<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题24 数列的概念与简单表示法
1．（2022·新高考Ⅰ卷）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 ，的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明：
2．（2021·北京）设p为实数．若无穷数列{an}满足如下三个性质，则称{an}为RP数列：
：① ， ；
② ；
③ （m=1，2，…；n=1，2，…） ．
（1）如果数列{an}的前4项2，-2，-2，-1的数列，那么{an}是否可以为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；
（3）设数列{an}的前n项和为Sn，是否存在 数列 ，对 恒成立 ？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．
1．数列的有关概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
若已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
(3)数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．
2．数列与函数
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．
3．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小 关系 递增数列 an＋1>an 其中n∈N*
递减数列 an＋1
常数列 an＋1＝an
4.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
考点一 由an与Sn的关系求通项公式
【方法总结】(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
1．已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
考点二 由数列的递推关系式求通项公式
【方法总结】(1)根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．
(2)根据形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式．
2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，其首项a1＝1，且满足3Sn＝(n＋2)an，则an＝______.
考点三 数列的性质
【方法总结】1．解决数列的单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)用作商比较法，根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断．
(3)函数法．
2．解决数列周期性问题
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．
3．求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数求最值．
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
(3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0，则an＋1>an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0，则an＋14．已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
5．已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则{bn}的前2 022项的和为( )
A．0 B．1 C．－5 D．－1
6．已知数列{an}满足a1＝28，＝2，则的最小值为( )
A. B．4－1 C. D.
一、单选题
1．（2021·深圳模拟）已知数列{an}的通项公式 ，则数列前n项和S，取最小值时，n的值是（)
A．6 B．7 C．8 D．5
2．（2020·合肥模拟）若数列 的前 项和 满足 ，则 （ ）
A．32 B． C． D．-16
3．（2020·聊城模拟）数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（ ）
A．153 B．190 C．231 D．276
4．（2022·吉林模拟）已知数列的首项，若向量，向量，且满足，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·湖北模拟）两旅客坐高铁外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知高铁一等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合要求的是（ ）
窗口 1 2 过道 3 4 窗口
5 6 7 8
9 10 11 12
… … … …
A．74，75 B．52，53 C．45，46 D．38，39
6．（2021高三上·河南开学考）若数列 满足： ，则数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·安徽模拟）将数列{3n-1}与{2n+1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的第10项为（ ）
A．210-1 B．210+1 C．220-1 D．220+1
8．（2020高三上·平潭月考）已知数列 满足 ， （ ），则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2020高三上·内蒙古期中）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的 由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的 这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．189 B．1024 C．1225 D．1378
10．（2020·呼和浩特模拟）记 为数列 的前 项和，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·唐山模拟）角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过8个步滕变成1（简称为8步“香程”），已知数列满足：（m为正整数），①若，则使得至少需要 步雹程；②若；则m所有可能取值的和为 ．
12．（2022·云南模拟）设数列的前n项和为，若，，则数列的通项公式为 ．
13．（2021高三上·九龙坡期中）在某个电子竞技平台中， 名同学在玩一种“数字智力”游戏.这些同学编号依次为1，2，3，…， .在这个电子竞技平台的这种“数字智力”游戏中，每个同学会看到自己的一个数对，用 表示.游戏规则是：编号为 的同学看到自己的数对是 ，且满足 .若在平台中告之编号为1的同学看到自己的数对是 ，则编号为3的同学看到自己的数对是 ；某位同学看到自己的数对告之其他同学为 ，请你猜出这位同学看到的数对中的 .
14．（2021高三上·湖南期中）已知数列 为 ，…，则它的第9项为 ；写出数列 的通项公式 .
15．（2020高三上·长沙月考）已知数列 的前 项和 ，且 ，则数列 的通项公式为 .
三、解答题
16．（2022·上海市模拟）设为正整数，各项均为正整数的数列定义如下： ，
（1）若，写出，，；
（2）求证：数列单调递增的充要条件是为偶数；
（3）若为奇数，是否存在满足？请说明理由．
17．（2022·德州模拟）已知数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式和前项和；
（2）设，数列的前项和记为，证明：.
18．（2022·济南模拟）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求证：．
19．（2022·莆田模拟）已知数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
20．（2021·唐山模拟）若数列 及 满足 且 ， .（1）证明： ；
（2）求数列 的通项公式.<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题24 数列的概念与简单表示法
1．（2022·新高考Ⅰ卷）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 ，的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明：
【答案】（1）因为 是公差为 的等差数列，而 ，
所以 ①
时， ②
①-②有： .
