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1.5全称量词与存在量词——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷（新人教2019版必修第一册）
一、单选题
1．（2022高二下·南充期末）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2022高二下·临渭期末）命题“”的否定形式是（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．（2022·潍坊二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
4．（2022·厦门模拟）已知集合M，N满足，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高二下·罗山期中）已知命题，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2022·青岛模拟）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高一下·盐田月考）下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“”是全称量词命题；③命题“”的否定为“”；④命题“是的必要条件”是真命题；
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2022·黄山模拟）命题：，为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2021高一上·兰山期中）已知命题 ， ，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021高三上·茂名月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．
B． 是 的必要不充分条件
C．集合 与集合 表示同一集合
D．设全集为R，若 ，则
11．（2021高一上·重庆月考）下列命题是真命题的是（ ）
A．命题“，使得”的否定是“，均有”
B．
C．“”是“”的必要不充分条件
D．如果，那么
12．（2021高一上·张家口期中）下列命题是真命题的有（ ）
A．“至少有一个 ，使 成立”是全称量词命题
B．命题“ ”的否定是“ ”
C．“ ”是“ ”的必要不充分条件
D．“ ”是“ ”的充分不必要条件
三、填空题
13．（2022·晋中模拟）命题 ： ， ，则 为 .
14．（2022·宁乡模拟）命题“ ， ”的否定是 .
15．（2021高一上·兰州期末）命题“，使”是真命题，则的取值范围是 ．
16．（2022·聊城模拟）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 .
四、解答题
17．（2020高一上·重庆期中）已知命题“ ，不等式 ”成立是假命题.
（1）求实数 的取值集合 ；
（2）若 是集合 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
18．（2019高二上·阜阳月考）设 ， ，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
19．（2015高二上·黄石期末）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：x2+2x﹣8＞0，且￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
20．（2019高一上·泉港月考）已知命题p： ，q： ≤0.
（1）若p是 q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若 q是 p的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
21．（2016高二上·平原期中）已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+a+3=0有实数根，命题q：m﹣1≤a≤m+1．
（Ⅰ） 若￢p是真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题为全称命题“，”，则命题的否定为，，
故答案为：D．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题可得答案.
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“”的否定是：或，
故答案为：D．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，可得答案.
3．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；
故只有D满足题意；
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题互为否定的关系，进而写出费马大定理的否定。
4．【答案】C
【知识点】集合的包含关系判断及应用；全称量词命题；存在量词命题
【解析】【解答】解：因为集合M，N满足，
所以根据交集的定义可得，
故答案为：C.
【分析】根据题意由已知条件结合集合之间的运算关系，由元素与集合之间的关系，即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】命题为全称命题，该命题的否定为，，
故答案为：D.
【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解。
6．【答案】B
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】依题意命题“，”为真命题，
当时，成立，
当时，成立，
当时，函数开口向下，不恒成立.
综上所述，.
故答案为：B
【分析】分，，讨论，求出a的取值范围即可.
7．【答案】C
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题，则，故③错误；
对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；
所以正确的命题为②④，
故答案为：C
【分析】 根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题否定的求法，分析选项，即可得答案.
8．【答案】B
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】命题”为假命题，命题“，”为真命题，
当时，成立，
当时，，故方程的解得：，
故的取值范围是：，要满足题意，则选项是集合真子集，B满足题意.
故答案为：B
【分析】原命题若为假命题，则其否定必为真，即恒成立，由二次函数的图象和性质，解不等式可得答案。
9．【答案】B,D
【知识点】存在量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】命题 ， ，
所以 解得 或 .
即命题 的等价条件是 ，
命题 成立的一个充分不必要条件是 的真子集，
所以BD选项符合，AC选项不符合.
