<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题26 等比数列及其前n项和
1．（2022·浙江）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国乙卷）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：
Sn＝
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
(2)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at.
特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a.
(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(5)若或则等比数列{an}递增．
若或则等比数列{an}递减．
考点一 等比数列基本量的运算
【方法总结】(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝，＋＋＝，则S3等于( )
A. B. C. D．6
考点二 等比数列的判定与证明
【方法总结】等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．
(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则 {an}是等比数列．
2．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
考点三 等比数列性质的应用
【方法总结】(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
3．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于( )
A．40 B．60 C．32 D．50
【拓展视野】构造新数列
构造法1 一阶线性递推(形如an＋1＝pan＋q，p≠0，其中a1＝a型)
(1)若p＝1，数列{an}为等差数列；
(2)若q＝0，数列{an}为等比数列；
(3)若p≠1且q≠0，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．
方法如下：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ，
又an＋1＝pan＋q，所以(p－1)λ＝q，即λ＝(p≠1)，
所以an＋1＋＝p，即构成以a1＋为首项，以p为公比的等比数列．
4．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求{an}的通项公式．
构造法2 二阶线性递推(形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型)
可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．
5．(1)在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝________.
(2)已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，求这个数列的通项公式．
构造法3 倒数为特殊数列
两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的表达式，再求an.
6． (1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．
(2)已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，求an.
一、单选题
1．（2022·河南模拟）在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·汕头模拟）已知数列中，，当时，，则（ ）
A． B． C．5 D．
3．（2022·顺义模拟）设等比数列的前项和为，公比为.若， 则（ ）
A．8 B．9 C．18 D．54
4．（2022·晋中模拟）我国古代数学巨著《九章算术》第三章中的“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是指按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如甲 乙 丙三人分配奖金的衰分比为20%，若甲分得奖金10000元，则乙 丙分得奖金分别为8000元和6400元.现有三名技术人员 ， ， 攻克了一项技术难题.若 ， ， 按照一定的“衰分比”分配奖金共75880元，其中 拿到了28000元，则“衰分比”为（ ）
A．20% B．15% C．25% D．10%
5．（2021·平顶山模拟）若等差数列和等比数列满足，，则（ ）
A．－4 B．－1 C．1 D．4
6．（2022·陕西模拟）已知数列满足，则数列的前10项和是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南模拟）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，．其中正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
8．（2022·雅安模拟）已知是等比数列，是其前项积，若，则（ ）
A．1024 B．512 C．256 D．128
9．（2022·广州模拟）等比数列中，，且，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
10．（2022·宜宾模拟）设数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·四川模拟）已知为数列的前n项和，且，，则 ．
12．（2022·徐州模拟）设各项均为正数的数列的前n项和为，写出一个满足的通项公式： ．
13．（2022·东北三省模拟）已知公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列，则数列的公差 ．
14．（2022·昆明模拟）记数列的前项和为，则 ．
15．（2022·浙江模拟）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为 里．
三、解答题
16．（2022·张家口模拟）已知数列满足，.
（1）证明：是等比数列；
（2）设，证明.
17．（2022·茂名模拟）已知数列，满足，，且，
（1）求，的值，并证明数列是等比数列；
（2）求数列，的通项公式．
18．（2022·雅安模拟）在①，②这两个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答．
已知数列的前n项和为，满足，____；又知正项等差数列满足，且成等比数列．
（1）求和的通项公式；
（2）证明：．
19．（2022·河南模拟）已知数列的前n项和为，且成等差数列，
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记，若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题26 等比数列及其前n项和
1．（2022·浙江）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意易知为递减数列，∴为递减数列，
因为，所以
∴，
又，则＞0，
∴，
∴，
∴，则，
∴
由得得
利用累加可得
∴，
∴；
综上，．
故选：B
2．（2022·全国乙卷）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】解：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，
若 ，则 ，与已知条件矛盾，
所以 ，由题意可得 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：
Sn＝
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
(2)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at.
特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a.
(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(5)若或则等比数列{an}递增．
若或则等比数列{an}递减．
考点一 等比数列基本量的运算
【方法总结】(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝，＋＋＝，则S3等于( )
A. B. C. D．6
【答案】A
【解析】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
因为a2＝，且＋＋＝，
所以解得或
当a1＝，q＝3时，S3＝＝；
当a1＝2，q＝时，S3＝＝，
所以S3＝.
考点二 等比数列的判定与证明
【方法总结】等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．
(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则 {an}是等比数列．
2．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
【答案】(1)证明 an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因为{an}中各项均为正数，
所以an＋1＋an>0，所以＝3，
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．
(2)解 由题意知an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，
因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，
所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，
故an＋1＝3an，
所以4an＝2×3n－1，an＝×3n－1.
