人教A版（2019）选择性必修第一册2.2直线方程：直线的表示 学案（Word版含答案）

《直线方程》专题3-1 直线的表示（新课）
（4套，5页，含答案）
知识点：
判断直线方程： （1）直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性①点斜式为直线上一定点， 为斜率不包括垂直于轴的直线②斜截式为斜率，是直线在轴 上的截距不包括垂直于轴的直线③两点式不包括垂直于轴和轴的直线④截距式是直线在轴上的非零截距，是直线在轴上的非零截距不包括垂直于轴和轴或过原点的直线⑤一般式 无限制，可表示任何位置的直线
（2）几种特殊直线的方程: ①过点P（a，b）垂直于x轴的直线方程为 ；过P（a，b）垂直于y轴的直线方程为 ②已知直线的纵截距为b，可设其方程为 ； ③过原点的直线且斜率是k的直线方程为 （3）关于x，y的二元一次方程________________(其中A，B________________)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)中，
①当A＝0，C≠0时，方程表示的直线平行于x轴；
②当_________时，方程表示的直线与x轴重合；
③当_________时，方程表示的直线平行于y轴；
④当_________时，方程表示的直线与y轴重合；
⑤当_________时，方程表示的直线过原点；
⑥当_________时，方程表示的直线过第一、三、四象限. （5）直线与x、y轴的交点(a，0)，(0，b)其中a叫直线在x轴上的截距；b叫曲线在y轴上的截距。截距和距离不同，截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。
（答案：[endnoteRef:0] [endnoteRef:1] [endnoteRef:2]） [0: 答案：x=a；y=b，y=kx+b，y=kx；] [1: 答案：Ax＋By＋C＝0　不同时为0；] [2: 答案：A=0，C=0　B=0，C≠0　B=0，C=0　C=0　A、B异号且B、C同号]
典型例题：
下列几个命题中真命题的个数是（ [endnoteRef:3] ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3
①经过定点P0（x0，y0）的直线，都可以用y－y0＝k（x－x0）来表示；
②经过任意两点的直线都可以用来表示；
③不经过原点的直线都可以用方程表示；
④经过A（0，b）的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．
[3: 答案：B，2系对的；]
若方程表示一条直线，则实数m满足 （[endnoteRef:4]） [4: 答案：；
时，能够表示一条直线；时，是一条竖线；时，是一条横线. ]
已知[endnoteRef:5]直线Ax＋By＋C＝0， [5: 答案：①；②且；③且；④且⑤ 证明略；
解：（1）把原点代入，得；（2）此时斜率存在且不为零
即且；（3）此时斜率不存在，且不与轴重合，即且；
（4）且
（5）证明： 在直线上
。]
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；
（3）系数满足什么条件时只与x轴相交； （4）系数满足什么条件时是x轴；
（5）（选做）设为直线Ax＋By＋C＝0上一点，
证明：这条直线的方程可以写成．
随堂练习：
下列说法正确的是(　[endnoteRef:6]　)
A.＝k是过点(x1，y1)且斜率为k的直线 B.在x轴和y轴上的截距分别是a、b的直线方程为＋＝1
C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离是b
D．不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式 [6: 答案：D；]
若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为(　[endnoteRef:7]　)
A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 [7: 答案：D；]
直线x＋2y＋6＝0化为斜截式为____[endnoteRef:8]____，化为截距式为________． [8: 答案：y＝－x－3，＋＝1；]
知识点：
几种简单的求直线的方法: （1）已知一点和斜率，马上代入点斜式方程，化简即可； （2）知道两点，一般先用两点求斜率，然后代入点斜式方程； （3）已知截距，把截距理解成具体的坐标点；
典型例题：
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率为，且经过点A(5，3)； (2)过点B(－3，0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过C(－1，5)，D(2，－1)两点； (6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1．（[endnoteRef:9]） [9: 答案：x－y＋3－5＝0，x＝－3，4x－y－2＝0，y＝3，2x＋y－3＝0，x＋3y＋3＝0；
解　(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，即x－y＋3－5＝0．
(2)x＝－3，即x＋3＝0．
(3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0．
(4)y＝3，即y－3＝0．
(5)由两点式方程得＝，
即2x＋y－3＝0．
(6)由截距式方程得＋＝1，即x＋3y＋3＝0．]
随堂练习：
求满足下列条件的直线方程：
(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过点P(5，－2)，且与y轴平行； (4)过点P(－2，3)，Q(5，－4)两点．[endnoteRef:10] [10: 答案：3x＋y＋9＝0，y＝－4，x＝5，x＋y－1＝0；
解　(1)∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，∴由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，即3x＋y＋9＝0.