所以 ，
以上式子相乘，得
经检验， 时， ，符合.
所以 .
（2）由（1）知
所以
所以 = =
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ．
【解析】（1）根据等差数列的通项公式可得 ，由利用Sn与an的关系，得 ，再利用累积法，可得an；
（2）由（1）得 ，利用裂项相消求和求得 ，再解不等式即可.
2．（2021·北京）设p为实数．若无穷数列{an}满足如下三个性质，则称{an}为RP数列：
：① ， ；
② ；
③ （m=1，2，…；n=1，2，…） ．
（1）如果数列{an}的前4项2，-2，-2，-1的数列，那么{an}是否可以为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；
（3）设数列{an}的前n项和为Sn，是否存在 数列 ，对 恒成立 ？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：数列{an}不可能为 数列，理由如下，
因为p=2, a1=2, a2=-2，所以a1+a2+p=2, a1+a2+p+1=3,
因为a3=-2，所以a3 {a1+a2+p， a1+a2+p+1}，
所以数列{an}不满足性质③.
（2）性质① ，
由性质③ ，因此 或 ， 或 ，
若 ，由性质②可知 ，即 或 ，矛盾；
若 ，由 有 ，矛盾.
因此只能是 .
又因为 或 ，所以 或 .
若 ，则 ，
不满足 ，舍去.
当 ，则 前四项为:0，0，0，1，
下面用归纳法证明 ：
当 时，经验证命题成立，假设当 时命题成立，
当 时：
若 ，则 ，利用性质③：
，此时可得： ；
否则，若 ，取 可得： ，
而由性质②可得： ，与 矛盾.
同理可得：
，有 ；
，有 ；
，又因为 ，有
即当 时命题成立，证毕.
综上可得： ， .
（3）令 ，由性质③可知：
，
由于 ，
因此数列 为 数列.
由（2）可知:
若 ；
， ，
因此 ，此时 ， ，满足题意.
【解析】（1）根据新数列Rp数列的定义进行判断即可；
（2）根据新数列Rp数列的定义，结合数学归纳法求解即可；
（3）根据新数列Rp数列的定义，结合an与sn的关系进行判断即可.
1．数列的有关概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
若已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
(3)数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．
2．数列与函数
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．
3．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小 关系 递增数列 an＋1>an 其中n∈N*
递减数列 an＋1常数列 an＋1＝an
4.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
考点一 由an与Sn的关系求通项公式
【方法总结】(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
1．已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
【答案】－2n－1
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.
当n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1.②
①－②，Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，
即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项a1＝－1，q＝2的等比数列．
∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.
考点二 由数列的递推关系式求通项公式
【方法总结】(1)根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．
(2)根据形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式．
2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
【答案】A
【解析】因为an＋1－an＝ln＝ln(n＋1)－ln n，
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
……
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln 1，
则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也适合，
因此an＝2＋ln n(n∈N*)．
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，其首项a1＝1，且满足3Sn＝(n＋2)an，则an＝______.
【答案】
【解析】∵3Sn＝(n＋2)an，①
3Sn－1＝(n＋1)an－1(n≥2)，②
由①－②得，3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，
即＝，
∴an＝···…··a1＝×××…××1＝.
当n＝1时，满足an＝，∴an＝.
考点三 数列的性质
【方法总结】1．解决数列的单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)用作商比较法，根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断．
(3)函数法．
2．解决数列周期性问题
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．
3．求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数求最值．
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
(3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0，则an＋1>an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0，则an＋14．已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
【答案】D
【解析】(单调性)因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝<0，
所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．
5．已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则{bn}的前2 022项的和为( )
A．0 B．1 C．－5 D．－1
【答案】A
【解析】∵bn＋2＝bn＋1－bn，b1＝1，b2＝－2，
∴b3＝b2－b1＝－2－1＝－3，
b4＝b3－b2＝－1，
b5＝b4－b3＝－1－(－3)＝2，
b6＝b5－b4＝2－(－1)＝3，
b7＝b6－b5＝3－2＝1.
∴{bn}是周期为6的周期数列，
且S6＝1－2－3－1＋2＋3＝0.
∴S2 022＝S337×6＝0.
6．已知数列{an}满足a1＝28，＝2，则的最小值为( )
A. B．4－1 C. D.
【答案】C
【解析】由an＋1－an＝2n，可得an＝n2－n＋28，
∴＝n＋－1，
设f(x)＝x＋，可知f(x)在(0，]上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
又n∈N*，且＝<＝，故选C.
