人教A版（2019）选择性必修第一册《直线方程》专题9 对称问题 学案（Word版含答案）

《直线方程》专题9-1 对称问题
（3套，5页，含答案）
知识点：
对称问题： 关注坐标轴对称： 关于坐标轴对称的两条直线，斜率K互为相反数。 点点对称： 画图分析，然后利用中点公式求解； 线点对称： 画图分析，然后用相关点法求解。
相关点法： 动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程。 点线对称： 设所求对称点为（m，n），点与对称点连线交直线于P点（a，b）。利用中点公式得三点关系，是为1式。点与对称点代入斜率公式，得斜率K，该斜率与原直线斜率相乘等于－1，是为2式。联立1式和2式，解出m，n即可。 线线对称： 先求出两线交点P，然后在其中一条线上找另外一点A，求A点关注直线的对称点B，利用B、P两点即可求出对称直线。
典型例题1：
已知知直线L1：y＝2x＋3，若L2与L1关于y轴对称，则L2的方程为__________；若L3与L1关于x轴对称，
则L3的方程为________；若L4与L1关于y＝x对称，则L4的方程为_________[endnoteRef:0]； [0: 答案：；；；]
点M（4，m）关于点N（n， － 3）的对称点为P（6，－9），则（　[endnoteRef:1]　　）（点点对称） [1: 答案：D；]
A　m＝－3，n＝10　　　B　m＝3，n＝10 C　m＝－3，n＝5　　　　　D　m＝3，n＝5
直线L与直线2x＋3y－6＝0关于点（1，－1）对称，则直线L的方程是（ [endnoteRef:2] ）（线点对称） [2: 答案：D；]
A、3x－2y＋2＝0 B、2x＋3y＋7＝0 C、3x－2y－12＝0 D、2x＋3y＋8＝0
曲线C与y＝x ＋1关于点（1，－1）对称，则曲线C的方程是（ [endnoteRef:3] ）（线点对称） [3: 答案：；]
随堂练习1：
和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为(　[endnoteRef:4]　)
A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0 C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0 [4: 答案：B；
[直线3x－4y＋5＝0与x轴交点为，由对称直线的特征知，所求直线斜率为k＝－．
∴y＝－，即3x＋4y＋5＝0．]
]
点M（4，m）关于点N（7，－9）的对称点为P（n， － 8），则m＝ ，n＝ [endnoteRef:5] [5: 答案：；]
直线L与直线x－3y＋5＝0关于点(2，－3)对称，则直线L的方程是 [endnoteRef:6] [6: 答案：；]
曲线C与y＝x ＋2x关于点(1，1)对称，则曲线C的方程是（ [endnoteRef:7] ） [7: 答案：；]
典型例题2：
已知直线L：y＝2x－1，求点P（3 ，4）关于直线L的对称点。（[endnoteRef:8]）
[8: 答案：（）；]
已知直线L和直线m的方程分别为2x－y＋1＝0，3x－y＝0，则直线m关于直线L的对称直线m’的方程
为[endnoteRef:9] ． [9: 答案：13m－9n+14=0；]
随堂练习2：
点P（2，5）关于直线 x＋y＝0 的对称点坐标是 [endnoteRef:10] 。 [10: 答案：；]
已知直线L1：y＝2x＋3，L2与L1关于直线y＝－x对称，直线L3⊥L2，则L3的斜率是____[endnoteRef:11]_ [11: 答案：；]
知识点：
对称的应用： 以下常用对称方法求解： （1）光线反射； （2）角平分线； （3）求距离和的最小值，差的最大值； 距离和与差的最值分析： 一般遇到两定点（A、B）在一边，一动点（P），两个线段长度相加，求最小值，我们都利用其对称性来求。先找出其中一个定点（A）关注直线的对称点（A′），使A′和B点在直线两边，然后连接A′B，则A′B与直线的交点就是最小值时P点所在位置。A′B的长度就是两线段和的最小值。 一般遇到两定点（A、B）在两边，一动点（P），两个线段长度相减，求最大值，我们都利用其对称性来求。先找出其中一个定点（A）关注直线的对称点（A′），使A′和B在直线的同一边，然后连接A′B，则A′B与直线的交点就是最大值时P点所在位置。A′B的长度的绝对值就是两线段差的最大值。
典型例题：
光线从点A(－3，5)射到x轴上P点，经反射以后经过点B(2，10)，
求光线从A到B的距离（即|AP|＋|PB|）为 [endnoteRef:12] [12: 答案：；]