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为
y－(－4)＝0(x－3)，即y＝－4.
(3)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，
但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x＝5.
(4)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线斜率kPQ＝＝＝－1.
又∵直线过点P(－2，3)，
∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y－3＝－1(x＋2)，即x＋y－1＝0.
]
菱形的对角线长分别为8和6，并且分别位于x轴和y轴上，则菱形的各边所在直线的方程分别为___[endnoteRef:11]____. [11: 答案:=1，=1，=1，=1.写成斜截式更好；
思路解析:菱形的对角线互相垂直平分，根据对角线长是8和6，且分别在两坐标轴上，可得四个顶点的坐标分别是(4，0)、(0，3)、(-4，0)、(0，-3)，于是可以写出各边方程.
主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程]
知识点：
截距： 求X轴上截距，令Y＝0；求Y轴上截距，令X＝0。
解题中若遇到某直线到X，Y轴截距相同，考虑两种情况：（1）直线斜率为－1；（2）直线过原点。
典型例题：
直线x＋6y＋2＝0在x轴和y轴上的截距分别是（ [endnoteRef:12] ）
[12: 答案：，；]
经过点A（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（ [endnoteRef:13]）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 [13: 答案：B；]
求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线L的方程．[endnoteRef:14]（交点（3，2）） [14: 答案：2x＋y－8＝0或y＝x；
解　(1)2x＋y－8＝0在x轴、y轴上的截距分别是4和8，符合题意．
(2)当l的方程不是2x＋y－8＝0时，
设l：(x－2y＋1)＋λ(2x＋y－8)＝0，
即(1＋2λ)x＋(λ－2)y＋(1－8λ)＝0．
据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．
令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－．
∴－＝2·解之得λ＝，此时y＝x．
∴所求直线方程为2x＋y－8＝0或y＝x．]
随堂练习：
直线－＝1在y轴上的截距是(　[endnoteRef:15]　) A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b [15: 答案：B；
　[令x＝0得，y＝－b2．]]
一直线过点（－3，4），并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_____ _[endnoteRef:16]____． [16: 答案：或 ； ]
过点P（1，－2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( [endnoteRef:17] )
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 [17: 答案：B； ]
直线ax＋by＋c＝0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足(　[endnoteRef:18]　)
A．a＝b B．|a|＝|b|且c≠0 C．a＝b且c≠0 D．a＝b或c＝0 [18: 答案：D；
　[直线在两坐标轴上的截距相等可分为两种情形：
(1)截距等于0，此时只要c＝0即可；
(2)截距不等于0，此时c≠0，直线在两坐标轴上的截距分别为－、－．若相等，则有－＝－，即a＝b．
综合(1)(2)可知，若ax＋by＋c＝0 (ab≠0)表示的直线在两坐标轴上的截距相等，则a＝b或c＝0．]]
《直线方程》专题3-2 直线的表示（新课）
方程y－y0＝k(x－x0)(　[endnoteRef:19]　)
A．可以表示任何直线 B．不能表示过原点的直线
C．不能表示与y轴垂直的直线 D．不能表示与x轴垂直的直线 [19: 答案：D；
[解析]　直线的点斜式方程不能表示没有斜率的直线，即不能表示与x轴垂直的直线．]
集合A＝{直线的斜截式方程}，B＝{一次函数的解析式}，则集合A、B间的关系是(　[endnoteRef:20]　)
A．A＝B B．B A C．A B D．以上都不对 [20: 答案：B；
　[一次函数y＝kx＋b(k≠0)；直线的斜截式方程y＝kx＋b中k可以是0，所以B?A．]]
下列说法正确的是(　[endnoteRef:21]　)
A．方程＝k表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线方程
B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1
C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b
D．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式 [21: 答案：A；]
过点(－1，3)，且斜率为－2的直线的斜截式方程为__[endnoteRef:22]______． [22: 答案：y＝－2x＋1；
[解析]　点斜式为y－3＝－2(x＋1)，化为斜截式为y＝－2x＋1.]
