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高中数学人教A版（2019）必修一 第一章 第二节 集合之间的关系一（基础）
一、单选题
1．（2022高一下·盐城期末）设集合{是正四棱柱}，{是长方体}，{是正方体}，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】当正四棱柱的高与底面边长相等时，该正四棱柱为正方体；
当长方体底面为正方形时，该长方体为正四棱柱；.
故答案为：B.
【分析】 由正方体、正四棱柱和长方体的结构特征判断出包含关系即可得答案.
2．（2022·南平三模）设集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】由可得.
故答案为：D.
【分析】直接由求解即可.
3．（2022·渭滨模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】集合的包含关系判断及应用；集合的相等；空集的定义、性质及运算；交集及其运算
【解析】【解答】∵集合，，
∴。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而得出集合A，再利用交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
4．（2022·齐齐哈尔二模）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由题意，
因此其真子集个数为．
故答案为：D．
【分析】求出集合中的元素，再由子集的定义求解．
5．（2022·吉林模拟）已知集合，，，则实数a的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．{-1}
【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由题意得，，∵，，
∴实数a的取值集合为，
故答案为：C.
【分析】先求出集合A，根据子集的定义即可求出实数a的取值集合。
6．（2022·来宾模拟）已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】解：因为集合，
所以根据子集的定义可知，
故答案为：C.
【分析】根据题意由已知条件结合子集的定义，即可得出答案。
7．（2022高三上·潮州期末）已知集合，．若，则m等于（ ）
A．0 B．0或1 C．0或2 D．1或2
【答案】C
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】因为，，且，
所以或2.
故答案为：C.
【分析】利用子集的定义直接求解，即可得出答案。
8．（2021·吉林模拟）已知集合，则的真子集共有（ ）个
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由题设，，
∴的真子集共有个.
故答案为：A.
【分析】 先求出集合A中的元素，再求其真子集即可得答案。
9．（2021高一上·费县期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】集合的包含关系判断及应用；集合的相等
【解析】【解答】由，即，因为恒成立，所以解得，所以；由，即等价于，解得或，所以或，所以，所以；
故答案为：A
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出集合A，再利用分式不等式求解集的方法，从而求出集合B，再利用集合间的关系和补集的运算法则，从而找出正确的选项。
10．（2021高三上·六安月考）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值组成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】子集与真子集；空集的定义、性质及运算；一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得A={-2，1}，
又因为 ，.
所以当a=0时B= ，此时满足，所以 符合题意；
当a≠0时， ，
若，则 或 ，解得a=-1或a=，
综上所述：实数a的取值组成的集合是 ，
故选：D.
【分析】根据一元二次方程的解法，结合子集的定义以及空集的概念求解即可.
11．（2021高一上·怀仁期中）若集合 ，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】 ，
，A符合题意，B不符合题意； ，C不符合题意； ，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系、集合间的关系，从而找出关系式成立的选项。
12．（2021高一上·武汉期中）已知集合 ，那么 的子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】集合 ，集合 的子集共有 个.
故答案为：A
【分析】 根据集合的元素数目与子集个数的关系，而A有3个元素，计算可得答案.
13．（2021高一上·南阳期中）集合 的真子集的个数是（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】∵集合 ，
∴集合 ，则集合A的真子集的个数是 .
故答案为：D.
【分析】将集合A化简得到集合A中元素个数，再利用n元素集合其真子集个数为求解。
14．（2021高一上·薛城期中）已知集合 ， ，则（ ）
A． B．A B C．B A D．
【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】根据集合真子集的定义得：对任意的 ，均有 ，存在 ，使得 ，故B A.
故答案为：C.
【分析】由元素与集合之间的关系，结合已知条件即可得出答案。
15．（2021高二上·江川期中）在下列选项中，能正确表示集合 和 关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】子集与真子集；一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得B={0，3}，又 ，则.
故答案为：Ｂ
【分析】根据一元二次方程的解法，结合子集的定义求解即可．
二、多选题
16．（2021高一上·广西月考）已知集合，为自然数集，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】集合的含义；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】解：对A，集合，所以，A符合题意；
对B，集合，B符合题意；
对C，是集合的子集，所以，C符合题意；
对D，因为，故集合不包含于自然数集，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】由已知条件即可得出集合中的元素，再由集合与元素的关系，以及集合之间的关系，由此对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
17．（2022·上海市模拟）设集合，，若，则实数
【答案】0，2
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】集合，，若，则且，
所以或2，
故答案为：0，2
【分析】由，可得且，即可求解。
18．（2021高三上·西青期末）若集合，则集合的所有子集的个数是 .
【答案】16
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由题意，，逐个代入可得集合中
，故集合，一共有4个元素，故集合的所有子集的个数为。
故答案为16。
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，从而求出函数的值域，进而求出集合B，再利用子集的定义，进而求出集合的所有子集的个数。
19．（2021高一上·宁德期中）设集合，，若，则实数 .