故答案为：BD
【分析】由特称命题的定义结合二次函数的图象和性质，即可求出a的取值范围，再由充分和必要条件的定义即可得出答案。
10．【答案】A,B,D
【知识点】集合的包含关系判断及应用；集合的相等；补集及其运算；存在量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】A项是特称命题，是真命题，故正确；B项中 推不出 ，反之若 可以得到 ，是必要不充分条件，故正确；C项中第一个集合是点集，第二个集合是数集，这两个集合不可能是同一个集合，故不正确；D项中若A是B的子集，由韦恩图可知B的补集是A的补集的子集，故正确.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合特称命题的真假性判断方法，再利用充分条件、必要条件的判断方法，同一集合的判断方法，集合间的关系与补集的运算法则，从而找出真命题的选项。
11．【答案】B,C,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于A，命题“，使得”的否定是“，
均有”，所以，A错误；
对于B，，，所以，B正确；
对于C，，所以，“”不一定能得到“”，
充分性不成立，而“”成立，则“”成立，所以，必要性成立，C正确；
对于D，如果，则，所以，，所以，D正确；
故答案为：BCD
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，结合已知条件求出结果由此判断出选项A错误；整理化简代数式然后由二次函数的图象和性质即可求出结果，从而即可判断出选项B正确；由一元二次方程求接触方程的解，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案从而即可平常选项C正确；由不等式的简单性质即可判断出选项D正确，由此即可得出答案。
12．【答案】B,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于A，“至少有一个 ，使 成立”为特称命题（存在性量词命题），
A不符合题意.
对于B，命题“ ”的否定是“ ”，B符合题意.
对于C，当 时， ，
故“ ”可以推出“ ”，“ ”可以推出“ ”，
故此时“ ”是“ ”的充要条件，C不符合题意.
对于D，“ ”能推出“ ”，
取 ，则 ，而 不成立，故“ ”推不出“ ”，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件，
D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】根据题意由全称命题、否命题的定义结合题意即可判断出选项A错误，B正确；由交集的定义结合集合与元素之间的关系，由充分和必要条件的定义即可判断出选项C错误；由不等式的简单性质结合充分和必要条件的定义即可判断出选项D正确，由此即可得出答案。
13．【答案】 ，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题 ： ， . 则 为： ，
故答案为： ，
【分析】根据全称命题的否定为特称命题，可得出答案.
14．【答案】 ，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“ ”的否定是“ ， ”。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题互为否定的关系，进而写出命题“ ， ”的否定。
15．【答案】{a｜a≤1}
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】因为命题“，使”是真命题，
所以，恒成立，即恒成立，
因为当时，，所以，的取值范围是{a|a≤1}，
故答案为：{a|a≤1}.
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，结合题意即可得出答案。
16．【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】由题意可知，命题“，”为真命题.
①当时，可得.
若，则有，合乎题意；
若，则有，解得，不合乎题意；
②若，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分析可知命题“，”为真命题，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.
17．【答案】（1）解：因为命题“ ，不等式 ”成立是假命题，
所以命题的否定“ ，不等式 ”成立是真命题，
即 ，解得 ，集合 .
（2）解：因为 ，即 ，
所以 ，
因为 是集合 的充要不必要条件，
所以令集合 ，集合 是集合 的真子集，
即 ，解得 ，实数 的取值范围是 .
【知识点】全称量词命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】(1)由全称命题的否定是特称命题对命题进行分析进而得到m的取值范围。
(2)由充分不必要条件的定义结合子集的定义即可得出a的取值范围。
18．【答案】解：由 得 ，解得 ，
设 ．
由 得 ，解得 ，
设 ．
∵ 是 的必要不充分条件，
∴ 是 的必要不充分条件，
∴ ，即 ，
∴ ，解得 .
∴实数 的取值范围为
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】利用命题p中分式不等式求解集的方法求出命题p中x的取值范围，从而求出命题p的否定中x的取值范围，再利用一元二次不等式求解集的方法求出命题q中x的取值范围，从而求出命题q的否定中x的取值范围，再利用充分和必要条件的判断方法，结合已知条件 是 的必要不充分条件，从而求出 是 的必要不充分条件，用集合间的包含关系结合数轴，从而求出实数 的取值范围。
19．【答案】解：∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴p是q的充分不要条件．
设A={x|x2﹣4ax+3a2＜0}={x|3a＜x＜a，a＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|x＜﹣4，或x＞2}，由题意可得 A B．
当a＜0时，可得 a≤﹣4．
当a＞0时，可得 a≥2．
当a=0时，A= ，满足A B．
综上可得，实数a的取值范围为{a|a≤﹣4，或 a≥2，或 a=0}
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】由题意可得 p是q的充分不要条件，设A={x|x2﹣4ax+3a2＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，分当a＜0、当a＞0、当a=0三种情况，分别求得实数a的取值范围，再取并集，
即得所求．
20．【答案】（1）解：由 |解得－2≤x≤10,所以命题p：－2≤x≤10.设满足条件p的元素构成的集合为A,则A＝{x|－2≤x≤10}
由 ≤0,得 ≤x≤ ,所以命题q： ≤x≤ .
