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2.2基本不等式——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷(新人教2019版必修第一册)
一、单选题
1.(2022高二下·杭州期末)正实数a,b满足ab=1,则的最小值为( )
A.2 B.4 C.5 D.8
2.已知正实数、和实数满足,若存在最大值,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.(2022高二下·温州期末)若正数满足,则的最小值为( )
A.6 B. C. D.
4.(2022·保定模拟)已知a,,且,则a+2b的最大值为( )
A.2 B.3 C. D.
5.(2022·惠州模拟)函数有( )
A.最大值 B.最小值 C.最大值2 D.最小值2
6.(2022·红桥模拟)设,,若,则的最小值为( )
A. B.2 C. D.
7.(2022高一下·安康期中)若,,,则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
8.(2022·武汉模拟)已知正实数x,y,则“”是“”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、多选题
9.(2022·辽宁模拟)若,,则( )
A. B.
C.的最小值为 D.
10.(2022·新高考Ⅱ卷)对任意x,y, ,则( )
A. B. C. D.
11.(2022·福州模拟)若,则( )
A. B. C. D.
12.(2022·葫芦岛模拟)已知,,则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
13.(2022·吉林模拟)已知,则的最小值是 .
14.(2022·浙江模拟)已知正实数x,y满足:,则的最小值为 .
15.(2022·天津市模拟)已知正实数,满足,则的最小值为 .
16.(2022·南开模拟)已知,,,则的最小值为 .
四、解答题
17.(2021高二上·洛阳期中)如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为 ,宽为 .
(1)若菜园面积为 ,则 , 为何值时,可使所用篱笆总长最小?
(2)若使用的篱笆总长度为 ,求 的最小值.
18.(2022高一下·达州期末)
(1)已知,求的最小值;
(2)已知,且,证明:.
19.(2022高一下·湖北期中)已知集合.集合,设集合.
(1)求I;
(2)当时,求函数的最小值.
20.(2021高一上·广丰月考)
(1)已知 , , ,求 的最小值,及此时x、y的值;
(2)已知 , , ,求 的最小值,及此时x、y的值.
21.(2021高一上·电白期中)已知 .
(1)求 的最小值;
(2)求 的最小值.
22.(2021高一上·宁波期中)已知正实数 , 满足
(1) ,求 的最大值;
(2) 且 ,求 的最小值.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题意得:, ,故,
当且仅当时取等号,
故答案为:B
【分析】利用基本不等式,可直接求得答案.
2.【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为正实数、和实数满足,
当时,则,此时的最大值为;
当时,即当时,
,
可得,即,不合乎题意;
当时,即当时,
,
若存在最小值,则,可得,即时,
则,,此时存在最大值.
综上所述,若存在最大值,则的取值范围是.
故答案为:C.
【分析】 由已知结合基本不等式对t进行分类讨论,然后结合不等式的性质可求出 的取值范围 .
3.【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为正数满足,
所以,
所以
,
当且仅当,即时取等号,
故答案为:C
【分析】 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可求出 的最小值 .
4.【答案】C
【知识点】基本不等式;基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解:,
则,当且仅当时,“=”成立,
又a,,所以,当且仅当时,“=”成立,
所以a+2b的最大值为.
故答案为:C
【分析】由即可求解。
5.【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】(方法1),,则,当且仅当,即时,等号成立.
(方法2)令,,,.
将其代入,原函数可化为,当且仅当,即时等号成立,此时.
故答案为:D
【分析】根据空间直线与平面的位置关系判断.
6.【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解:因为,,且,所以,
所以
当且仅当,即,或时取等号;
故答案为:D
【分析】依题意可得,利用基本不等式计算可得.
7.【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A:∵,当且仅当时取等号,∴A不符合题意;
对于B: ,,∴B不符合题意;
对于C :,
因为∴C不符合题意;
对于D:∵,当且仅当时取等号,
∴,D符合题意。
故答案为:D
【分析】利用已知条件结合基本不等式求最值的方法,进而找出不等式恒成立的选项。
8.【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;基本不等式
【解析】【解答】,当且仅当等号成立,所以充分性成立,
当时,,此时,所以必要性不成立.
故答案为:B.
【分析】由,利用基本不等式,结合充分条件、必要条件的定义可得答案。
9.【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为,所以,又,所以,A符合题意;
因为,,则,,所以,B符合题意;
因为,所以,所以,
当且仅当时,等号成立,C不正确;
因为,则,所以,,
因为,所以,D符合题意.