直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在直线，若A、B的坐标分别为A（－4，2），B（3，1），求点C的坐标，并判断△ABC的形状。（[endnoteRef:13]） [13: 答案：，直角三角形；]
直线x－y－4＝0上有一点P，它与两定点A（4，－1）、B（3，4）距离之差最大，则P点坐标是　 [endnoteRef:14] 　．
C（2，－4），求P点在何处时，AP＋CP最小。 [14: 答案：，，；]
随堂练习：
一条光线从点A(－1，3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3，1)，求P点的坐标．[endnoteRef:15] [15: 答案：P(2,0)；
解　设P(x,0)，则kPA＝＝－，kPB＝＝，依题意，
由光的反射定律得kPA＝－kPB，即＝，解得x＝2，即P(2,0)．]
如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经
直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回
到P点，则光线所经过的路程是（　[endnoteRef:16]）
A． B． C． D．
[16: 答案：A；]
将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（－2，0）重合，且点（7，3）与点（m，n）重合，
则m＋n的值是__[endnoteRef:17]__
[17: 答案：； ]
设△ABC的一个顶点是A（3，－1），∠B，∠C的平分线方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是（ [endnoteRef:18] ）
A．y＝2x＋5 B．y＝2x＋3 C．y＝3x＋5 D． [18: 答案：A；]
已知A(－3，8)，B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是(　[endnoteRef:19]　)
A．(－1，0) B．(1，0) C． D． [19: 答案：B；
[(如图)A关于x轴对称点为A′(－3，－8)，则A′B与x轴的交点即为M，求得M坐标为(1,0)．]
]
直线2x－y－4＝0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值．（[endnoteRef:20]） [20: 答案：3；
解　找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点．设A′(a，b)，则．解得，所以|A′B|＝＝3．
]
《直线方程》专题9-2 对称问题
把直线L1: x＋3y－1＝0沿轴负方向平移1个单位后得到直线L2，又直线L与直线L2关于轴对称，那么直线L的方程是（ [endnoteRef:21] ）
A. x－3y＋2＝0 B. x－3y－4＝0 C. x－3y－2＝0 D. x－3y＋4＝0 [21: 答案：A；]
已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是___[endnoteRef:22]____． [22: 答案：；
解析　由题意知解得∴d＝＝．]
与直线2x＋3y－6＝0关于点（1，－1）对称的直线方程是（ [endnoteRef:23] ）
A．2x＋3y＋8＝0 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0 D．3x－2y＋2＝0 [23: 答案：A；]
点(4，0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是( [endnoteRef:24] )．
A．(－6，8) B．(－8，－6) C．(6，8) D．(－6，－8) [24: 答案：D；]
点A(4，5)关于直线L的对称点为B(－2，7)，则L的方程为_________[endnoteRef:25]_______． [25: 答案：3x－y＋3＝0；]
试求直线L1：x－y－2＝0，关于直线L2：3x－y＋3＝0对称的直线L的方程．[endnoteRef:26] [26: 答案：；
解法一：由方程组得
直线、的交点为(，)．
设所求直线的方程为，即．
由题意知：到与到的角相等，则，．
即所求直线的方程为．
解法二：在上任取点(，)（），
设点关于的对称点为(，)．
则解得
又点在上运动，．
．
即，也就是．
]
