向量
单位向量
共线向量
相反向量
相等向量
加减运算
数乘运算
数量积运算
共线向量定理
空间向量共面的充要条件
垂直条件
1．举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．
答案：三棱锥的三条侧棱；长方体中，从同一点引出的三条边等等．
2．如图，在平行六面体 ABCD－A′B′C′D′ 中，用 ，， 表示 ， 及 ．
答案：＝＋＝－＋(＋)＝＋－；
＝＋＝(＋)＋＝(－＋)＋
＝＋；
＝＋＝(＋)＋＝(－＋)＋
＝＋．
三、练习
A
B
C
A′
B′
C′
D′
D
3．如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1中，若 AB＝BB1，
则 AB1 与 BC1 所成角的大小为（ ）．
(A) 60° (B) 90° (C)105° (D)75°
答案：B．
4．如图，正方体 ABCD－A′B′C′D′ 的棱长为 1，
设 ＝a，＝b，＝c ，求：
（1）a· (b＋c)；（2）a· (a＋b＋c) ；
（3）(a＋b)· (b＋c)．
答案：（1）0；（2）1；（3）1．
三、练习
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A′
B′
C′
D′
D
a
b
c
5．如图，线段 AB，BD 在平面 α内，BD⊥AB，AC⊥α，且 AB＝a，BD＝b，AC＝c．求 C，D 两点间的距离．
答案：由已知可得 ＝＋＋，利用数量积的性质即可得出 C，D 两点间的距离为 ．
三、练习
A
B
D
C
a
b
c
α