【答案】-1
【知识点】集合的相等
【解析】【解答】∵，
∴，，
此时，满足题意，
∴。
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件结合集合相等的判断方法，从而求出实数a的值。
20．（2021高一上·潍坊期中）已知集合 ．若 ，则实数 ．
【答案】1
【知识点】集合的相等
【解析】【解答】由 ， ，可得 ， 。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合集合相等的判断方法，从而求出实数m的值。
21．（2021高一上·景德镇期中）集合 的非空子集个数为 .
【答案】15
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】因为
所以非空子集为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共15个，
故答案为：15
【分析】 先将集合用列举法表示，求出该集合中元素的个数，利用集合真子集的个数公式求出该集合的非空真子集个数.
22．（2021高一上·浙江期中）满足 的集合 的个数为 个.
【答案】8
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由题意，元素 ，元素 是否在集合 中分别有2种情况，
根据分步计数原理，有 种情况，
故集合 的个数为8个。
故答案为：8。
【分析】利用已知条件结合集合间的关系，从而利用分步乘法计数原理，进而找出满足要求的集合M的个数。
四、解答题
23．（2021高一上·重庆月考）已知集合．
（1）若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；
（2）若，且，求实数的取值集合．
【答案】（1）解：，，可能的集合为：，，，；
（2）解：当时，，满足；
当时，；若，则或或，
解得：或或；
综上所述：实数的取值集合为.
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可求出元素与集合的关系，由此计算出结果即可。
(2)由已知条件结合集合之间的关系，然后对a分情况讨论，计算出结果即可。
24．（2021高一上·河北期中）设集合 ， .
（1）若 ，试判断集合 与 的关系；
（2）若 ，求实数 的取值集合.
【答案】（1）当 时， ，
因为 ，
所以B A.
（2）因为集合 至多有一个元素，由 ，所以
当 时， ；
当 时，所以 ；
当 时，所以 .
所以 .
【知识点】集合的包含关系判断及应用；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）利用a的值结合一元一次方程求解集的方法，从而求出集合B，再利用一元二次方程求解集的方法，从而求出集合A，再利用集合间的关系判断，从而判断出集合A和集合B的关系。
（2）利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，从而求出实数a的取值集合。
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高中数学人教A版（2019）必修一 第一章 第二节 集合之间的关系一（基础）
一、单选题
1．（2022高一下·盐城期末）设集合{是正四棱柱}，{是长方体}，{是正方体}，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·南平三模）设集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·渭滨模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·齐齐哈尔二模）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
5．（2022·吉林模拟）已知集合，，，则实数a的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．{-1}
6．（2022·来宾模拟）已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·潮州期末）已知集合，．若，则m等于（ ）
A．0 B．0或1 C．0或2 D．1或2
8．（2021·吉林模拟）已知集合，则的真子集共有（ ）个
A．3 B．4 C．6 D．7
9．（2021高一上·费县期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021高三上·六安月考）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值组成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021高一上·怀仁期中）若集合 ，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021高一上·武汉期中）已知集合 ，那么 的子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
13．（2021高一上·南阳期中）集合 的真子集的个数是（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
14．（2021高一上·薛城期中）已知集合 ， ，则（ ）
A． B．A B C．B A D．
15．（2021高二上·江川期中）在下列选项中，能正确表示集合 和 关系的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
16．（2021高一上·广西月考）已知集合，为自然数集，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
17．（2022·上海市模拟）设集合，，若，则实数
18．（2021高三上·西青期末）若集合，则集合的所有子集的个数是 .
19．（2021高一上·宁德期中）设集合，，若，则实数 .
20．（2021高一上·潍坊期中）已知集合 ．若 ，则实数 ．
21．（2021高一上·景德镇期中）集合 的非空子集个数为 .
22．（2021高一上·浙江期中）满足 的集合 的个数为 个.
四、解答题
23．（2021高一上·重庆月考）已知集合．
（1）若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；
（2）若，且，求实数的取值集合．
24．（2021高一上·河北期中）设集合 ， .
（1）若 ，试判断集合 与 的关系；
（2）若 ，求实数 的取值集合.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】当正四棱柱的高与底面边长相等时，该正四棱柱为正方体；
当长方体底面为正方形时，该长方体为正四棱柱；.
故答案为：B.
【分析】 由正方体、正四棱柱和长方体的结构特征判断出包含关系即可得答案.
2．【答案】D
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】由可得.
故答案为：D.
【分析】直接由求解即可.
3．【答案】A
【知识点】集合的包含关系判断及应用；集合的相等；空集的定义、性质及运算；交集及其运算
【解析】【解答】∵集合，，
∴。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而得出集合A，再利用交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
4．【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由题意，
因此其真子集个数为．
故答案为：D．
【分析】求出集合中的元素，再由子集的定义求解．
5．【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由题意得，，∵，，
∴实数a的取值集合为，
故答案为：C.
