人教A版（2019）选择性必修一2.3直线的交点坐标与距离公式：距离公式（中下）学案（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修一2.3直线的交点坐标与距离公式：距离公式（中下）学案（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 262.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-25 00:50:21 | ||
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文档简介
《直线方程》专题8-1 距离公式（中下）
（4套，5页，含答案）
知识点：
距离公式中下： （1）不能够直接算出来的设X； （2）一般已知一点求方程，设点斜式；已知斜率求方程，设斜截式； （3）有些最值问题可以通过图像分析，把它转化为距离问题； （4）平行线截线段的长度，用图像分析，并且要考虑两种情况，结合正切和差公式计算；
典型例题1：
直线L与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点为（1，－1）那么直线L的斜率为（ [endnoteRef:0] ） （A） （B） （C） （D） [0: 答案：C；]
点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为_________[endnoteRef:1]_____． [1: 答案：(2，10)或(－10，10)；
解析 设M(x，y)，则|y|＝＝10．解得或．
]
已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程
为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边的方程．[endnoteRef:2] [2: 答案：3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0；
解 设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边的直线方程为l1：
x＋3y＋c＝0．
由得正方形的中心坐标P(－1，0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，则＝，
得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0．
又∵正方形另两边所在直线与l垂直，∴设另两边方程为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0．
∵正方形中心到四条边的距离相等，∴＝，得a＝9或－3，
∴另两条边所在的直线方程为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0．
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0．]
过点P(1，2)引直线，使A(2，3)、B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是( [endnoteRef:3] )
A.4x＋y－6＝0 B.x＋4y－6＝0
C.2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0 D.3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0 [3: 答案：D；
参考答案与解析:解析：解法一 ∵kAB＝－4，线段AB中点C(3，－1)，
∴过P(1，2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意.
过P(1，2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为y－2＝ (x－1)，即3x＋2y－7＝0.此直线也是所求.
故所求直线方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.∴即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
解法二 显然这条直线斜率存在
设直线方程为y＝kx＋b，据条件有
化简得或∴k＝－4，b＝6或k＝，b＝
∴直线方程为y＝－4x＋6或y＝.即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.]
随堂练习1：
△ABC的两顶点A（3，7），B（－2，5），若AC的中点在Y轴上，BC的中点在x轴上。
（1）求点C的坐标；
（2）求AC边上的中线BD的长及直线BD的斜率 。（[endnoteRef:4]） [4: 答案：，，；]
过点P（0，1）作直线L，使它被两条已知直线所截得的线段AB被点P平分，求直线L的方程。 （[endnoteRef:5]）
[5: 答案：；]
已知直线L的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线L的方程．[endnoteRef:6] [6: 答案：y＝6x±6；
解 方法一 设所求直线l的方程为y＝kx＋b．∵k＝6，∴方程为y＝6x＋b．
令x＝0，∴y＝b，与y轴的交点为(0，b)；
令y＝0，∴x＝－，与x轴的交点为．
根据勾股定理得2＋b2＝37，∴b＝±6．因此直线l的方程为y＝6x±6．
方法二 设所求直线为＋＝1，则与x轴、y轴的交点分别为(a，0)、(0，b)．
由勾股定理知a2＋b2＝37．
又k＝－＝6，∴解此方程组可得或
因此所求直线l的方程为x＋＝1或－x＋＝1．]
已知点A(3，4)，B(6，m)到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m等于( [endnoteRef:7] )
A. B．－ C．1 D.或－ [7: [答案] D；
[解析] 由题意得＝，解得m＝或m＝－.]
典型例题2：
过点（－1，4）作直线L使点M（1，2）到直线L距离最大，则直线L的方程为（ [endnoteRef:8]） [8: 答案：；]
点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是( [endnoteRef:9] )
A．8 B．2 C. D．16 [9: [答案] A；
[解析] x2＋y2表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，
∵原点到直线x＋y－4＝0的距离为＝2，∴x2＋y2最小值为8.故选A.]
