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高中数学人教A版（2019）必修一 第一章 第一节 集合的定义（基础）
一、单选题
1．（2021高一上·福清期中）若，则a的值为（ ）
A．-1或1或2 B．-1或1 C．-1或2 D．2
【答案】D
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】因为，
所以或3或，
当时，即，此时集合中元素为1，3，1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，即，此时集合中元素为1，3，1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1，3，4，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据元素与集合的关系列出方程，求解，结合集合中元素的互异性检验，即可得出答案。
2．（2021高一上·郑州期中）下列四个结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】① ，正确；
② ，因为 ，所以错误；
③ ，正确；
④ ，因为 表示集合中有一个元素，是“0”，但是 表示集合中一个元素也没有，所以错误.
故答案为：B
【分析】利用已知条件，结合集合与集合关系，元素与集合的关系即可判断。
3．（2021高一上·迁安期中）已知集合 ，则下列表述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用；集合的相等
【解析】【解答】由已知 ，ABD关系符号全错，只有C符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件将集合A化简，判断即可.
4．（2021高一上·邯郸期中）已知集合 ，则M中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】集合 ，
M中只有1个元素.
故答案为：A
【分析】利用已知条件，将集合中的元素一一列举.
5．（2021高一上·薛城期中）已知集合 ， ，则（ ）
A． B．A B C．B A D．
【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】根据集合真子集的定义得：对任意的 ，均有 ，存在 ，使得 ，故B A.
故答案为：C.
【分析】由元素与集合之间的关系，结合已知条件即可得出答案。
6．（2021高一上·滨湖期中）集合 中的元素个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】 ， 中的元素个数为3.
故答案为：C.
【分析】根据题意由集合的元素的性质，求解出x的取值，由此即可得出答案。
7．（2021高一上·龙江期中）已知集合 ， ，则 与集合 的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
故答案为：A
【分析】由已知条件结合元素与集合之间的关系即可得出答案。
8．（2021高一上·丰台期中）下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】易得 ， ， ， ，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】 由元素与集合、集合与集合间的关系直接判断即可.
9．（2021高一上·温州期中）设集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】由 可知 ，D符合题意，A项表示不正确， ，ABC不符合题意.
故答案为：D
【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系，逐项进行判断可得答案。
10．（2021高一上·浙江期中）若 ，则 的可能值为（ ）
A．0，2 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2
【答案】A
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】因为 ，
当 时，集合为 ，不成立；
当 时，集合为 ，成立；
当 时，则 （舍去）或 ，当 时，集合为 ，成立；
∴ 或 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，从而利用元素的互异性，从而求出实数x可能的值。
11．（2021高一上·沈阳月考）若 ，则t的值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．0或1或-1
【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】由题意， ，
⑴若 ，则集合为 ，集合中有两个相同的元素，不满足互异性，不成立；
⑵若 ，则 ，由（1） ，故 ，则集合为 ，成立；
⑶若 ，则 ，则集合为 ，集合中有两个相同的元素，不满足互异性，不成立；
综上所述： 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，从而结合分类讨论的方法，进而求出实数t的值。
12．（2021高一上·辽宁月考）下列关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】对于A，因为 是集合，集合与集合间的关系是包含关系，不是属于关系，所以A不符合题意，
对于B，因为 表示的是点集，所以 ，所以B不符合题意，
对于C，因为 是无理数，所以 ，所以C不符合题意，
对于D，因为0是自然数，所以 ，所以D符合题意。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，从而找出正确的选项。
13．（2021高一上·湖北月考）判断下列元素的全体是否能组成集合：①湖北省所有的好学校；②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；③ 的近似值；④不大于5的自然数（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】①湖北省所有的好学校，不具有确定性，不能构成集合；
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，可以构成集合；
③ 的近似值，不具有确定性，不能构成集合；
④不大于5的自然数时0，1，2，3，4，能构成集合.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合集合的定义和元素的确定性、互异性和无序性，从而找出能组成集合的序号选项。
14．（2021高一上·河池月考）设 为集合， 表示空集，则下列各选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】元素与集合关系的判断；空集的定义、性质及运算
【解析】【解答】对于A，空集是任何集合的子集，所以A符合题意；
对于B，当 时，错误，所以B不符合题意；
对于C，“ ”用于元素和集合的关系，而不是集合与集合的关系，所以C不符合题意；
对于D，∵ 表示以 作为元素的集合，∴ ，所以 D不符合题意.