一、单选题
1．（2021·深圳模拟）已知数列{an}的通项公式 ，则数列前n项和S，取最小值时，n的值是（)
A．6 B．7 C．8 D．5
【答案】A
【解析】解：令an=3n(2n-13)≤0，得
又∵n∈N+
∴当n≤6时，an≤0，当n≥7时，an≥0；
则 数列前n项和S取最小值时，n=6
故答案为：A
2．（2020·合肥模拟）若数列 的前 项和 满足 ，则 （ ）
A．32 B． C． D．-16
【答案】D
【解析】 ,
,
所以 即 ，
又 解得
所以数列 是以-1为首项，-2为公比的等比数列，
所以 ，
故答案为：D.
3．（2020·聊城模拟）数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（ ）
A．153 B．190 C．231 D．276
【答案】B
【解析】由题意知，数列 的各项为1，6，15，28，45，...
所以 ， ， ，
， ， ，
所以 .
故答案为：B
4．（2022·吉林模拟）已知数列的首项，若向量，向量，且满足，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，
，即 ，
数列 是首项为1，公差d=1的等差数列， ；
故答案为：D.
5．（2022·湖北模拟）两旅客坐高铁外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知高铁一等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合要求的是（ ）
窗口 1 2 过道 3 4 窗口
5 6 7 8
9 10 11 12
… … … …
A．74，75 B．52，53 C．45，46 D．38，39
【答案】C
【解析】依题意，靠左侧窗口的座位号均为奇数，构成以1为首项，4为公差的等差数列，其通项，
显然A，B，D不是靠左侧窗口的座位号，而，C满足；
靠右侧窗口的座位号均为偶数，构成以4为首项，4为公差的等差数列，其通项，
显然A，B，C，D都不是靠右侧窗口的座位号，
所以座位号码符合要求的是45，46.
故答案为：C
6．（2021高三上·河南开学考）若数列 满足： ，则数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ①得，当 时 ②
由①-②得
当 时 也满足上式
故答案为：D
7．（2021·安徽模拟）将数列{3n-1}与{2n+1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的第10项为（ ）
A．210-1 B．210+1 C．220-1 D．220+1
【答案】D
【解析】设 ， ，
令 ， ，
则 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
即 ， ， ，……，
所以 。
故答案为：D
8．（2020高三上·平潭月考）已知数列 满足 ， （ ），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：数列 满足 ， （ ），
所以 ， ，…， ，
所以利用叠加法： ，
解得 （首项符合通项），
所以 ，
故
，
所以： .
故答案为：D.
9．（2020高三上·内蒙古期中）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的 由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的 这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．189 B．1024 C．1225 D．1378
【答案】C
【解析】三角形数的通项公式是 ，正方形数的通项公式是 ，所以两个通项都满足的是1225，三角形数是n=49，正方形数是n=35，
故答案为：C。
10．（2020·呼和浩特模拟）记 为数列 的前 项和，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，
当 时， ，由 ，
，
数列 为等比数列，
，
故答案为：A.
二、填空题
11．（2022·唐山模拟）角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过8个步滕变成1（简称为8步“香程”），已知数列满足：（m为正整数），①若，则使得至少需要 步雹程；②若；则m所有可能取值的和为 ．
【答案】9；385
【解析】m=13，依题意， ，
共9共 步骤；
若， ， 或，
若，
若，
的集合为 ，其和为385；
故答案为：9，385.
12．（2022·云南模拟）设数列的前n项和为，若，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】因为，，所以，
当时，有，即，
所以从第二项起，数列为首项为16，公比为4的等比数列，所以，
经检验，对n=1不成立，
所以。
故答案为：。
13．（2021高三上·九龙坡期中）在某个电子竞技平台中， 名同学在玩一种“数字智力”游戏.这些同学编号依次为1，2，3，…， .在这个电子竞技平台的这种“数字智力”游戏中，每个同学会看到自己的一个数对，用 表示.游戏规则是：编号为 的同学看到自己的数对是 ，且满足 .若在平台中告之编号为1的同学看到自己的数对是 ，则编号为3的同学看到自己的数对是 ；某位同学看到自己的数对告之其他同学为 ，请你猜出这位同学看到的数对中的 .
【答案】（8,11）；330
【解析】由题意规律，编号为1的同学看到自己的数对是 ，
则编号为2的同学看到自己的数对 ，编号为3的同学看到自己的数对 ；
设编号为 的同学看到自己的数对是 ，则 ，当 时， ，
由题意 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
当 时， ，解得 ，
，
所以 .
故答案为：①（8,11）②330.