两条平行线分别经过点(1，0)和(0，5)，且两条直线的距离为5，它们的方程是_______[endnoteRef:10]_____．
[10: [答案] y＝5和y＝0或者5x－12y＋60＝0和5x－12y－5＝0.；
[解析] 设l1：y＝kx＋5，l2：x＝my＋1，在l1上取点A(0，5)．
由题意A到l2距离为5，∴＝5，解得m＝，∴l2：5x－12y－5＝0.
在l2上取点B(1，0)．则B到l1的距离为5，
∴＝5，∴k＝0或k＝，∴l1：y＝5或5x－12y＋60＝0，
结合l2斜率不存在的情况知两直线方程分别为：
l1：y＝5，l2：y＝0；或l1：5x－12y＋60＝0，l2：5x－12y－5＝0.]
已知直线L被两平行直线3x＋y－6＝0和 3x＋y＋3＝0所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线L的方程.[endnoteRef:11] [11: 答案：y＝0或3x－4y－3＝0；]
随堂练习2：
已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是( [endnoteRef:12] )
A．－ B．－ C. D. [12: [答案] C；
[解析] |AB|＝＝＝，∴当a＝时，|AB|取最小值．]
点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是( [endnoteRef:13] )
A． B．2 C． D．2 [13: 答案：B；
[|OP|最小值即为O到直线x＋y－4＝0的距离，∴d＝＝2．]]
已知实数x，y满足5x＋12y＝60，则的最小值是( [endnoteRef:14] )
A． B． C．13 D．不存在 [14: 答案：A；
[＝，它表示点(x，y)与(1，2)之间的距离，
两点距离的最小值即为点(1，2)到直线5x＋12y＝60的距离，∴d＝＝．]]
P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( [endnoteRef:15] )
A. B. C．3 D．6
[15: [答案] C；
[解析] |PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x＋4y－12＝0上取点(4，0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.]
若直线m被两平行线L1：x－y＋1＝0与L2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是_______[endnoteRef:16]_．(写出所有正确答案的序号) ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° [16: 答案：①⑤；]
《直线方程》专题8-2 距离公式（中下）
过点P(1，3)的直线L分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线L的截距式是_____[endnoteRef:17]__． [17: 答案：＋＝1；
解析 设A(m，0)，B(0，n)，由P(1，3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，
即A、B的坐标分别为(2，0)、(0，6)．则l的方程为＋＝1．]
设A、B两点是轴上的点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则PB的方程为（ [endnoteRef:18] ） A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．2 y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0 [18: 答案：A；]
等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x＋3y－6＝0上，顶点A的坐标是(1，－2)．求边AB、AC所在直线方程．[endnoteRef:19] [19: 答案：AC方程为3x－2y－7＝0，AB方程为x－5y－11＝0或5x＋y－3＝0.
解 已知BC的斜率为－，因为BC⊥AC，所以直线AC的斜率为，从而方程y＋2＝
(x－1)，即3x－2y－7＝0，又点A(1，－2)到直线BC：2x＋3y－6＝0的距离为|AC|＝，且|AC|＝|BC|＝.由于点B在直线2x＋3y－6＝0上，可设B(a，2－a)，且点B到直线AC的距离为＝，|a－11|＝10.
所以a－11＝10或a－11＝－10，所以a＝或，
所以B或B
所以直线AB的方程为y＋2＝·(x－1)或y＋2＝(x－1)．即x－5y－11＝0或5x＋y－3＝0，
所以AC所在的直线方程为3x－2y－7＝0，AB所在的直线方程为x－5y－11＝0或5x＋y－3＝0.]
直线L过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到L的距离相等，则直线L的方程是（ [endnoteRef:20] ） [20: 答案：3x＋2y－7＝0，4x＋y－6＝0；]
过点A(－3，1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是____[endnoteRef:21]____． [21: [答案] 3x－y＋10＝0；
[解析] 当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时，距离最大．∵kOA＝－，∴所求直线的方程为y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0.