【分析】先求出集合A，根据子集的定义即可求出实数a的取值集合。
6．【答案】C
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】解：因为集合，
所以根据子集的定义可知，
故答案为：C.
【分析】根据题意由已知条件结合子集的定义，即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】因为，，且，
所以或2.
故答案为：C.
【分析】利用子集的定义直接求解，即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由题设，，
∴的真子集共有个.
故答案为：A.
【分析】 先求出集合A中的元素，再求其真子集即可得答案。
9．【答案】A
【知识点】集合的包含关系判断及应用；集合的相等
【解析】【解答】由，即，因为恒成立，所以解得，所以；由，即等价于，解得或，所以或，所以，所以；
故答案为：A
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出集合A，再利用分式不等式求解集的方法，从而求出集合B，再利用集合间的关系和补集的运算法则，从而找出正确的选项。
10．【答案】D
【知识点】子集与真子集；空集的定义、性质及运算；一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得A={-2，1}，
又因为 ，.
所以当a=0时B= ，此时满足，所以 符合题意；
当a≠0时， ，
若，则 或 ，解得a=-1或a=，
综上所述：实数a的取值组成的集合是 ，
故选：D.
【分析】根据一元二次方程的解法，结合子集的定义以及空集的概念求解即可.
11．【答案】A
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】 ，
，A符合题意，B不符合题意； ，C不符合题意； ，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系、集合间的关系，从而找出关系式成立的选项。
12．【答案】A
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】集合 ，集合 的子集共有 个.
故答案为：A
【分析】 根据集合的元素数目与子集个数的关系，而A有3个元素，计算可得答案.
13．【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】∵集合 ，
∴集合 ，则集合A的真子集的个数是 .
故答案为：D.
【分析】将集合A化简得到集合A中元素个数，再利用n元素集合其真子集个数为求解。
14．【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】根据集合真子集的定义得：对任意的 ，均有 ，存在 ，使得 ，故B A.
故答案为：C.
【分析】由元素与集合之间的关系，结合已知条件即可得出答案。
15．【答案】B
【知识点】子集与真子集；一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得B={0，3}，又 ，则.
故答案为：Ｂ
【分析】根据一元二次方程的解法，结合子集的定义求解即可．
16．【答案】A,B,C
【知识点】集合的含义；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】解：对A，集合，所以，A符合题意；
对B，集合，B符合题意；
对C，是集合的子集，所以，C符合题意；
对D，因为，故集合不包含于自然数集，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】由已知条件即可得出集合中的元素，再由集合与元素的关系，以及集合之间的关系，由此对选项逐一判断即可得出答案。
17．【答案】0，2
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】集合，，若，则且，
所以或2，
故答案为：0，2
【分析】由，可得且，即可求解。
18．【答案】16
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由题意，，逐个代入可得集合中
，故集合，一共有4个元素，故集合的所有子集的个数为。
故答案为16。
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，从而求出函数的值域，进而求出集合B，再利用子集的定义，进而求出集合的所有子集的个数。
19．【答案】-1
【知识点】集合的相等
【解析】【解答】∵，
∴，，
此时，满足题意，
∴。
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件结合集合相等的判断方法，从而求出实数a的值。
20．【答案】1
【知识点】集合的相等
【解析】【解答】由 ， ，可得 ， 。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合集合相等的判断方法，从而求出实数m的值。
21．【答案】15
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】因为
所以非空子集为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共15个，
故答案为：15
【分析】 先将集合用列举法表示，求出该集合中元素的个数，利用集合真子集的个数公式求出该集合的非空真子集个数.
22．【答案】8
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由题意，元素 ，元素 是否在集合 中分别有2种情况，
根据分步计数原理，有 种情况，
故集合 的个数为8个。
故答案为：8。
【分析】利用已知条件结合集合间的关系，从而利用分步乘法计数原理，进而找出满足要求的集合M的个数。
23．【答案】（1）解：，，可能的集合为：，，，；
（2）解：当时，，满足；
当时，；若，则或或，
解得：或或；
综上所述：实数的取值集合为.
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可求出元素与集合的关系，由此计算出结果即可。
(2)由已知条件结合集合之间的关系，然后对a分情况讨论，计算出结果即可。
24．【答案】（1）当 时， ，
因为 ，
所以B A.
（2）因为集合 至多有一个元素，由 ，所以
当 时， ；
当 时，所以 ；
当 时，所以 .
所以 .
【知识点】集合的包含关系判断及应用；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）利用a的值结合一元一次方程求解集的方法，从而求出集合B，再利用一元二次方程求解集的方法，从而求出集合A，再利用集合间的关系判断，从而判断出集合A和集合B的关系。
（2）利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，从而求出实数a的取值集合。
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