14．（2021高三上·湖南期中）已知数列 为 ，…，则它的第9项为 ；写出数列 的通项公式 .
【答案】46；
【解析】由题意，第9项为 ；
根据数列的规律得到其递推关系为 ，
∵ ，∴
得到 ，所以 ，
令 ， 是奇数， ，所以 ；
因为 ，所以 ,
令 ， 是偶数， ，所以 ；
故 .
故答案为：46； .
15．（2020高三上·长沙月考）已知数列 的前 项和 ，且 ，则数列 的通项公式为 .
【答案】
【解析】
当 时， ，
整理可得 ，
即 ，所以 为常数列，
故 ，所以 ，
故答案为： .
三、解答题
16．（2022·上海市模拟）设为正整数，各项均为正整数的数列定义如下： ，
（1）若，写出，，；
（2）求证：数列单调递增的充要条件是为偶数；
（3）若为奇数，是否存在满足？请说明理由．
【答案】（1）解：，，．
（2）证明：先证“充分性”．
当为偶数时，若为奇数，则为奇数．
因为为奇数，所以归纳可得，对，均为奇数，则，
所以，
所以数列单调递增．
再证“必要性”．
假设存在使得为偶数，则，与数列单调递增矛盾，
因此数列中的所有项都是奇数．
此时，即，所以为偶数．
（3）解：存在满足，理由如下：
因为，为奇数，所以且为偶数，．
假设为奇数时， ；为偶数时，．
当为奇数时，，且为偶数；
当为偶数时，．
所以若为奇数，则；若为偶数，则．
因此对都有．
所以正整数数列中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项．
设集合，设集合．
因为，所以．
令是中的最小元素，下面证．
设且．
当时，，，所以；
当时，，，所以．
所以若，则且，与是中的最小元素矛盾．
所以，且存在满足，即存在满足．
【解析】（1）由赋值法逐个计算即可；
（2） 分两步证明：“充分性”．
当为偶数时，归纳可得对，均为奇数，则，即可证；
“必要性”．假设存在使得为偶数，可得，与数列单调递增矛盾，从而得到数列中的所有项都是奇数．进而说明必要性；
（3） 存在满足，理由如下：
因为，为奇数，可得，．进而假设为奇数时， ；为偶数时，．
从而有，，或．进而可说明对都有．从而得到数列中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项．设集合，设集合．
因为，所以．令是中的最小元素，只要证明即可．此时假设且．可以得到当时，；当时，．从而说明若时有且，与是中的最小元素矛盾．进而解决问题。
17．（2022·德州模拟）已知数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式和前项和；
（2）设，数列的前项和记为，证明：.
【答案】（1）解：由，得
两式相减可得，
因为，得
数列为3，，3，，3，，3，
即，
当为偶数时，；
当为奇数时，；
（2）证明：由
则有
所以，
【解析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，然后对n分情况讨论结合等差数列的前n项和公式，代入数值即可得出答案。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法以及不等式的性质即可得证出结论。
18．（2022·济南模拟）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求证：．
【答案】（1）解：因为，所以；
又因为，则，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，则；
（2）解：因为，
所以
．
得证．
【解析】（1）利用已知条件结合递推公式和等差数列的定义，进而判断出数列 是首项为1，公差为1的等差数列， 再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2）利用数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法和放缩法证出不等式成立。
19．（2022·莆田模拟）已知数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：当时，．
当时，．
又，所以．
（2）解：由（1）可知，，
，
则，
则
．故．
【解析】（1）利用已知条件结合 的关系式，再结合分类讨论的方法求出数列 的通项公式。
（2）利用数列 的通项公式结合 ，从而求出数列的通项公式，再利用错位相减的方法得出数列的前n项和。
20．（2021·唐山模拟）若数列 及 满足 且 ， .（1）证明： ；
（2）求数列 的通项公式.
【答案】（1）证明：∵ ，故 ，
而 ，(n∈N*)，∴ ，
∴当 且 时，有 ，
又 ，也满足 ，
∴对任意的n∈N*，都有
（2）解：将 代入 ，得 ，
进而 ，而 ，故 ，故 ，
∴数列 是首项为2，公比也为2的等比数列，
∴ ，∴
【解析】（1） 因为 ，故 ，
又因为 ，(n∈N*)，所以 ，所以当 且 时，有 ，又因为 ，也满足 ，所以证出对任意的n∈N*，都有 成立。
（2） 将 代入 ， 得出 ， 再利用递推公式变形结合等比数列的定义，从而利用等比数列通项公式求出数列 的通项公式，进而求出数列 的通项公式，从而求出数列 的通项公式。