<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题25 等差数列及其前n项和
1．（2021·北京）数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】解：∵数列 是递增的整数数列 ，
∴n要取最大，d尽可能为小的整数，
故可假设d=1
∵a1=3，d=1
∴an=n+2
∴
则S11=88<100，S12=102>100，
故n的最大值为11.
故答案为：C
2．（2021·浙江）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，且
由 可得
，即 由
所以 ，当且仅当 时取等号，
，
所以
即 ．
故答案为：A．
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列．
考点一 等差数列基本量的运算
【方法总结】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
1．（多选）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是( )
A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5
C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2
【答案】ABC
【解析】S4＝＝0，∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；
a5＝a1＋4d＝5，①
a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
联立①②得∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；
Sn＝－3n＋×2＝n2－4n，C正确，故选ABC.
考点二 等差数列的判定与证明
【方法总结】判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
2．记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，且当n≥2时，an·(2Sn－1)＝2S.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【答案】(1)证明 当n≥2时，an·(2Sn－1)＝2S，
即(Sn－Sn－1)·(2Sn－1)＝2S，即2S－Sn－2Sn·Sn－1＋Sn－1＝2S，
故－Sn＋Sn－1＝2Sn·Sn－1，故－＝2，
易知＝＝1，故是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)解 由(1)可知，＝2n－1，故Sn＝，
所以an＝Sn－Sn－1＝－＝(n≥2)，
当n＝1时，上式不成立，
所以an＝
考点三 等差数列性质的应用
【方法总结】一般地，运用等差数列的性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，等差数列的性质是解题的重要工具．
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于( )
A．72 B．36 C．18 D．9
【答案】B
【解析】∵a6＋a4＝2a5，
∴a5＝4，
∴S9＝＝9a5＝36.
4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，－＝6，则S2 023等于( )
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
【答案】C
【解析】∵为等差数列，设公差为d′，
则－＝6d′＝6，∴d′＝1，
首项为＝－2 020，
∴＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，
∴S2 023＝2 023×2＝4 046，故选C.
一、单选题
1．（2022·河南模拟）观察数组，，，，，…，根据规律，可得第8个数组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知数组的第一个数成等差数列，且首项为2，公差为1；
数组的第二个数成等比数列，且首项为2，公比为2．
因此第8个数组为，即．
故答案为：C.
2．（2022·西安模拟）已知数列为等差数列，，，则数列的前100项和（ ）
A．9100 B．9300 C．9500 D．10300
【答案】C
【解析】设公差为，
则，解得，，
所以.
故答案为：C
3．（2022·东城模拟）在公差不为零的等差数列中，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】∵，则
∴
故答案为：B．
4．（2022·昌平模拟）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．4 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】解：设等差数列的公差为d，
因为，
所以，
解得，
所以，
故答案为：B
5．（2022·湖北模拟）2022国家号召全民健身口号中提到：“儿童健身，天真活泼；青年健身，朝气蓬勃.”提倡学生走向操场、走进大自然、走到阳光下.为弘扬运动精神，潜江中学特地每天开展课外文体活动.学校操场可供2000名学生运动，每周四有踢毽子、《本草纲目》健身操两种运动可供选择，经过调查发现，凡是这周选踢毽子的，下周会有30%的改选健身操；而选健身操的，下周会20%改选踢毽子.用分别表示在第周选踢毽子的和健身操的人数，如果，且，则为（ ）
A．800 B．1000 C．1200 D．1400
【答案】C
【解析】由题意知：，又，
，即，
又，，则.
故答案为：C.
6．（2022·四川模拟）已知为等差数列的前n项和，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设的公差d，由有，
解得，所以，
则，当且仅当时等号成立．
故答案为：A
7．（2022·射洪模拟）已知数列的前n项和为，满足，则（ ）
A．4043 B．4042 C．4041 D．4040
【答案】A
【解析】由知：为等差数列，
又，，则公差，
所以，故，
则，可得，而也满足，
所以，则.