直线L:在x轴上的截距是[endnoteRef:23] . [23: 答案：-2；]
过点(5，2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是(　[endnoteRef:24]　)
A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0 D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0 [24: 答案：D；
　[当y轴上截距b＝0时，方程设为y＝kx，将(5,2)代入得，y＝x，即2x－5y＝0；
当b≠0时，方程设为＋＝1，求得b＝，∴选D．]
]
《直线方程》专题3-3 直线的表示（新课）
过(x1，y1)和(x2，y2)两点的直线方程是(　[endnoteRef:25]　)
A.＝ B.＝
C．(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0 D．(x2－x1)(x－x1)－(y2－y1)(y－y1)＝0 [25: 答案：C；]
方程y＝k(x－2)表示(　[endnoteRef:26]　)
A．通过点(－2，0)的所有直线 B．通过点(2，0)的所有直线
C．通过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点(2，0)且除去x轴的所有直线 [26: 答案：C；
　[易验证直线通过点(2，0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．]]
一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程(　[endnoteRef:27]　)
A．可以写成两点式或截距式 B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式 D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 [27: 答案：B；]
已知点(1，－4)和(－1，0)是直线y＝kx＋b上的两点，则k＝________，b＝___[endnoteRef:28]_____. [28: 答案：－2　－2；
[解析]　由题意，得解得k＝－2，b＝－2.
]
过点(0，3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是____[endnoteRef:29]____． [29: 答案：3x＋2y－6＝0；
[解析]　设直线方程为＋＝1，则解得a＝2，b＝3，则直线方程为＋＝1，
即3x＋2y－6＝0.]
求过点A（－5，2），且在x轴y轴上截距相等的直线方程 [endnoteRef:30]
[30: 答案：；； ]
《直线方程》专题3-4 直线的表示（新课）
把直线L的一般式方程2x－3y－6＝0化成斜截式，求出直线L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形．[endnoteRef:31] [31: 答案：y＝x－2，3，－2，；
[分析]　求l在x轴上的截距，即求直线l与x轴交点的横坐标．在l的方程中令y＝0，解出x值，即为x轴上的截距，令x＝0，解出y值，即为y轴上的截距．
[解析]　由2x－3y－6＝0得3y＝2x－6，
∴y＝x－2，
即直线l的一般式方程化成斜截式为y＝x－2，斜率为.
在l的方程2x－3y－6＝0中，
令y＝0，得x＝3；令x＝0，得y＝－2.
即直线l在x轴与y轴上的截距分别是3，－2.
则直线l与x轴，y轴交点分别为A(3，0)，B(0，－2)，过点A，B作直线，就得直线l的图形，如右图所示．
[点评]　已知一般式方程讨论直线的性质：①令x＝0，解得y值，即为直线在y轴上的截距，令y＝0，解得x值，即为直线在x轴上的截距，从而确定直线与两坐标轴的交点坐标，从而画出图形．当然也可将一般式方程化为截距式来解决；②化为斜截式可讨论斜率与倾斜角，以及在y轴上的截距．
]
下列四个结论：
①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；
②直线L过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1；
③直线L过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1；
④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．
正确的为____[endnoteRef:32]____(填序号)． [32: 答案：②③；]
过A(1，1)、B(0，－1)两点的直线方程是( [endnoteRef:33])
A. B. C. D.y＝x [33: 答案：A；
解析：由直线方程的两点式知，过A、B两点的直线方程是，即
]
过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是 (　[endnoteRef:34]　)
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0 [34: 答案：D；]
过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为(　[endnoteRef:35]　)
A．－ B．－ C. D．2 [35: 答案：A；
[解析]　直线方程为＝，化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－.]
已知直线L经过点(7，1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线L的方程．[endnoteRef:36] [36: 答案：x－7y＝0或x－y－6＝0；
解　当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为，
∴所求直线方程为y＝x，
即x－7y＝0．
当直线l不过原点时，设其方程＋＝1，
由题意可得a＋b＝0， ①
又l经过点(7,1)，有＋＝1， ②
由①②得a＝6，b＝－6，则l的方程为＋＝1，即x－y－6＝0．
故所求直线l的方程为x－7y＝0或x－y－6＝0．
]