故答案为:ABD.
【分析】根据题意首先整理化简原式,再由基本不等式即可求出代数式的最值,从而对选项逐一判断即可得出答案。
10.【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】根据 ( R), 可变形为, ,解得 ,当且仅当 时, ,当且仅当 时, ,所以A不符合题意,B符合题意;
可变形为 ,解得 ,当且仅当 时取等号,所以C符合题意;
因为 变形可得 ,设 ,所以 ,因此
,所以当 时满足等式,但是 不成立,所以D不符合题意.
故答案为:BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项.
11.【答案】A,B,D
【知识点】不等式比较大小;基本不等式
【解析】【解答】A.因为,所以,所以,则,故正确;
B. ,而,取不到等号,故正确;
C. 因为,所以,故错误;
D. 因为,所以,所以,故正确;
故答案为:ABD
【分析】A.利用不等式的基本性质判断;B.利用重要不等式判断;C.利用基本不等式的条件判断;D.利用作差法判断.
12.【答案】A,B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】,即,所以,
因为,所以由基本不等式得:,所以,
解得:,A符合题意;
,当且仅当时等号成立,B符合题意;
,
因为,所以,所以,C不符合题意;
,
因为,而可能比1大,可能比1小,所以符号不确定,所以D不符合题意,
故答案为:AB
【分析】 利用已知条件结合基本不等式变形推导,逐项进行判断,可得答案.
13.【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】,则,当且仅当,即时取“=”,
所以的最小值是6.
故答案为:6
【分析】首先整理化简原式,再由基本不等式即可求出最小值。
14.【答案】
【知识点】基本不等式;基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解:因为,
所以,
所以,
所以,
令,
则,
当且仅当即时取等号,
所以的最小值为.
故答案为:.
【分析】由已知条件变式可得从而令,再由,代入由基本不等式即可求解。
15.【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】;
(当且仅当时取等号),解得:;
在上单调递减,.
即的最小值为.
故答案为:.
【分析】 先变形得到 ,再利用基本不等式求最值即可.
16.【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由可得,
所以
,
当且仅当时等号成立,
所以的最小值为.
故答案为:.
【分析】 直接利用基本不等式的应用和关系式的变换的应用求出答案.
17.【答案】(1)解:由已知可得 ,而篱笆总长为 ;
又因为 ,
当且仅当 时,即 , 时等号成立.
所以菜园的长 为 ,宽 为 时,可使所用篱笆总长最小;
(2)解:由已知得 ,
所以
,
当且仅当 时取等号,即 时等号成立.
所以 的最小值是 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)由已知条件整理化简结合,基本不等式即可求出面积的最小值。
(2)首先整理化简原式,再由基本不等式即可求出代数式的最小值。
18.【答案】(1)解:因为,所以,则,
当且仅当,即时,等号成立.所以最小值8
(2)证明:因为,得.
则.
所以成立,当且仅当,时等号成立,
所以.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】(1)根据题意和基本不等式求出 的最小值;
(2)由,结合基本不等式即可证得 .
19.【答案】(1)解:∵,,
∴或,
(2)解:当时,,
∴,
当且仅当,即取等号,
所以函数的最小值为7.
【知识点】交、并、补集的混合运算;基本不等式
【解析】【分析】(1)化简集合,然后利用补集的定义及交集的定义运算即得;
(2)利用基本不等式即得.
20.【答案】(1)解:因为 ,即 .所以 ,当且仅当 , ,即 , 时取等号.所以 的最小值为18,此时 ,
(2)解:因为 ,所以 ,当且仅当 , ,即 , 时取等号.所以 的最小值为64,此时 ,
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】 (1)由 ,变形得 ,利用“乘1法”和基本不等式即可求出 的最小值及此时x、y的值;
(2)利用基本不等式构建不等式即可求出 的最小值及此时x、y的值.
21.【答案】(1)因为 ,所以 ,当且仅当 ,即 时取等号,从而 ,即 的最小值为8.
(2) ,
当且仅当 ,即 时取等号,从而 最小值为8.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合均值不等式求最值的方法,从而求出ab的最小值。
(2)利用已知条件结合均值不等式求最值的方法,从而求出 的最小值。
22.【答案】(1)由 ,则有 ( 时等号成立),
即 ,所以 ,所以 的最大值为 .
(2)由 ,有 ,
因为 ,且 , 均为正实数,所以 ,
从而
,
当且仅当 时等号成立,
所以 的最小值为 .