设满足条件q的元素构成的集合为B,
则B＝ .
命题 q：x< 或x> .
设满足条件 q的元素构成的集合为C,
则C＝ .
因为p是 q的充分而不必要条件,所以A C,
所以 >10或 <－2,解得m＞21或m＜－8.
所以实数m的取值范围为(－∞,－8)∪(21,＋∞)．
（2）解：(法一)命题 p：x<－2或x>10.
设满足条件 p的元素构成的集合为D,
则D＝{x|x<－2或x>10}．
因为 q是 p的必要而不充分条件,所以D C,
所以 或
解得－3≤m≤16.
所以实数m的取值范围为[－3,16]．
(法二)因为 q是 p的必要而不充分条件,
所以p是q的必要而不充分条件,所以B A,
所以 或
解得－3≤m≤16.
所以实数m的取值范围为[－3,16]．
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】分别解出 的解集,再根据“p是 q的充分而不必要条件”与“ q是 p的必要而不充分条件”列出解集的区间端点满足的不等式再求解即可.
21．【答案】解：法一：（Ⅰ） 当命题p是真命题时，满足△≥0
则a2﹣4（a+3）≥0，
解得 a≤﹣2或a≥6；
∵￢p是真命题，则p是假命题
即﹣2＜a＜6，
∴实数a的取值范围是（﹣2，6）．
（Ⅱ）∵p是q的必要非充分条件，
则[m﹣1，m+1] （﹣∞，﹣2]∪[6，+∞，
即m+1≤﹣2或m﹣1≥6，
解得 m≤﹣3或m≥7，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[7，+∞）．
法二：（Ⅰ） 命题 p：关于x的方程x2﹣ax+a+3=0没有实数根
∵￢p是真命题，则满足△＜0
即 a2﹣4（a+3）＜0
解得﹣2＜a＜6
∴实数a的取值范围是（﹣2，6）．
（Ⅱ） 由 （Ⅰ）可得 当命题p是真命题时，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞，
∵p是q的必要非充分条件，
则[m﹣1，m+1]是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）的真子集
即 m+1≤﹣2或m﹣1≥6
解得 m≤﹣3或m≥7，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[7，+∞）．
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（Ⅰ）根据命题的否定是真命题，进行转化求解即可．（Ⅱ）根据充分条件和必要条件的定义和关系建立不等式关系进行求解即可．
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1.5全称量词与存在量词——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷（新人教2019版必修第一册）
一、单选题
1．（2022高二下·南充期末）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题为全称命题“，”，则命题的否定为，，
故答案为：D．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题可得答案.
2．（2022高二下·临渭期末）命题“”的否定形式是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“”的否定是：或，
故答案为：D．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，可得答案.
3．（2022·潍坊二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；
故只有D满足题意；
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题互为否定的关系，进而写出费马大定理的否定。
4．（2022·厦门模拟）已知集合M，N满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】集合的包含关系判断及应用；全称量词命题；存在量词命题
【解析】【解答】解：因为集合M，N满足，
所以根据交集的定义可得，
故答案为：C.
【分析】根据题意由已知条件结合集合之间的运算关系，由元素与集合之间的关系，即可得出答案。
5．（2022高二下·罗山期中）已知命题，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】命题为全称命题，该命题的否定为，，
故答案为：D.
【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解。
6．（2022·青岛模拟）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】依题意命题“，”为真命题，
当时，成立，
当时，成立，
当时，函数开口向下，不恒成立.
综上所述，.
故答案为：B
【分析】分，，讨论，求出a的取值范围即可.
7．（2022高一下·盐田月考）下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“”是全称量词命题；③命题“”的否定为“”；④命题“是的必要条件”是真命题；
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题，则，故③错误；
对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；
所以正确的命题为②④，
故答案为：C
【分析】 根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题否定的求法，分析选项，即可得答案.
8．（2022·黄山模拟）命题：，为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】命题”为假命题，命题“，”为真命题，
当时，成立，
当时，，故方程的解得：，
故的取值范围是：，要满足题意，则选项是集合真子集，B满足题意.
故答案为：B
【分析】原命题若为假命题，则其否定必为真，即恒成立，由二次函数的图象和性质，解不等式可得答案。
二、多选题
9．（2021高一上·兰山期中）已知命题 ， ，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】存在量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】命题 ， ，
所以 解得 或 .
即命题 的等价条件是 ，
命题 成立的一个充分不必要条件是 的真子集，
所以BD选项符合，AC选项不符合.