故答案为：A
【分析】根据题意由空集的性质，结合集合之间的关系以及元素和集合之间的关系，对选项逐一判断即可得出答案。
15．（2020高一上·迁安期末）若 ，则 的可能值为（ ）
A．0 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2
【答案】C
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】因为 ，
当 时，集合为 ，不成立；
当 时，集合为 ，成立；
当 时，则 （舍去）或 ，
当 时，集合为 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，再结合元素得互异性，从而找出x的可能的值。
二、填空题
16．（2021高一上·信阳期中）已知集合，若，则实数 ．
【答案】
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】由题意，集合，且，
若时，可得，此时，不满足元素的互异性，舍去；
若时，解得或，
当时，可得集合，符合题意；
当时，不符合题意，（舍去），
综上可得：。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，再结合元素的互异性，从而求出实数m的值。
17．（2021高一上·龙江期中）若 ，则 ．
【答案】2
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】解：因为 ，所以 或 ．
当 时， ，不合题意；
当 时， 或-1（舍去），当 时， ，符合题意．
故答案为：2.
【分析】由元素与集合之间的关系，计算出a的取值，再由元素的互异性即可得出满足题意的a的取值。
18．（2021高一上·张家口期中）若集合 有且只有一个元素，则实数 的取值集合为 ．
【答案】
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】当 时，则有 ，合乎题意；
当 时，由题意可得 ，解得 .
综上所述，实数 的取值集合为 .
故答案为： .
【分析】由已知条件结合题意对a分情况讨论：当 时以及当 时，结合一元二次方程的性质，计算出a的取值即可。
19．（2021高一上·温州期中）已知集合 ，若 ，则实数 .
【答案】-1
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：由 ， ，
若 ，解得： ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不满足元素的互异性，故不符合题意；
所以实数 .
故答案为：-1.
【分析】利用元素与集合的关系及集合中元素的性质可得a的值。
20．（2021高一上·河南月考）已知集合 ，则 .
【答案】-1
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】若 ，则 不符合集合中元素的互异性，故 ，
所以 且 ，可得 .
故答案为：-1
【分析】由已知条件即可得出a的取值，再由元素的互异性即可求出满足题意的a的取值。
21．（2021高一上·湖北月考）已知集合 ，则 A（填 或 ）.
【答案】
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】 ，
∴ ，即 ，
∴ A。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而得出，进而结合元素与集合的关系，推出 A。
22．（2020高一上·上饶期末）已知集合A= ，若 ，则实数 的值是 .
【答案】
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】由题可知：集合 ，
所以 或 ，则 或
当 时， ，不符合集合元素的互异性，
当 时， ，符合题意
所以
故答案为：
【分析】 通过3是集合A的元素，直接利用 与 ，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可求出实数 的值。
三、解答题
23．（2021高一上·辽宁期中）已知关于 的不等式 的解集为 ．
（1） 时，求集合 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）由题设， ，解得 或 ，
∴ 或 .
（2）由题设知： ，解得 .
【知识点】元素与集合关系的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】(1)根据题意由一元二次不等式的解法，求解出不等式的解集从而得出集合M。
(2)根据题意由集合与元素之间的关系即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
24．已知集合 ，若A中至多只有一个元素，求a取值范围.
【答案】当 时， ，符合题意；
当 时，若集合A中至多只有一个元素，
则方程 无实数根或有两个相等实根，所以 即 ；
所以a取值范围为 或 .