入射光线在直线L1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线L2上，再经过y轴反射到直线L3上，若点P是L1上某一点，则点P到L3的距离为（ [endnoteRef:27] ） A．6 B．3 C． D． [27: 答案：C；
提示：由题意，故到的距离为平行线，之间的距离，
，再求得，所以．]
一束平行光线从原点O(0，0)出发，经过直线L：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线与直线L的交点坐标．[endnoteRef:28] [28: 答案：；
解　设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
，解得，
∴A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3．
由方程组，解得，
∴反射光线与直线l的交点坐标为．]
已知点A(3，5)和B(2，15)，分别在直线L：x－y＋3＝0上找一点P，使
(1)|PA|＋|PB|最小时点P的坐标，并求出最小值；
(2)||PA|－|PB||最大时点P的坐标，并求出最大值。（[endnoteRef:29]）
[29: 答案：；；，9； ]
《直线方程》专题9-3 对称问题
入射光线线在直线L1：2x－y－3＝0上，经过x轴反射到直线L2上，再经过y轴反射到直线L3上，则直线L3的方程为（　[endnoteRef:30]　）
Ａ．x－2y＋3＝0 Ｂ．2x－y＋3＝0 Ｃ．2x＋y－3＝0 Ｄ．2x－y＋6＝0 [30: 答案：Ｂ；
]
点A（4，0）关于直线L：5x＋4y＋21＝0的对称点是（ [endnoteRef:31] ）
A（－6，8） B（－8，－6） C（6，8） D（―6，―8） [31: 答案：D；]
已知点P（3，2）与点Q（1，4）关于直线L对称，则直线L的方程为（ [endnoteRef:32] ）
A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0 [32: 答案：A；]
已知直线L:x－y－1＝0，L1:2x－y－2＝0.若直线L2与L1关于L对称，则L2的方程是( [endnoteRef:33] )
A.x－2y＋1＝0 B.x－2y－1＝0 C.x＋y－1＝0 D.x＋2y－1＝0 [33: 答案：B；
解析：由得交点(1，0)，
由，得k=(k=2舍去).
故直线l2方程为y= (x－1),即x－2y－1=0.]
一条光线从点P（6，4）射出，经x轴反射，反射光线过点Q（－1，3），求入射光线和反射光线的方程。（[endnoteRef:34]） [34: 答案：，；]
在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标．[endnoteRef:35] [35: 答案：A(－1,0)，C(5，－6)；
解
如图所示，由已知，A应是BC边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点．
由，得，故A(－1,0)．
又∠A的角平分线为x轴，
故kAC＝－kAB＝－1，(也可得B关于y＝0的对称点(1，－2)．
∴AC方程为y＝－(x＋1)，又kBC＝－2，∴BC的方程为y－2＝－2(x－1)，
由，得，
故C点坐标为(5，－6)．
]
等腰△ABC的顶点A(－1，2)，AC的斜率为，点B(－3，2)，求直线AC、BC及∠A的平分线所在直线方程．[endnoteRef:36] [36: 答案：AC的方程：y＝x＋2＋，
当α＝30°时，BC方程为y＝x＋2＋，∠A平分线倾斜角为120°，方程为y＝－x＋2－．
当α＝120°时，BC方程为y＝－x＋2－3，∠A平分线倾斜角为30°，方程为y＝x＋2＋．
解　直线AC的方程：y＝x＋2＋．
∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，∴BC的倾斜角为30°或120°．
当α＝30°时，BC方程为y＝x＋2＋，∠A平分线倾斜角为120°，
∴所在直线方程为y＝－x＋2－．
当α＝120°时，BC方程为y＝－x＋2－3，∠A平分线倾斜角为30°，
∴所在直线方程为y＝x＋2＋．
]
已知点A(2，5)与点B(4，－7)，点P在y轴上，若|PA|＋|PB|的值最小，则点P的坐标是____[endnoteRef:37]____． [37: 答案：(0,1)；
解析　要使|PA|＋|PB|的值最小，先求点A关于y轴的对称点A′(－2,5)，连接A′B，直线A′B与y轴的交点P即为所求点．
]