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2.1等式性质与不等式性质——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷（新人教2019版必修第一册）
一、单选题
1．（2022高一下·深圳期中）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式比较大小；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：当a>1时，，所以 成立，故充分性成立；
当时，，解得a<0或a>1，故必要性不成立；
综上可得， “ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B
【分析】由不等式的性质，结合作差法，以及分式不等式的求解，根据充分必要条件的判定，求解即可.
2．（2022高一下·嫩江月考）若m，n，p∈R，m>n，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．m2>n2
C．m|p|>n|p| D．m(p2＋2)>n(p2＋2)
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】解：当m=1，n=-1时， ，故AB错误；
当p=0时， m|p|=n|p|，C错误；
因为p∈R， 所以p2+2>0，所以m(p2+2)>n(p2+2)，故D正确.
故答案为：D.
【分析】运用特殊值法可判断ABC，利用不等式的性质可判断D.
3．（2022高一上·南山期末）若，则下列不等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】由，得，即，A不符合题意；
则，则，即，B不符合题意；
则，，所以，C符合题意；
则，所以，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】由，可得，结合不等式的性质，判断选项即可.
4．（2022高一上·宝安期末）设a，bR，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为，则，所以，即，A不符合题意；
因为，所以，则，
所以，即，
∴，，即，B不符合题意；
∵由，因为，所以，又因为，所以，即，C不符合题意；
由可得，，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质即可判断.
5．（2022·上海）已知 ，下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】解：对于A，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d对于B，因为 ，即a>b，c>d，则根据不等式的性质得 ，故B正确；
对于C， 令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad对于D，令a=-1，b=-2，c=-3，d=-4，则ac=3，bd=8，此时ac故答案为：B
【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解.
6．（2022·浙江模拟）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式比较大小
【解析】【解答】解：当a=-4，b=-3时，
a+|a|=b+|b|=0，满足a+|a|≥b+|b|，但a当a>b时，①若a>b>0，则|a|>|b|，则a+|a|≥b+|b|，
②若0>a>b，则a+|a|=b+|b|= 0，则a+|a|≥b+|b|，
③若a>0>b，则则a+|a|>0，
b+|b|=0，则a+|a|≥b+|b|，则必要性成立，
故a+|a|≥b+|b|是a≥b的必要不充分条件，
故选：B
【分析】利用特殊值法可判断充分性，利用不等式的性质，分a>b>0，0>a>b，a>0>b三种情况可判断必要性，从而可得结论.
7．（2021高二上·靖远期末）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．P，Q的大小关系不确定
【答案】A
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为，，则，所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合作差法，从而比较出P，Q的大小。
8．（2021高一上·肥城期中）已知 ，设 ， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为 ，
，
所以 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，进而比较出P，Q的大小。
二、多选题
9．（2020高一上·浙江月考）已知a，b，c满足 ，且 ，则下列不等式中恒成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵ac<0, a>c，∴a>0, c<0, b不能确定正负，
A、∵b>c，∴，符合题意；
B、∵a>b, ∴b-a<0，∴ , 符合题意；
C、∵a>b，但b的正负无法确定，∴a2和b2的大小无法确定，∴ 和的大小也无法确定，不符合题意；
D、∵a>0，c<0，∴ ，符合题意；
故答案为：ABD.
【分析】首先根据条件判断a、b、c的正负，再根据不等式的性质逐一分析选项，即可得出答案.
10．（2022高二下·湖州期末）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为，所以，，
所以，所以，A不正确；
，所以，B符合题意；
，C符合题意；
当，时，满足，但是，D不正确.
故答案为：BC
【分析】作差比较可知A不正确；BC正确；举特值可知D不正确.
11．（2022高一下·深圳期中）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，则
C． ，则
D．若 ，则
【答案】A,B,C
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】对于A，当a>b>0时， ，则，故A正确；
对于B，当a>b>0，m>0时， ，则 ，故B正确；
对于C，当a>b>0时， 则，则 ，故C正确；
对于D，当c=0时，不等式显然不成立.
故选：ABC
【分析】根据各选项中的条件，利用作差法，即可判断ABC，利用特殊值法即可判断D.