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合一元二次方程求解集的方法，再结合分类讨论的方法，由A中至多只有一个元素， 从而结合判别式法求出实数a的取值范围。
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高中数学人教A版（2019）必修一 第一章 第一节 集合的定义（基础）
一、单选题
1．（2021高一上·福清期中）若，则a的值为（ ）
A．-1或1或2 B．-1或1 C．-1或2 D．2
2．（2021高一上·郑州期中）下列四个结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021高一上·迁安期中）已知集合 ，则下列表述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021高一上·邯郸期中）已知集合 ，则M中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
5．（2021高一上·薛城期中）已知集合 ， ，则（ ）
A． B．A B C．B A D．
6．（2021高一上·滨湖期中）集合 中的元素个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021高一上·龙江期中）已知集合 ， ，则 与集合 的关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021高一上·丰台期中）下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021高一上·温州期中）设集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021高一上·浙江期中）若 ，则 的可能值为（ ）
A．0，2 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2
11．（2021高一上·沈阳月考）若 ，则t的值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．0或1或-1
12．（2021高一上·辽宁月考）下列关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021高一上·湖北月考）判断下列元素的全体是否能组成集合：①湖北省所有的好学校；②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；③ 的近似值；④不大于5的自然数（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
14．（2021高一上·河池月考）设 为集合， 表示空集，则下列各选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2020高一上·迁安期末）若 ，则 的可能值为（ ）
A．0 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2
二、填空题
16．（2021高一上·信阳期中）已知集合，若，则实数 ．
17．（2021高一上·龙江期中）若 ，则 ．
18．（2021高一上·张家口期中）若集合 有且只有一个元素，则实数 的取值集合为 ．
19．（2021高一上·温州期中）已知集合 ，若 ，则实数 .
20．（2021高一上·河南月考）已知集合 ，则 .
21．（2021高一上·湖北月考）已知集合 ，则 A（填 或 ）.
22．（2020高一上·上饶期末）已知集合A= ，若 ，则实数 的值是 .
三、解答题
23．（2021高一上·辽宁期中）已知关于 的不等式 的解集为 ．
（1） 时，求集合 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
24．已知集合 ，若A中至多只有一个元素，求a取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】因为，
所以或3或，
当时，即，此时集合中元素为1，3，1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，即，此时集合中元素为1，3，1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1，3，4，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据元素与集合的关系列出方程，求解，结合集合中元素的互异性检验，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】① ，正确；
② ，因为 ，所以错误；
③ ，正确；
④ ，因为 表示集合中有一个元素，是“0”，但是 表示集合中一个元素也没有，所以错误.
故答案为：B
【分析】利用已知条件，结合集合与集合关系，元素与集合的关系即可判断。
3．【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用；集合的相等
【解析】【解答】由已知 ，ABD关系符号全错，只有C符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件将集合A化简，判断即可.
4．【答案】A
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】集合 ，
M中只有1个元素.
故答案为：A
【分析】利用已知条件，将集合中的元素一一列举.
5．【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】根据集合真子集的定义得：对任意的 ，均有 ，存在 ，使得 ，故B A.
故答案为：C.
【分析】由元素与集合之间的关系，结合已知条件即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】 ， 中的元素个数为3.
故答案为：C.
【分析】根据题意由集合的元素的性质，求解出x的取值，由此即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
故答案为：A
【分析】由已知条件结合元素与集合之间的关系即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】易得 ， ， ， ，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】 由元素与集合、集合与集合间的关系直接判断即可.
9．【答案】D
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】由 可知 ，D符合题意，A项表示不正确， ，ABC不符合题意.