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】(1)由基本不等式即可求出 的最大值;
(2)根据题意结合,基本不等式的性质分析得到,从而求得最小值.
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2.2基本不等式——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷(新人教2019版必修第一册)
一、单选题
1.(2022高二下·杭州期末)正实数a,b满足ab=1,则的最小值为( )
A.2 B.4 C.5 D.8
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题意得:, ,故,
当且仅当时取等号,
故答案为:B
【分析】利用基本不等式,可直接求得答案.
2.已知正实数、和实数满足,若存在最大值,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为正实数、和实数满足,
当时,则,此时的最大值为;
当时,即当时,
,
可得,即,不合乎题意;
当时,即当时,
,
若存在最小值,则,可得,即时,
则,,此时存在最大值.
综上所述,若存在最大值,则的取值范围是.
故答案为:C.
【分析】 由已知结合基本不等式对t进行分类讨论,然后结合不等式的性质可求出 的取值范围 .
3.(2022高二下·温州期末)若正数满足,则的最小值为( )
A.6 B. C. D.
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为正数满足,
所以,
所以
,
当且仅当,即时取等号,
故答案为:C
【分析】 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可求出 的最小值 .
4.(2022·保定模拟)已知a,,且,则a+2b的最大值为( )
A.2 B.3 C. D.
【答案】C
【知识点】基本不等式;基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解:,
则,当且仅当时,“=”成立,
又a,,所以,当且仅当时,“=”成立,
所以a+2b的最大值为.
故答案为:C
【分析】由即可求解。
5.(2022·惠州模拟)函数有( )
A.最大值 B.最小值 C.最大值2 D.最小值2
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】(方法1),,则,当且仅当,即时,等号成立.
(方法2)令,,,.
将其代入,原函数可化为,当且仅当,即时等号成立,此时.
故答案为:D
【分析】根据空间直线与平面的位置关系判断.
6.(2022·红桥模拟)设,,若,则的最小值为( )
A. B.2 C. D.
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解:因为,,且,所以,
所以
当且仅当,即,或时取等号;
故答案为:D
【分析】依题意可得,利用基本不等式计算可得.
7.(2022高一下·安康期中)若,,,则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A:∵,当且仅当时取等号,∴A不符合题意;
对于B: ,,∴B不符合题意;
对于C :,
因为∴C不符合题意;
对于D:∵,当且仅当时取等号,
∴,D符合题意。
故答案为:D
【分析】利用已知条件结合基本不等式求最值的方法,进而找出不等式恒成立的选项。
8.(2022·武汉模拟)已知正实数x,y,则“”是“”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;基本不等式
【解析】【解答】,当且仅当等号成立,所以充分性成立,
当时,,此时,所以必要性不成立.
故答案为:B.
【分析】由,利用基本不等式,结合充分条件、必要条件的定义可得答案。
二、多选题
9.(2022·辽宁模拟)若,,则( )
A. B.
C.的最小值为 D.
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为,所以,又,所以,A符合题意;
因为,,则,,所以,B符合题意;
因为,所以,所以,
当且仅当时,等号成立,C不正确;
因为,则,所以,,
因为,所以,D符合题意.
故答案为:ABD.
【分析】根据题意首先整理化简原式,再由基本不等式即可求出代数式的最值,从而对选项逐一判断即可得出答案。
10.(2022·新高考Ⅱ卷)对任意x,y, ,则( )
A. B. C. D.
【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】根据 ( R), 可变形为, ,解得 ,当且仅当 时, ,当且仅当 时, ,所以A不符合题意,B符合题意;
可变形为 ,解得 ,当且仅当 时取等号,所以C符合题意;
因为 变形可得 ,设 ,所以 ,因此
,所以当 时满足等式,但是 不成立,所以D不符合题意.
故答案为:BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项.
11.(2022·福州模拟)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A,B,D
【知识点】不等式比较大小;基本不等式
【解析】【解答】A.因为,所以,所以,则,故正确;
B. ,而,取不到等号,故正确;
C. 因为,所以,故错误;
D. 因为,所以,所以,故正确;
故答案为:ABD
【分析】A.利用不等式的基本性质判断;B.利用重要不等式判断;C.利用基本不等式的条件判断;D.利用作差法判断.
12.(2022·葫芦岛模拟)已知,,则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A,B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】,即,所以,
因为,所以由基本不等式得:,所以,
解得:,A符合题意;
,当且仅当时等号成立,B符合题意;
,
因为,所以,所以,C不符合题意;
,
因为,而可能比1大,可能比1小,所以符号不确定,所以D不符合题意,
故答案为:AB
【分析】 利用已知条件结合基本不等式变形推导,逐项进行判断,可得答案.