12．（2022高二下·罗山期中）已知实数x，y满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】由，，知，，A、C符合题意；
，故，B不符合题意；，故，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】由x，y的范围，结合不等式的性质，逐项判断即可。
三、填空题
13．（2021高三上·扬州月考）已知 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】 是 的充分不必要条件，
， .
故答案为： .
【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.
14．（2020高一上·古田月考）设 ， ， ，则a，b，c之间的大小关系为
【答案】c＞b＞a
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】 ， ， ，
。
故答案为：c＞b＞a。
【分析】利用作差法和与特殊值0大小关系比较方法，从而比较出a，b，c的大小。
15．（2019高二上·中山月考）如果a>b，给出下列不等式：
① ；②a3>b3；③ ；④2ac2>2bc2；⑤ >1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是 ．
【答案】②⑥
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】令 ， ，排除①， ，排除③选项， ，排除⑤.当 时，排除④.由于幂函数 为 上的递增函数，故 ，②是一定成立的.由于 ，故 .故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
【分析】对 分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.
16．（2019高一下·台州期末）已知突数 ，则 ， (用>，<填空).
【答案】<；<
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
，∴ ．
故答案为＜；＜．
【分析】用作差法比较大小．
四、解答题
17．（2021高一下·南充期末）比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小．
【答案】因为x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，
∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差法，从而比较出x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小。
18．已知 ， ，求证： .
【答案】 ，
因为 ， ，所以 ， ，
故 ，即证： .
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差法和不等式的基本性质，从而证出 成立。
19．比较大小：(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2.
【答案】解：(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－(x2＋12x＋36) ＝－1<0，
所以(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2.
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】将两式做差和0比较即可.
20．已知 试比较 与 的大小.
【答案】
， ， ， ，
，
即 .
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而比较出 与 的大小。
21．已知 ，求证： .
【答案】解：由题意
∴ 成立.
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而证出不等式 成立。
22．（2020高一上·浦东期末）设 、 为实数，比较 与 的值的大小.
【答案】解：由于 、 为实数，则 ，
当且仅当 时，等号成立.
因此， .
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】通过作差配方即可比较出大小关系。
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2.1等式性质与不等式性质——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷（新人教2019版必修第一册）
一、单选题
1．（2022高一下·深圳期中）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022高一下·嫩江月考）若m，n，p∈R，m>n，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．m2>n2
C．m|p|>n|p| D．m(p2＋2)>n(p2＋2)
3．（2022高一上·南山期末）若，则下列不等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高一上·宝安期末）设a，bR，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·上海）已知 ，下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江模拟）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2021高二上·靖远期末）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．P，Q的大小关系不确定
8．（2021高一上·肥城期中）已知 ，设 ， 则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高一上·浙江月考）已知a，b，c满足 ，且 ，则下列不等式中恒成立的有（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高二下·湖州期末）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高一下·深圳期中）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，则
C． ，则
D．若 ，则
12．（2022高二下·罗山期中）已知实数x，y满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2021高三上·扬州月考）已知 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 .
14．（2020高一上·古田月考）设 ， ， ，则a，b，c之间的大小关系为
15．（2019高二上·中山月考）如果a>b，给出下列不等式：
① ；②a3>b3；③ ；④2ac2>2bc2；⑤ >1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是 ．
16．（2019高一下·台州期末）已知突数 ，则 ， (用>，<填空).
四、解答题
17．（2021高一下·南充期末）比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小．
18．已知 ， ，求证： .
19．比较大小：(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2.
20．已知 试比较 与 的大小.
21．已知 ，求证： .
22．（2020高一上·浦东期末）设 、 为实数，比较 与 的值的大小.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式比较大小；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：当a>1时，，所以 成立，故充分性成立；
当时，，解得a<0或a>1，故必要性不成立；
综上可得， “ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B
【分析】由不等式的性质，结合作差法，以及分式不等式的求解，根据充分必要条件的判定，求解即可.
2．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】解：当m=1，n=-1时， ，故AB错误；
当p=0时， m|p|=n|p|，C错误；
因为p∈R， 所以p2+2>0，所以m(p2+2)>n(p2+2)，故D正确.
故答案为：D.
【分析】运用特殊值法可判断ABC，利用不等式的性质可判断D.