故答案为：BD
【分析】由特称命题的定义结合二次函数的图象和性质，即可求出a的取值范围，再由充分和必要条件的定义即可得出答案。
10．（2021高三上·茂名月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．
B． 是 的必要不充分条件
C．集合 与集合 表示同一集合
D．设全集为R，若 ，则
【答案】A,B,D
【知识点】集合的包含关系判断及应用；集合的相等；补集及其运算；存在量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】A项是特称命题，是真命题，故正确；B项中 推不出 ，反之若 可以得到 ，是必要不充分条件，故正确；C项中第一个集合是点集，第二个集合是数集，这两个集合不可能是同一个集合，故不正确；D项中若A是B的子集，由韦恩图可知B的补集是A的补集的子集，故正确.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合特称命题的真假性判断方法，再利用充分条件、必要条件的判断方法，同一集合的判断方法，集合间的关系与补集的运算法则，从而找出真命题的选项。
11．（2021高一上·重庆月考）下列命题是真命题的是（ ）
A．命题“，使得”的否定是“，均有”
B．
C．“”是“”的必要不充分条件
D．如果，那么
【答案】B,C,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于A，命题“，使得”的否定是“，
均有”，所以，A错误；
对于B，，，所以，B正确；
对于C，，所以，“”不一定能得到“”，
充分性不成立，而“”成立，则“”成立，所以，必要性成立，C正确；
对于D，如果，则，所以，，所以，D正确；
故答案为：BCD
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，结合已知条件求出结果由此判断出选项A错误；整理化简代数式然后由二次函数的图象和性质即可求出结果，从而即可判断出选项B正确；由一元二次方程求接触方程的解，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案从而即可平常选项C正确；由不等式的简单性质即可判断出选项D正确，由此即可得出答案。
12．（2021高一上·张家口期中）下列命题是真命题的有（ ）
A．“至少有一个 ，使 成立”是全称量词命题
B．命题“ ”的否定是“ ”
C．“ ”是“ ”的必要不充分条件
D．“ ”是“ ”的充分不必要条件
【答案】B,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于A，“至少有一个 ，使 成立”为特称命题（存在性量词命题），
A不符合题意.
对于B，命题“ ”的否定是“ ”，B符合题意.
对于C，当 时， ，
故“ ”可以推出“ ”，“ ”可以推出“ ”，
故此时“ ”是“ ”的充要条件，C不符合题意.
对于D，“ ”能推出“ ”，
取 ，则 ，而 不成立，故“ ”推不出“ ”，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件，
D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】根据题意由全称命题、否命题的定义结合题意即可判断出选项A错误，B正确；由交集的定义结合集合与元素之间的关系，由充分和必要条件的定义即可判断出选项C错误；由不等式的简单性质结合充分和必要条件的定义即可判断出选项D正确，由此即可得出答案。
三、填空题
13．（2022·晋中模拟）命题 ： ， ，则 为 .
【答案】 ，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题 ： ， . 则 为： ，
故答案为： ，
【分析】根据全称命题的否定为特称命题，可得出答案.
14．（2022·宁乡模拟）命题“ ， ”的否定是 .
【答案】 ，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“ ”的否定是“ ， ”。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题互为否定的关系，进而写出命题“ ， ”的否定。
15．（2021高一上·兰州期末）命题“，使”是真命题，则的取值范围是 ．
【答案】{a｜a≤1}
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】因为命题“，使”是真命题，
所以，恒成立，即恒成立，
因为当时，，所以，的取值范围是{a|a≤1}，
故答案为：{a|a≤1}.
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，结合题意即可得出答案。
16．（2022·聊城模拟）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】由题意可知，命题“，”为真命题.
①当时，可得.
若，则有，合乎题意；
若，则有，解得，不合乎题意；
②若，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分析可知命题“，”为真命题，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.
四、解答题
17．（2020高一上·重庆期中）已知命题“ ，不等式 ”成立是假命题.
（1）求实数 的取值集合 ；
（2）若 是集合 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：因为命题“ ，不等式 ”成立是假命题，
所以命题的否定“ ，不等式 ”成立是真命题，
即 ，解得 ，集合 .
（2）解：因为 ，即 ，
所以 ，
因为 是集合 的充要不必要条件，
所以令集合 ，集合 是集合 的真子集，
即 ，解得 ，实数 的取值范围是 .