]
到两条直线3x－4y＋5＝0与5x－12y＋13＝0的距离相等的点P(x，y)必定满足方程（ [endnoteRef:22] ）
A．x－4y＋4＝0 B．7x＋4y＝0
C．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0 D．7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0 [22: 答案：D；
]
已知直线L1 ：mx＋8y＋n＝0，直线L2：2x＋my－1＝0，L1 // L2，两平行直线间距离为，而过点A(m，n)(m＞0，n＞0)的直线L被L1、L2截得的线段长为，求直线L的方程．[endnoteRef:23] [23: 答案：或；
解：，得．
，．故，．
又与间距离为，，解得或（舍）．
故点坐标为．再设与的夹角为，斜率为，斜率为，
，，，解得或．
直线的方程为或．
即或．
]
设两条平行线分别经过点(3，0)和(0，4)，它们之间的距离为d，则（ [endnoteRef:24] ）
A．0＜d≤3 B．0＜d＜4 C．0＜d≤5 D．3≤d≤5 [24: 答案：C；]
《直线方程》专题8-3 距离公式（中下）
直线L与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线L的斜率为( [endnoteRef:25] ) A． B． C．－ D．－ [25: 答案：D；
[设直线l与直线y＝1的交点为A(x1，1)，直线l与直线x－y－7＝0的交点为B(x2，y2)，因为M(1，－1)为AB的中点，所以－1＝即y2＝－3，代入直线x－y－7＝0得
x2＝4，因为点B，M都在直线l上，所以kl＝＝－．故选D．]]
若P(－1，－6)，Q(3，0)，延长QP到A，使，那么A的坐标为（[endnoteRef:26] ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． [26: 答案：A；
]
已知直线L经过点P(－2，5)，且斜率为－．
(1)求直线L的方程；
(2)若直线m与L平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．[endnoteRef:27] [27: 答案：3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0；
解 (1)由点斜式方程得，
y－5＝－(x＋2)，
∴3x＋4y－14＝0．
(2)设m的方程为3x＋4y＋c＝0，
则由平行线间的距离公式得，
＝3，c＝1或－29．
∴3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0．
]
已知直线L过两条直线3x＋4y－5＝0，2x－3y＋8＝0的交点，且与A（2，3），B（－4，5）两点的距离相等，求直线L的方程。（[endnoteRef:28]） [28: 答案：交点（－1，2），，； ]
过点(1，2)且与原点距离最大的直线方程为( [endnoteRef:29] )
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0 C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0 [29: 答案：A；
[解析] 由已知得，所求直线过(1，2)且垂直于(0，0)与(1，2)两点的连线，
∴所求直线的斜率k＝－，
∴y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
]
已知△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，C点在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求出点C坐标．[endnoteRef:30] [30: 答案：C点坐标为或；
解：由题得：．
，（为点到直线的距离）．
设点坐标为，的方程为，即．
由，
解得或．
C点坐标为或．
]
已知直线L过点P(3，1)且被两平行直线L1：x＋y＋1＝0，L2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线L的方程．[endnoteRef:31] [31: 答案：x＝3或y＝1；
解 设直线l与直线l1，l2分别相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0，
两式相减，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5①
又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25 ②
联立①②可得
或，
由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，
故所求的直线方程为x＝3或y＝1.]
已知直线L1与L2的方程分别为7x＋8y＋9＝0，7x＋8y－3＝0.直线L平行于L1，直线L与L1的距离为d1，与L2的距离为d2，且d1∶d2＝1∶2，求直线L的方程．[endnoteRef:32] [32: 答案：7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0；
解 因为直线l平行l1，设直线l的方程为7x＋8y＋C＝0，则d1＝，d2＝.
又2d1＝d2，∴2|C－9|＝|C＋3|.
解得C＝21或C＝5.
故所求直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.]