故答案为：A
8．（2022·长春模拟）已知等差数列的前n项和为且，若，则n的值为（ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
【答案】B
【解析】依题意，等差数列的前n项和为且，
若，
，
，
.
故答案为：B
9．（2022·浙江模拟）已知数列为等差数列，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为d，
则，
根据分段函数单调性，当时取到最小值2，
故答案为：B
10．（2022·周至模拟）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列14，29，44，…，则该数列的项数为（ ）
A．132 B．133 C．134 D．135
【答案】C
【解析】由题意得：新数列14，29，44，…是首项为14，公差为15的等差数列，
设新数列为，则通项公式为，
令，解得：，
因为，所以这个数列的项数为134.
故答案为：C
二、填空题
11．（2022·河南模拟）已知等差数列的各项均为正数，其前n项和满足，则其通项 ．
【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
令得： ，即，
令得：
则，
由，两式相减得：，
即，
因为等差数列的各项均为正数，所以，
解得：，代入中，解得：，
所以。
故答案为：。
12．（2022·安徽模拟）已知等差数列和公比的等比数列满足：，则 .
【答案】1409
【解析】设公差为，由题可知，
，因为
解得，
所以
，
故答案为：1409
13．（2022·湖南模拟）设是等差数列的前项和，，则的最小值为 ．
【答案】4
【解析】设等差数列的公差为．由题意可知解得，
则的前项和，
而函数的零点为和，
故当接近或时，取得最小值．
又，
所以当时，的最小值为4．
故答案为：4
14．（2022·衡阳模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 ．
【答案】1122
【解析】由于数列的各项均为正数，即，
当时，，即，∴，
当时，由，可得，
两式相减得，
又∵，∴，
∴为一个以2为首项，2为公差的等差数列，
∴.
故
故答案为：1122
15．（2022·泰州模拟）已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第 项．
【答案】10
【解析】由题意得：，∴，
，∴，，
∴，故等差数列{}为递减数列，即公差为负数，
因此的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，
由于，∴{||}最小的项是第10项，
故答案为：10
三、解答题
16．（2022·保定模拟）已知公差为2的等差数列的前n项和为，且.
（1）求的通项公式.
（2）若，数列的前n项和为，证明.
【答案】（1）解：由题意，得，
解得：，
故.
（2）证明：因为，
所以
，
因为，
所以.
【解析】（1）由求得a1，即可求解；
（2）由（1）可得，通过裂项相消求和即可求证。
17．（2022·浙江）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ） 设 ，依题意得， .
解得 ，则 ，
于是 .
（Ⅱ）设 ，依题意得，
，
故
对任意正整数n成立.
时，显然成立；
时， ，则 ；
时， .
综上所述， .
【解析】（Ⅰ）由等差数列 的首项 及可得关于公差d的方程，再由公差d的范围可得d的值，最后根据等差数列的前n项和公式可得；
（Ⅱ） 设 ， 由成等比数列，可得关于的二次方程，由判别式大于等于0可得d的表达式，对n分情况讨论可得d的取值范围．
18．（2022·新高考Ⅱ卷）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
（1）证明： ；
（2）求集合 中元素个数．
【答案】（1）证明：设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以原命题得证．
（2）解：由（1）知 ，
由 知：
即 ，即 ，
因为 ，故 ，解得
故集合 中元素的个数为9个.
【解析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
19．（2022·柯桥模拟）已知等差数列中，．正项数列前项和满足：对任意成等比数列．
（1）求数列的通项公式：
（2）记．证明：对任意，都有．
【答案】（1）解：由，可得，，所以，
由题设，①，取得，解得．
又②，
两式相减得：，
所以，故
（2）证明：由（1）得：，
当时，不等式显然成立，
假设时不等式成立，即，
那么当时，
，
所以当时，结论也成立．
综上，对任意，都有
【解析】（1）由等差数列通项公式求基本量并写出通项公式，利用的关系求通项公式；
（2）应用数学归纳法证明结论.