考点三 等比数列性质的应用
【方法总结】(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
3．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于( )
A．40 B．60 C．32 D．50
【答案】B
【解析】数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，
即4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，
∴S12＝4＋8＋16＋32＝60.
【拓展视野】构造新数列
构造法1 一阶线性递推(形如an＋1＝pan＋q，p≠0，其中a1＝a型)
(1)若p＝1，数列{an}为等差数列；
(2)若q＝0，数列{an}为等比数列；
(3)若p≠1且q≠0，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．
方法如下：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ，
又an＋1＝pan＋q，所以(p－1)λ＝q，即λ＝(p≠1)，
所以an＋1＋＝p，即构成以a1＋为首项，以p为公比的等比数列．
4．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求{an}的通项公式．
【答案】方法一 ∵an＋1＝2an＋3n，
∴an＋1＋λ·3n＋1＝2(an＋λ·3n)，
即an＋1＝2an－λ·3n，∴λ＝－1，
即an＋1－3n＋1＝2(an－3n)，
又a1－3＝－2，∴{an－3n}是首项为－2，公比q＝2的等比数列，
∴an－3n＝－2·2n－1＝－2n，∴an＝3n－2n.
方法二 ∵an＋1＝2an＋3n，等式两边同除以3n＋1，
得＝·＋，
令bn＝，则bn＋1＝bn＋，
bn＋1＋λ＝(bn＋λ)，得bn＋1＝bn－λ，得λ＝－1，
∴bn＋1－1＝(bn－1)，又b1－1＝－1＝－，
∴{bn－1}是首项为－，公比q＝的等比数列，
∴bn－1＝－·n－1＝－n，∴bn＝1－n，
∴＝1－n，∴an＝3n－2n.
构造法2 二阶线性递推(形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型)
可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．
5．(1)在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝________.
【答案】2n－1
【解析】an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
∵a2－a1＝2，∴{an－an－1}为首项为2，公比也为2的等比数列，
an－an－1＝2n－1(n>1)，
n>1时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1
＝＝2n－1.
显然n＝1时满足上式，
∴an＝2n－1.
(2)已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，求这个数列的通项公式．
解 ∵an＝2an－1＋3an－2，
∴an＋an－1＝3(an－1＋an－2)，
又a1＋a2＝7，{an＋an－1}形成首项为7，公比为3的等比数列，
则an＋an－1＝7×3n－2，①
又an－3an－1＝－(an－1－3an－2)，
a2－3a1＝－13，{an－3an－1}形成首项为－13，公比为－1的等比数列，
则an－3an－1＝(－13)·(－1)n－2，②
①×3＋②得，4an＝7×3n－1＋13·(－1)n－1，
∴an＝×3n－1＋(－1)n－1.
构造法3 倒数为特殊数列
两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的表达式，再求an.
6． (1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．
【答案】∵an＋1＝，a1＝1，
∴an≠0，∴＝＋，
即－＝，
又a1＝1，则＝1，
∴是以1为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝＋，
∴an＝(n∈N*)．
(2)已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，求an.
【答案】∵＝3·＋1，∴＋＝3，＋＝1，
∴是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴＋＝3n－1，
∴＝3n－1－，
∴an＝(n∈N*)．
一、单选题
1．（2022·河南模拟）在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，
由，
因为，，成等差数列，
所以，于是有，
即或舍去。
故答案为：B
2．（2022·汕头模拟）已知数列中，，当时，，则（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【解析】由题意得：，则数列的周期为3，则.
故答案为：B.
3．（2022·顺义模拟）设等比数列的前项和为，公比为.若， 则（ ）
A．8 B．9 C．18 D．54
【答案】C
【解析】因为，故可得，
又数列是等比数列，公比为，则，即，解得或；
若，则；
若，则不满足题意，舍去.
故.
故答案为：C.
4．（2022·晋中模拟）我国古代数学巨著《九章算术》第三章中的“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是指按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如甲 乙 丙三人分配奖金的衰分比为20%，若甲分得奖金10000元，则乙 丙分得奖金分别为8000元和6400元.现有三名技术人员 ， ， 攻克了一项技术难题.若 ， ， 按照一定的“衰分比”分配奖金共75880元，其中 拿到了28000元，则“衰分比”为（ ）
A．20% B．15% C．25% D．10%
【答案】D
【解析】由题意得，甲 乙 丙三人分配的奖金构成了一个等比数列 ，设其前 项和为 ，
则首项 ，公比 为1-衰分比.
又 ，解得 ，故衰分比为10%.
故答案为：D.
5．（2021·平顶山模拟）若等差数列和等比数列满足，，则（ ）
A．－4 B．－1 C．1 D．4
【答案】C
【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d和 ，则 ，
求得 ， ，那么 。
故答案为：C.