《直线方程》专题8-4 距离公式（中下）
一条直线被直线L1：4x＋y＋6＝0和L2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程．[endnoteRef:33] [33: 答案：y＝－x；
解 设所求直线与直线l1交于A(x0，y0)，它关于原点的对称点为B(－x0，－y0)，且B在直线l2上，
由
解得
∴所求直线方程为y＝x＝－x，
即x＋6y＝0．
]
（1）已知A(－3，4)，，在x轴上找一点P，使 |PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
（2）已知点M(x，－4)与N(2，3)间的距离为，求x的值．[endnoteRef:34] [34: 答案：，或；
解（1）设点为，则有
，
．
由得，解得．
即所求点为且．
（2）由，又，
得，解得或，故所求值为或．
]
△ABC的三个顶点是A(－1，4)，B(－2，－1)，C(2，3)．
(1)求BC边的高所在直线方程；
(2)求△ABC的面积S．[endnoteRef:35] [35: 答案：x＋y－3＝0，S△ABC＝8；
解 (1)设BC边的高所在直线为l，
由题知kBC＝＝1，则kl＝＝－1，
又点A(－1，4)在直线l上，
所以直线l的方程为y－4＝－1×(x＋1)，即x＋y－3＝0．
(2)BC所在直线方程为：y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，
点A(－1，4)到BC的距离
d＝＝2，又|BC|＝＝4
则S△ABC＝·|BC|·d＝×4×2＝8．]
已知两点A（3，2）和B（－1，4）到直线mx＋y＋3＝0距离相等，则m值为（ [endnoteRef:36] ） [36: 答案：，－6；]
在直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是( [endnoteRef:37] )
A．(5，－3) B．(9，0) C．(－3，5) D．(－5，3) [37: 答案：A；
[当PQ与已知直线垂直时，垂足Q即为所求．]]
直线L经过P（2，－5），且与点A(3，－2)和B(－1，6)的距离之比为1：2，求直线L的方程．[endnoteRef:38] [38: 答案：或；
解：由题知，直线的斜率存在．
设斜率为，直线过点，
直线方程为，即．
记点到直线的距离为．
记点到直线的距离为．
又，，化简得：，
解得，，所求直线为：或．
]
直线L1：2x＋4y＋1＝0与直线L2：2x＋4y＋3＝0平行，点P是平面直角坐标系内任一点，P到直线L1和L2的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最小值是____[endnoteRef:39]____． [39: 答案：；
[解析] l1与l2的距离d＝＝，则d1＋d2≥d＝，即d1＋d2的最小值是.]
两平行直线L1，L2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则L1，L2之间的距离的取值范围是( [endnoteRef:40] )
A．(0，＋∞) B．[0，5] C．(0，5] D．[0，] [40: 答案：C；
[当这两条直线l1，l2与直线PQ垂直时，d达到最大值，此时d＝＝5．∴0＜d≤5．]]
（4套，5页，含答案）
知识点：
距离公式中下： （1）不能够直接算出来的设X； （2）一般已知一点求方程，设点斜式；已知斜率求方程，设斜截式； （3）有些最值问题可以通过图像分析，把它转化为距离问题； （4）平行线截线段的长度，用图像分析，并且要考虑两种情况，结合正切和差公式计算；
典型例题1：
直线L与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点为（1，－1）那么直线L的斜率为（ [endnoteRef:0] ） （A） （B） （C） （D） [0: 答案：C；]
点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为_________[endnoteRef:1]_____． [1: 答案：(2，10)或(－10，10)；
解析 设M(x，y)，则|y|＝＝10．解得或．
]
已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程
为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边的方程．[endnoteRef:2] [2: 答案：3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0；
解 设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边的直线方程为l1：
x＋3y＋c＝0．
由得正方形的中心坐标P(－1，0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，则＝，
得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0．
又∵正方形另两边所在直线与l垂直，∴设另两边方程为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0．
∵正方形中心到四条边的距离相等，∴＝，得a＝9或－3，
∴另两条边所在的直线方程为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0．
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0．]
过点P(1，2)引直线，使A(2，3)、B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是( [endnoteRef:3] )
A.4x＋y－6＝0 B.x＋4y－6＝0
C.2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0 D.3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0 [3: 答案：D；
参考答案与解析:解析：解法一 ∵kAB＝－4，线段AB中点C(3，－1)，
∴过P(1，2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意.
过P(1，2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为y－2＝ (x－1)，即3x＋2y－7＝0.此直线也是所求.
故所求直线方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.∴即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
解法二 显然这条直线斜率存在
设直线方程为y＝kx＋b，据条件有
化简得或∴k＝－4，b＝6或k＝，b＝
∴直线方程为y＝－4x＋6或y＝.即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.]