三、填空题
13.(2022·吉林模拟)已知,则的最小值是 .
【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】,则,当且仅当,即时取“=”,
所以的最小值是6.
故答案为:6
【分析】首先整理化简原式,再由基本不等式即可求出最小值。
14.(2022·浙江模拟)已知正实数x,y满足:,则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式;基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解:因为,
所以,
所以,
所以,
令,
则,
当且仅当即时取等号,
所以的最小值为.
故答案为:.
【分析】由已知条件变式可得从而令,再由,代入由基本不等式即可求解。
15.(2022·天津市模拟)已知正实数,满足,则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】;
(当且仅当时取等号),解得:;
在上单调递减,.
即的最小值为.
故答案为:.
【分析】 先变形得到 ,再利用基本不等式求最值即可.
16.(2022·南开模拟)已知,,,则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由可得,
所以
,
当且仅当时等号成立,
所以的最小值为.
故答案为:.
【分析】 直接利用基本不等式的应用和关系式的变换的应用求出答案.
四、解答题
17.(2021高二上·洛阳期中)如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为 ,宽为 .
(1)若菜园面积为 ,则 , 为何值时,可使所用篱笆总长最小?
(2)若使用的篱笆总长度为 ,求 的最小值.
【答案】(1)解:由已知可得 ,而篱笆总长为 ;
又因为 ,
当且仅当 时,即 , 时等号成立.
所以菜园的长 为 ,宽 为 时,可使所用篱笆总长最小;
(2)解:由已知得 ,
所以
,
当且仅当 时取等号,即 时等号成立.
所以 的最小值是 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)由已知条件整理化简结合,基本不等式即可求出面积的最小值。
(2)首先整理化简原式,再由基本不等式即可求出代数式的最小值。
18.(2022高一下·达州期末)
(1)已知,求的最小值;
(2)已知,且,证明:.
【答案】(1)解:因为,所以,则,
当且仅当,即时,等号成立.所以最小值8
(2)证明:因为,得.
则.
所以成立,当且仅当,时等号成立,
所以.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】(1)根据题意和基本不等式求出 的最小值;
(2)由,结合基本不等式即可证得 .
19.(2022高一下·湖北期中)已知集合.集合,设集合.
(1)求I;
(2)当时,求函数的最小值.
【答案】(1)解:∵,,
∴或,
(2)解:当时,,
∴,
当且仅当,即取等号,
所以函数的最小值为7.
【知识点】交、并、补集的混合运算;基本不等式
【解析】【分析】(1)化简集合,然后利用补集的定义及交集的定义运算即得;
(2)利用基本不等式即得.
20.(2021高一上·广丰月考)
(1)已知 , , ,求 的最小值,及此时x、y的值;
(2)已知 , , ,求 的最小值,及此时x、y的值.
【答案】(1)解:因为 ,即 .所以 ,当且仅当 , ,即 , 时取等号.所以 的最小值为18,此时 ,
(2)解:因为 ,所以 ,当且仅当 , ,即 , 时取等号.所以 的最小值为64,此时 ,
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】 (1)由 ,变形得 ,利用“乘1法”和基本不等式即可求出 的最小值及此时x、y的值;
(2)利用基本不等式构建不等式即可求出 的最小值及此时x、y的值.
21.(2021高一上·电白期中)已知 .
(1)求 的最小值;
(2)求 的最小值.
【答案】(1)因为 ,所以 ,当且仅当 ,即 时取等号,从而 ,即 的最小值为8.
(2) ,
当且仅当 ,即 时取等号,从而 最小值为8.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合均值不等式求最值的方法,从而求出ab的最小值。
(2)利用已知条件结合均值不等式求最值的方法,从而求出 的最小值。
22.(2021高一上·宁波期中)已知正实数 , 满足
(1) ,求 的最大值;
(2) 且 ,求 的最小值.
【答案】(1)由 ,则有 ( 时等号成立),
即 ,所以 ,所以 的最大值为 .
(2)由 ,有 ,
因为 ,且 , 均为正实数,所以 ,
从而
,
当且仅当 时等号成立,
所以 的最小值为 .
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】(1)由基本不等式即可求出 的最大值;
(2)根据题意结合,基本不等式的性质分析得到,从而求得最小值.
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