6．（2022·陕西模拟）已知数列满足，则数列的前10项和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以时，，
两式相减得，，
又，满足此式，所以，
，
所以数列的前10项和为．
故答案为：C．
7．（2022·河南模拟）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，．其中正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【解析】数列的偶数项分别为2，8，18，32，50，，
通过观察可知，同理可得，
所以，
因为，所以①正确，③错误；
由，解得，由，解得，
又因为，所以方程都无正整数解，所以182不是中的项，故②错误．
当n为偶数时，，故④正确．
故答案为：C.
8．（2022·雅安模拟）已知是等比数列，是其前项积，若，则（ ）
A．1024 B．512 C．256 D．128
【答案】B
【解析】解： ，则，
则，
故答案为：B．
9．（2022·广州模拟）等比数列中，，且，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
由于，，成等差数列，
所以，即，
也即，解得，
所以，所以.
，
，
当时，，当时，，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：D
10．（2022·宜宾模拟）设数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得：，即，
，又，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
，则，.
故答案为：B.
二、填空题
11．（2022·四川模拟）已知为数列的前n项和，且，，则 ．
【答案】
【解析】由得，且，解得，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．
故答案为：
12．（2022·徐州模拟）设各项均为正数的数列的前n项和为，写出一个满足的通项公式： ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】解：当时，，
，∴满足条件．
故答案为：（答案不唯一）
13．（2022·东北三省模拟）已知公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列，则数列的公差 ．
【答案】2
【解析】解：因为等差数列中，，，，成等比数列
所以，，即，解得.
故答案为：2
14．（2022·昆明模拟）记数列的前项和为，则 ．
【答案】
【解析】设，可知的最小正周期，
令（，），则
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则.
对于，都有，
所以
即
则
又，所以；
故答案为：.
15．（2022·浙江模拟）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为 里．
【答案】192
【解析】解：由题意得，该人每天所走的路程成等比数列，公比为，
设第一天走了里，
则，解得，
即则该人第一天走的路程为192里.
故答案为：192.
三、解答题
16．（2022·张家口模拟）已知数列满足，.
（1）证明：是等比数列；
（2）设，证明.
【答案】（1）证明：因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
由已知得，即，
所以，，且，
是首项为，公比为的等比数列.
（2）证明：由（1）知，，，
，
.
【解析】(1)首先整理化简已知的数列的递推公式，由此得出数列的通项公式，进而得出数列为等比数列。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，结合裂项相消法即可求出数列前n项和。
17．（2022·茂名模拟）已知数列，满足，，且，
（1）求，的值，并证明数列是等比数列；
（2）求数列，的通项公式．
【答案】（1）解：∵
∴，.
∵，∴＝
∴
∴是为首项，为公比的等比数列
（2）解：由（1）知是为首项，为公比的等比数列.
∴，∴
∵，∴
∴当时，
.
当时，也适合上式
所以数列的通项公式为
数列的通项公式为.
【解析】(1)首先根据题意由已知条件整理化简，即可得出数列项之间的关系，由此即可得出数列为等比数列。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，结合等比数列的通项公式整理化简即可得出数列的通项公式，结合题意即可得出数列的通项公式。
18．（2022·雅安模拟）在①，②这两个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答．
已知数列的前n项和为，满足，____；又知正项等差数列满足，且成等比数列．
（1）求和的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）解：选择①时，
根据题意可得：∵，
∴当时，有，两式相减得：，即．
又当时，有，又∵，∴也适合，
∴数列是首项、公比均为的等比数列，∴；
设正项等差数列的公差为d，∵，且成等比数列
∴，即，解得：或（舍）
∴，故．
选择②时：根据题意可得：∵
∴当时，，两式相减得：，即．
又当时，有，又∵，∴，而也符合上式，
∴数列是首项、公比均为的等比数列，∴；
设正项等差数列的公差为d，∵，且成等比数列，∴，
即，解得：或（舍），
∴，故．
（2）证明：由（1）可得，
∴
.
【解析】（1） 选择① ，通过作差法可得，进而求出，再结合等差数列基本量的运算及等比数列性质可求； 选择② ，同样通过作差法得到，进而求出，再结合等差数列基本量的运算及等比数列性质可求；
（2）由（1），可得，通过等比数列求和公式即可求解。
19．（2022·河南模拟）已知数列的前n项和为，且成等差数列，
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记，若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．
【答案】（1）证明：由构成等差数列，得，所以，两式相减得，
所以，又当n＝1时，，所以；当n＝2时，，解得，
满足，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，即；
（2）解：由（1）可知，所以，故是以1为首项，2为公差的等差数列，
又因为，，
令，则，
即.
【解析】 (1)根据题意可得 ，则 ，从而两式相减再结合a1与a2的值可得数列 是等比数列 ，进而求出数列的通项公式；
(2)由(1)的an可得bn，根据an和bn的表达式可求出 与 的公共项，即可结合等比数列的求和公式运用分组求和法进行求解可得 的值．