随堂练习1：
△ABC的两顶点A（3，7），B（－2，5），若AC的中点在Y轴上，BC的中点在x轴上。
（1）求点C的坐标；
（2）求AC边上的中线BD的长及直线BD的斜率 。（[endnoteRef:4]） [4: 答案：，，；]
过点P（0，1）作直线L，使它被两条已知直线所截得的线段AB被点P平分，求直线L的方程。 （[endnoteRef:5]）
[5: 答案：；]
已知直线L的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线L的方程．[endnoteRef:6] [6: 答案：y＝6x±6；
解 方法一 设所求直线l的方程为y＝kx＋b．∵k＝6，∴方程为y＝6x＋b．
令x＝0，∴y＝b，与y轴的交点为(0，b)；
令y＝0，∴x＝－，与x轴的交点为．
根据勾股定理得2＋b2＝37，∴b＝±6．因此直线l的方程为y＝6x±6．
方法二 设所求直线为＋＝1，则与x轴、y轴的交点分别为(a，0)、(0，b)．
由勾股定理知a2＋b2＝37．
又k＝－＝6，∴解此方程组可得或
因此所求直线l的方程为x＋＝1或－x＋＝1．]
已知点A(3，4)，B(6，m)到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m等于( [endnoteRef:7] )
A. B．－ C．1 D.或－ [7: [答案] D；
[解析] 由题意得＝，解得m＝或m＝－.]
典型例题2：
过点（－1，4）作直线L使点M（1，2）到直线L距离最大，则直线L的方程为（ [endnoteRef:8]） [8: 答案：；]
点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是( [endnoteRef:9] )
A．8 B．2 C. D．16 [9: [答案] A；
[解析] x2＋y2表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，
∵原点到直线x＋y－4＝0的距离为＝2，∴x2＋y2最小值为8.故选A.]
两条平行线分别经过点(1，0)和(0，5)，且两条直线的距离为5，它们的方程是_______[endnoteRef:10]_____．
[10: [答案] y＝5和y＝0或者5x－12y＋60＝0和5x－12y－5＝0.；
[解析] 设l1：y＝kx＋5，l2：x＝my＋1，在l1上取点A(0，5)．
由题意A到l2距离为5，∴＝5，解得m＝，∴l2：5x－12y－5＝0.
在l2上取点B(1，0)．则B到l1的距离为5，
∴＝5，∴k＝0或k＝，∴l1：y＝5或5x－12y＋60＝0，
结合l2斜率不存在的情况知两直线方程分别为：
l1：y＝5，l2：y＝0；或l1：5x－12y＋60＝0，l2：5x－12y－5＝0.]
已知直线L被两平行直线3x＋y－6＝0和 3x＋y＋3＝0所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线L的方程.[endnoteRef:11] [11: 答案：y＝0或3x－4y－3＝0；]
随堂练习2：
已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是( [endnoteRef:12] )
A．－ B．－ C. D. [12: [答案] C；
[解析] |AB|＝＝＝，∴当a＝时，|AB|取最小值．]
点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是( [endnoteRef:13] )
A． B．2 C． D．2 [13: 答案：B；
[|OP|最小值即为O到直线x＋y－4＝0的距离，∴d＝＝2．]]
已知实数x，y满足5x＋12y＝60，则的最小值是( [endnoteRef:14] )
A． B． C．13 D．不存在 [14: 答案：A；
[＝，它表示点(x，y)与(1，2)之间的距离，
两点距离的最小值即为点(1，2)到直线5x＋12y＝60的距离，∴d＝＝．]]
P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( [endnoteRef:15] )
A. B. C．3 D．6
[15: [答案] C；
[解析] |PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x＋4y－12＝0上取点(4，0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.]
若直线m被两平行线L1：x－y＋1＝0与L2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是_______[endnoteRef:16]_．(写出所有正确答案的序号) ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° [16: 答案：①⑤；]
《直线方程》专题8-2 距离公式（中下）
过点P(1，3)的直线L分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线L的截距式是_____[endnoteRef:17]__． [17: 答案：＋＝1；
解析 设A(m，0)，B(0，n)，由P(1，3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，
即A、B的坐标分别为(2，0)、(0，6)．则l的方程为＋＝1．]
设A、B两点是轴上的点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则PB的方程为（ [endnoteRef:18] ） A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．2 y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0 [18: 答案：A；]
等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x＋3y－6＝0上，顶点A的坐标是(1，－2)．求边AB、AC所在直线方程．[endnoteRef:19] [19: 答案：AC方程为3x－2y－7＝0，AB方程为x－5y－11＝0或5x＋y－3＝0.