【知识点】全称量词命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】(1)由全称命题的否定是特称命题对命题进行分析进而得到m的取值范围。
(2)由充分不必要条件的定义结合子集的定义即可得出a的取值范围。
18．（2019高二上·阜阳月考）设 ， ，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】解：由 得 ，解得 ，
设 ．
由 得 ，解得 ，
设 ．
∵ 是 的必要不充分条件，
∴ 是 的必要不充分条件，
∴ ，即 ，
∴ ，解得 .
∴实数 的取值范围为
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】利用命题p中分式不等式求解集的方法求出命题p中x的取值范围，从而求出命题p的否定中x的取值范围，再利用一元二次不等式求解集的方法求出命题q中x的取值范围，从而求出命题q的否定中x的取值范围，再利用充分和必要条件的判断方法，结合已知条件 是 的必要不充分条件，从而求出 是 的必要不充分条件，用集合间的包含关系结合数轴，从而求出实数 的取值范围。
19．（2015高二上·黄石期末）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：x2+2x﹣8＞0，且￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】解：∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴p是q的充分不要条件．
设A={x|x2﹣4ax+3a2＜0}={x|3a＜x＜a，a＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|x＜﹣4，或x＞2}，由题意可得 A B．
当a＜0时，可得 a≤﹣4．
当a＞0时，可得 a≥2．
当a=0时，A= ，满足A B．
综上可得，实数a的取值范围为{a|a≤﹣4，或 a≥2，或 a=0}
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】由题意可得 p是q的充分不要条件，设A={x|x2﹣4ax+3a2＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，分当a＜0、当a＞0、当a=0三种情况，分别求得实数a的取值范围，再取并集，
即得所求．
20．（2019高一上·泉港月考）已知命题p： ，q： ≤0.
（1）若p是 q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若 q是 p的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：由 |解得－2≤x≤10,所以命题p：－2≤x≤10.设满足条件p的元素构成的集合为A,则A＝{x|－2≤x≤10}
由 ≤0,得 ≤x≤ ,所以命题q： ≤x≤ .
设满足条件q的元素构成的集合为B,
则B＝ .
命题 q：x< 或x> .
设满足条件 q的元素构成的集合为C,
则C＝ .
因为p是 q的充分而不必要条件,所以A C,
所以 >10或 <－2,解得m＞21或m＜－8.
所以实数m的取值范围为(－∞,－8)∪(21,＋∞)．
（2）解：(法一)命题 p：x<－2或x>10.
设满足条件 p的元素构成的集合为D,
则D＝{x|x<－2或x>10}．
因为 q是 p的必要而不充分条件,所以D C,
所以 或
解得－3≤m≤16.
所以实数m的取值范围为[－3,16]．
(法二)因为 q是 p的必要而不充分条件,
所以p是q的必要而不充分条件,所以B A,
所以 或
解得－3≤m≤16.
所以实数m的取值范围为[－3,16]．
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】分别解出 的解集,再根据“p是 q的充分而不必要条件”与“ q是 p的必要而不充分条件”列出解集的区间端点满足的不等式再求解即可.
21．（2016高二上·平原期中）已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+a+3=0有实数根，命题q：m﹣1≤a≤m+1．
（Ⅰ） 若￢p是真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】解：法一：（Ⅰ） 当命题p是真命题时，满足△≥0
则a2﹣4（a+3）≥0，
解得 a≤﹣2或a≥6；
∵￢p是真命题，则p是假命题
即﹣2＜a＜6，
∴实数a的取值范围是（﹣2，6）．
（Ⅱ）∵p是q的必要非充分条件，
则[m﹣1，m+1] （﹣∞，﹣2]∪[6，+∞，
即m+1≤﹣2或m﹣1≥6，
解得 m≤﹣3或m≥7，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[7，+∞）．
法二：（Ⅰ） 命题 p：关于x的方程x2﹣ax+a+3=0没有实数根
∵￢p是真命题，则满足△＜0
即 a2﹣4（a+3）＜0
解得﹣2＜a＜6
∴实数a的取值范围是（﹣2，6）．
（Ⅱ） 由 （Ⅰ）可得 当命题p是真命题时，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞，
∵p是q的必要非充分条件，
则[m﹣1，m+1]是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）的真子集
即 m+1≤﹣2或m﹣1≥6
解得 m≤﹣3或m≥7，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[7，+∞）．
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（Ⅰ）根据命题的否定是真命题，进行转化求解即可．（Ⅱ）根据充分条件和必要条件的定义和关系建立不等式关系进行求解即可．
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