20．（2022·凉山模拟）已知数列为等差数列，，数列为等比数列，，且满足，．
（1）求，；
（2）若中的各项均为正数，设数列的前n项和为，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，可得，
解得，
又由，所以数列的通项公式为，
因为，所以当时，；当时，.
（2）解：因为中的各项均为正数，由（1）得，
所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
则数列的前项和，
所以，
则数列的前项和为
.
【解析】（1）设等差数列 的公差为，等比数列的公比为， 根据题意列出方程组，求得 ，进而求得数列和的通项公式；
（2）由（1）得，得到，求得数列 的前项和，得到，结合裂项求和，即可求解.<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题25 等差数列及其前n项和
1．（2021·北京）数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．（2021·浙江）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列．
考点一 等差数列基本量的运算
【方法总结】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
1．（多选）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是( )
A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5
C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2
考点二 等差数列的判定与证明
【方法总结】判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
2．记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，且当n≥2时，an·(2Sn－1)＝2S.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
考点三 等差数列性质的应用
【方法总结】一般地，运用等差数列的性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，等差数列的性质是解题的重要工具．
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于( )
A．72 B．36 C．18 D．9
4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，－＝6，则S2 023等于( )
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
一、单选题
1．（2022·河南模拟）观察数组，，，，，…，根据规律，可得第8个数组为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·西安模拟）已知数列为等差数列，，，则数列的前100项和（ ）
A．9100 B．9300 C．9500 D．10300
3．（2022·东城模拟）在公差不为零的等差数列中，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·昌平模拟）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．4 B．7 C．8 D．9
5．（2022·湖北模拟）2022国家号召全民健身口号中提到：“儿童健身，天真活泼；青年健身，朝气蓬勃.”提倡学生走向操场、走进大自然、走到阳光下.为弘扬运动精神，潜江中学特地每天开展课外文体活动.学校操场可供2000名学生运动，每周四有踢毽子、《本草纲目》健身操两种运动可供选择，经过调查发现，凡是这周选踢毽子的，下周会有30%的改选健身操；而选健身操的，下周会20%改选踢毽子.用分别表示在第周选踢毽子的和健身操的人数，如果，且，则为（ ）
A．800 B．1000 C．1200 D．1400
6．（2022·四川模拟）已知为等差数列的前n项和，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·射洪模拟）已知数列的前n项和为，满足，则（ ）
A．4043 B．4042 C．4041 D．4040
8．（2022·长春模拟）已知等差数列的前n项和为且，若，则n的值为（ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
9．（2022·浙江模拟）已知数列为等差数列，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022·周至模拟）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列14，29，44，…，则该数列的项数为（ ）
A．132 B．133 C．134 D．135
二、填空题
11．（2022·河南模拟）已知等差数列的各项均为正数，其前n项和满足，则其通项 ．
12．（2022·安徽模拟）已知等差数列和公比的等比数列满足：，则 .
13．（2022·湖南模拟）设是等差数列的前项和，，则的最小值为 ．
14．（2022·衡阳模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 ．
15．（2022·泰州模拟）已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第 项．
三、解答题
16．（2022·保定模拟）已知公差为2的等差数列的前n项和为，且.
（1）求的通项公式.
（2）若，数列的前n项和为，证明.
17．（2022·浙江）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
18．（2022·新高考Ⅱ卷）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
（1）证明： ；
（2）求集合 中元素个数．
19．（2022·柯桥模拟）已知等差数列中，．正项数列前项和满足：对任意成等比数列．
（1）求数列的通项公式：
（2）记．证明：对任意，都有．
20．（2022·凉山模拟）已知数列为等差数列，，数列为等比数列，，且满足，．
（1）求，；
（2）若中的各项均为正数，设数列的前n项和为，求数列的前n项和．