解 已知BC的斜率为－，因为BC⊥AC，所以直线AC的斜率为，从而方程y＋2＝
(x－1)，即3x－2y－7＝0，又点A(1，－2)到直线BC：2x＋3y－6＝0的距离为|AC|＝，且|AC|＝|BC|＝.由于点B在直线2x＋3y－6＝0上，可设B(a，2－a)，且点B到直线AC的距离为＝，|a－11|＝10.
所以a－11＝10或a－11＝－10，所以a＝或，
所以B或B
所以直线AB的方程为y＋2＝·(x－1)或y＋2＝(x－1)．即x－5y－11＝0或5x＋y－3＝0，
所以AC所在的直线方程为3x－2y－7＝0，AB所在的直线方程为x－5y－11＝0或5x＋y－3＝0.]
直线L过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到L的距离相等，则直线L的方程是（ [endnoteRef:20] ） [20: 答案：3x＋2y－7＝0，4x＋y－6＝0；]
过点A(－3，1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是____[endnoteRef:21]____． [21: [答案] 3x－y＋10＝0；
[解析] 当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时，距离最大．∵kOA＝－，∴所求直线的方程为y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0.
]
到两条直线3x－4y＋5＝0与5x－12y＋13＝0的距离相等的点P(x，y)必定满足方程（ [endnoteRef:22] ）
A．x－4y＋4＝0 B．7x＋4y＝0
C．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0 D．7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0 [22: 答案：D；
]
已知直线L1 ：mx＋8y＋n＝0，直线L2：2x＋my－1＝0，L1 // L2，两平行直线间距离为，而过点A(m，n)(m＞0，n＞0)的直线L被L1、L2截得的线段长为，求直线L的方程．[endnoteRef:23] [23: 答案：或；
解：，得．
，．故，．
又与间距离为，，解得或（舍）．
故点坐标为．再设与的夹角为，斜率为，斜率为，
，，，解得或．
直线的方程为或．
即或．
]
设两条平行线分别经过点(3，0)和(0，4)，它们之间的距离为d，则（ [endnoteRef:24] ）
A．0＜d≤3 B．0＜d＜4 C．0＜d≤5 D．3≤d≤5 [24: 答案：C；]
《直线方程》专题8-3 距离公式（中下）
直线L与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线L的斜率为( [endnoteRef:25] ) A． B． C．－ D．－ [25: 答案：D；
[设直线l与直线y＝1的交点为A(x1，1)，直线l与直线x－y－7＝0的交点为B(x2，y2)，因为M(1，－1)为AB的中点，所以－1＝即y2＝－3，代入直线x－y－7＝0得
x2＝4，因为点B，M都在直线l上，所以kl＝＝－．故选D．]]
若P(－1，－6)，Q(3，0)，延长QP到A，使，那么A的坐标为（[endnoteRef:26] ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． [26: 答案：A；
]
已知直线L经过点P(－2，5)，且斜率为－．
(1)求直线L的方程；
(2)若直线m与L平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．[endnoteRef:27] [27: 答案：3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0；
解 (1)由点斜式方程得，
y－5＝－(x＋2)，
∴3x＋4y－14＝0．
(2)设m的方程为3x＋4y＋c＝0，
则由平行线间的距离公式得，
＝3，c＝1或－29．
∴3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0．
]
已知直线L过两条直线3x＋4y－5＝0，2x－3y＋8＝0的交点，且与A（2，3），B（－4，5）两点的距离相等，求直线L的方程。（[endnoteRef:28]） [28: 答案：交点（－1，2），，； ]
过点(1，2)且与原点距离最大的直线方程为( [endnoteRef:29] )
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0 C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0 [29: 答案：A；
[解析] 由已知得，所求直线过(1，2)且垂直于(0，0)与(1，2)两点的连线，
∴所求直线的斜率k＝－，
∴y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
]
已知△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，C点在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求出点C坐标．[endnoteRef:30] [30: 答案：C点坐标为或；
解：由题得：．
，（为点到直线的距离）．
设点坐标为，的方程为，即．
由，
解得或．
C点坐标为或．
]
已知直线L过点P(3，1)且被两平行直线L1：x＋y＋1＝0，L2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线L的方程．[endnoteRef:31] [31: 答案：x＝3或y＝1；
解 设直线l与直线l1，l2分别相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0，
两式相减，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5①
又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25 ②
联立①②可得
或，
由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，
故所求的直线方程为x＝3或y＝1.]