故答案为：D
【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系，逐项进行判断可得答案。
10．【答案】A
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】因为 ，
当 时，集合为 ，不成立；
当 时，集合为 ，成立；
当 时，则 （舍去）或 ，当 时，集合为 ，成立；
∴ 或 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，从而利用元素的互异性，从而求出实数x可能的值。
11．【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】由题意， ，
⑴若 ，则集合为 ，集合中有两个相同的元素，不满足互异性，不成立；
⑵若 ，则 ，由（1） ，故 ，则集合为 ，成立；
⑶若 ，则 ，则集合为 ，集合中有两个相同的元素，不满足互异性，不成立；
综上所述： 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，从而结合分类讨论的方法，进而求出实数t的值。
12．【答案】D
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】对于A，因为 是集合，集合与集合间的关系是包含关系，不是属于关系，所以A不符合题意，
对于B，因为 表示的是点集，所以 ，所以B不符合题意，
对于C，因为 是无理数，所以 ，所以C不符合题意，
对于D，因为0是自然数，所以 ，所以D符合题意。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，从而找出正确的选项。
13．【答案】C
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】①湖北省所有的好学校，不具有确定性，不能构成集合；
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，可以构成集合；
③ 的近似值，不具有确定性，不能构成集合；
④不大于5的自然数时0，1，2，3，4，能构成集合.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合集合的定义和元素的确定性、互异性和无序性，从而找出能组成集合的序号选项。
14．【答案】A
【知识点】元素与集合关系的判断；空集的定义、性质及运算
【解析】【解答】对于A，空集是任何集合的子集，所以A符合题意；
对于B，当 时，错误，所以B不符合题意；
对于C，“ ”用于元素和集合的关系，而不是集合与集合的关系，所以C不符合题意；
对于D，∵ 表示以 作为元素的集合，∴ ，所以 D不符合题意.
故答案为：A
【分析】根据题意由空集的性质，结合集合之间的关系以及元素和集合之间的关系，对选项逐一判断即可得出答案。
15．【答案】C
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】因为 ，
当 时，集合为 ，不成立；
当 时，集合为 ，成立；
当 时，则 （舍去）或 ，
当 时，集合为 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，再结合元素得互异性，从而找出x的可能的值。
16．【答案】
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】由题意，集合，且，
若时，可得，此时，不满足元素的互异性，舍去；
若时，解得或，
当时，可得集合，符合题意；
当时，不符合题意，（舍去），
综上可得：。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，再结合元素的互异性，从而求出实数m的值。
17．【答案】2
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】解：因为 ，所以 或 ．
当 时， ，不合题意；
当 时， 或-1（舍去），当 时， ，符合题意．
故答案为：2.
【分析】由元素与集合之间的关系，计算出a的取值，再由元素的互异性即可得出满足题意的a的取值。
18．【答案】
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】当 时，则有 ，合乎题意；
当 时，由题意可得 ，解得 .
综上所述，实数 的取值集合为 .
故答案为： .
【分析】由已知条件结合题意对a分情况讨论：当 时以及当 时，结合一元二次方程的性质，计算出a的取值即可。
19．【答案】-1
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：由 ， ，
若 ，解得： ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不满足元素的互异性，故不符合题意；
所以实数 .
故答案为：-1.
【分析】利用元素与集合的关系及集合中元素的性质可得a的值。
20．【答案】-1
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】若 ，则 不符合集合中元素的互异性，故 ，
所以 且 ，可得 .
故答案为：-1
【分析】由已知条件即可得出a的取值，再由元素的互异性即可求出满足题意的a的取值。
21．【答案】
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】 ，
∴ ，即 ，
∴ A。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而得出，进而结合元素与集合的关系，推出 A。
22．【答案】
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】由题可知：集合 ，
所以 或 ，则 或
当 时， ，不符合集合元素的互异性，
当 时， ，符合题意
所以
故答案为：
【分析】 通过3是集合A的元素，直接利用 与 ，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可求出实数 的值。
23．【答案】（1）由题设， ，解得 或 ，
∴ 或 .
（2）由题设知： ，解得 .
【知识点】元素与集合关系的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】(1)根据题意由一元二次不等式的解法，求解出不等式的解集从而得出集合M。
(2)根据题意由集合与元素之间的关系即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
24．【答案】当 时， ，符合题意；
当 时，若集合A中至多只有一个元素，
则方程 无实数根或有两个相等实根，所以 即 ；
所以a取值范围为 或 .
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合一元二次方程求解集的方法，再结合分类讨论的方法，由A中至多只有一个元素， 从而结合判别式法求出实数a的取值范围。
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