3．【答案】C
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】由，得，即，A不符合题意；
则，则，即，B不符合题意；
则，，所以，C符合题意；
则，所以，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】由，可得，结合不等式的性质，判断选项即可.
4．【答案】D
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为，则，所以，即，A不符合题意；
因为，所以，则，
所以，即，
∴，，即，B不符合题意；
∵由，因为，所以，又因为，所以，即，C不符合题意；
由可得，，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质即可判断.
5．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】解：对于A，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d对于B，因为 ，即a>b，c>d，则根据不等式的性质得 ，故B正确；
对于C， 令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad对于D，令a=-1，b=-2，c=-3，d=-4，则ac=3，bd=8，此时ac故答案为：B
【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式比较大小
【解析】【解答】解：当a=-4，b=-3时，
a+|a|=b+|b|=0，满足a+|a|≥b+|b|，但a当a>b时，①若a>b>0，则|a|>|b|，则a+|a|≥b+|b|，
②若0>a>b，则a+|a|=b+|b|= 0，则a+|a|≥b+|b|，
③若a>0>b，则则a+|a|>0，
b+|b|=0，则a+|a|≥b+|b|，则必要性成立，
故a+|a|≥b+|b|是a≥b的必要不充分条件，
故选：B
【分析】利用特殊值法可判断充分性，利用不等式的性质，分a>b>0，0>a>b，a>0>b三种情况可判断必要性，从而可得结论.
7．【答案】A
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为，，则，所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合作差法，从而比较出P，Q的大小。
8．【答案】A
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为 ，
，
所以 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，进而比较出P，Q的大小。
9．【答案】A,B,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵ac<0, a>c，∴a>0, c<0, b不能确定正负，
A、∵b>c，∴，符合题意；
B、∵a>b, ∴b-a<0，∴ , 符合题意；
C、∵a>b，但b的正负无法确定，∴a2和b2的大小无法确定，∴ 和的大小也无法确定，不符合题意；
D、∵a>0，c<0，∴ ，符合题意；
故答案为：ABD.
【分析】首先根据条件判断a、b、c的正负，再根据不等式的性质逐一分析选项，即可得出答案.
10．【答案】B,C
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为，所以，，
所以，所以，A不正确；
，所以，B符合题意；
，C符合题意；
当，时，满足，但是，D不正确.
故答案为：BC
【分析】作差比较可知A不正确；BC正确；举特值可知D不正确.
11．【答案】A,B,C
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】对于A，当a>b>0时， ，则，故A正确；
对于B，当a>b>0，m>0时， ，则 ，故B正确；
对于C，当a>b>0时， 则，则 ，故C正确；
对于D，当c=0时，不等式显然不成立.
故选：ABC
【分析】根据各选项中的条件，利用作差法，即可判断ABC，利用特殊值法即可判断D.
12．【答案】A,C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】由，，知，，A、C符合题意；
，故，B不符合题意；，故，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】由x，y的范围，结合不等式的性质，逐项判断即可。
13．【答案】
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】 是 的充分不必要条件，
， .
故答案为： .
【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.
14．【答案】c＞b＞a
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】 ， ， ，
。
故答案为：c＞b＞a。
【分析】利用作差法和与特殊值0大小关系比较方法，从而比较出a，b，c的大小。
15．【答案】②⑥
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】令 ， ，排除①， ，排除③选项， ，排除⑤.当 时，排除④.由于幂函数 为 上的递增函数，故 ，②是一定成立的.由于 ，故 .故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
【分析】对 分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.
16．【答案】<；<
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
，∴ ．
故答案为＜；＜．
【分析】用作差法比较大小．
17．【答案】因为x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，
∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差法，从而比较出x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小。
18．【答案】 ，
因为 ， ，所以 ， ，
故 ，即证： .
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差法和不等式的基本性质，从而证出 成立。
19．【答案】解：(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－(x2＋12x＋36) ＝－1<0，
所以(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2.
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】将两式做差和0比较即可.
20．【答案】
， ， ， ，
，
即 .
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而比较出 与 的大小。
21．【答案】解：由题意
∴ 成立.
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而证出不等式 成立。
22．【答案】解：由于 、 为实数，则 ，
当且仅当 时，等号成立.
因此， .
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】通过作差配方即可比较出大小关系。
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