已知直线L1与L2的方程分别为7x＋8y＋9＝0，7x＋8y－3＝0.直线L平行于L1，直线L与L1的距离为d1，与L2的距离为d2，且d1∶d2＝1∶2，求直线L的方程．[endnoteRef:32] [32: 答案：7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0；
解 因为直线l平行l1，设直线l的方程为7x＋8y＋C＝0，则d1＝，d2＝.
又2d1＝d2，∴2|C－9|＝|C＋3|.
解得C＝21或C＝5.
故所求直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.]
《直线方程》专题8-4 距离公式（中下）
一条直线被直线L1：4x＋y＋6＝0和L2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程．[endnoteRef:33] [33: 答案：y＝－x；
解 设所求直线与直线l1交于A(x0，y0)，它关于原点的对称点为B(－x0，－y0)，且B在直线l2上，
由
解得
∴所求直线方程为y＝x＝－x，
即x＋6y＝0．
]
（1）已知A(－3，4)，，在x轴上找一点P，使 |PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
（2）已知点M(x，－4)与N(2，3)间的距离为，求x的值．[endnoteRef:34] [34: 答案：，或；
解（1）设点为，则有
，
．
由得，解得．
即所求点为且．
（2）由，又，
得，解得或，故所求值为或．
]
△ABC的三个顶点是A(－1，4)，B(－2，－1)，C(2，3)．
(1)求BC边的高所在直线方程；
(2)求△ABC的面积S．[endnoteRef:35] [35: 答案：x＋y－3＝0，S△ABC＝8；
解 (1)设BC边的高所在直线为l，
由题知kBC＝＝1，则kl＝＝－1，
又点A(－1，4)在直线l上，
所以直线l的方程为y－4＝－1×(x＋1)，即x＋y－3＝0．
(2)BC所在直线方程为：y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，
点A(－1，4)到BC的距离
d＝＝2，又|BC|＝＝4
则S△ABC＝·|BC|·d＝×4×2＝8．]
已知两点A（3，2）和B（－1，4）到直线mx＋y＋3＝0距离相等，则m值为（ [endnoteRef:36] ） [36: 答案：，－6；]
在直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是( [endnoteRef:37] )
A．(5，－3) B．(9，0) C．(－3，5) D．(－5，3) [37: 答案：A；
[当PQ与已知直线垂直时，垂足Q即为所求．]]
直线L经过P（2，－5），且与点A(3，－2)和B(－1，6)的距离之比为1：2，求直线L的方程．[endnoteRef:38] [38: 答案：或；
解：由题知，直线的斜率存在．
设斜率为，直线过点，
直线方程为，即．
记点到直线的距离为．
记点到直线的距离为．
又，，化简得：，
解得，，所求直线为：或．
]
直线L1：2x＋4y＋1＝0与直线L2：2x＋4y＋3＝0平行，点P是平面直角坐标系内任一点，P到直线L1和L2的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最小值是____[endnoteRef:39]____． [39: 答案：；
[解析] l1与l2的距离d＝＝，则d1＋d2≥d＝，即d1＋d2的最小值是.]
两平行直线L1，L2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则L1，L2之间的距离的取值范围是( [endnoteRef:40] )
A．(0，＋∞) B．[0，5] C．(0，5] D．[0，] [40: 答案：C；
[当这两条直线l1，l2与直线PQ垂直时，d达到最大值，此时d＝＝5．∴0＜d≤5．]]