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高中数学人教A版（2019）必修一 第一章 第二节 集合之间的关系二（培优）
一、单选题
1．（2022·徐州模拟）已知集合 ， ，若 ，则实数 组成的集合为（ ）
A．{0} B．
C． D．
2．（2022·湘潭三模）已知集合，，若，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·渭滨模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南模拟）已知集合，集合，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021高三上·六安月考）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值组成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021高一上·黄石月考）已知集合 ，集合 ，则P与Q的关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022·厦门模拟）集合A=[1，6]，B={x|y=}，若AB，则实数a的范围是 .
8．（2021高一上·浦东期中）已知集合 ， ，若 ，则实数 的所以可能取值组成的集合是 .
9．（2021高一上·郫都期中）已知 ， 且 则实数 的范围是 .
三、解答题
10．（2021高一上·宁德期中）已知集合，，
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
11．（2021高一上·浦城期中）已知集合.集合.
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围.
12．（2021高一上·河东期中）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．
13．（2021高一上·河北期中）设集合 ， .
（1）若 ，试判断集合 与 的关系；
（2）若 ，求实数 的取值集合.
14．（2021高一上·浦东期中） ， .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
15．（2021高一上·焦作期中）已知集合 ， ．
（1）当 时，求 ；
（2）当A B 时，求 的取值范围．
16．（2021高一上·沈阳月考）已知全集为R，集合 ， ， .
（1）求 .
（2）若 ，求实数a取值构成的集合.
17．（2021高一上·湖北月考）
（1）设集合 ，若 ，求a的值；
（2）设集合 ，集合 ，若 ，求a的取值范围.
18．（2021高一上·扬中开学考）设全集为 R，集合 ， ．
（1）求 ；
（2）已知 ，若 ，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解得 ， 或 ，解得 ，
当 时， ， ， ，满足题意.
当 时， ，不满足集合的互异性.
当 时， ， ，若 ，满足题意.
当 时， ， ，若 ，满足题意.
故答案为：C.
【分析】 若 得 或 ，解出x的值，将x的值代入集合，检验集合的元素满足互异性可得答案。
2．【答案】A
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】 先化简集合A，再利用 即可求出 m的取值范围 .
3．【答案】A
【知识点】集合的包含关系判断及应用；集合的相等；空集的定义、性质及运算；交集及其运算
【解析】【解答】∵集合，，
∴。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而得出集合A，再利用交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
4．【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】
，
，
，
且
，解得：
，即
的取值范围为
.
故答案为：D.
【分析】由集合包含关系可直接构造不等式组求得
的取值范围。
5．【答案】D
【知识点】子集与真子集；空集的定义、性质及运算；一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得A={-2，1}，
又因为 ，.
所以当a=0时B= ，此时满足，所以 符合题意；
当a≠0时， ，
若，则 或 ，解得a=-1或a=，
综上所述：实数a的取值组成的集合是 ，
故选：D.
【分析】根据一元二次方程的解法，结合子集的定义以及空集的概念求解即可.
6．【答案】B
【知识点】集合的包含关系判断及应用；空集的定义、性质及运算；交集及其运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，即 ，故 ，
因 ，且 ，得 ，
结合数轴得 且 ，因此ACD不符合题意，B符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法，从而求出集合P，再利用偶次根式函数求值域的方法，从而求出集合Q，再利用集合间的关系判断和交集的运算法则以及空集的定义，从而找出集合P和集合Q的关系。
7．【答案】(-∞，1]
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】由
，得
，
所以
，
因为A=[1，6]，且A
B，
所以
，
所以实数a的范围是(-∞，1]，
故答案为：(-∞，1]
【分析】先求出集合B，再由A
B，可求出实数a的范围.
8．【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】 时， ，
时， ，由 得， 或 ，即 或 ，
综上所述， 的取值集合是 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合集合间的包含关系，从而求出实数a的所有可能取值的集合。
9．【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】由题意得：
，
所以实数 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】利用集合间的关系结合分类讨论的方法，从而求出实数a的取值范围。
10．【答案】（1）由得
又由
得
∴
（2）若，得
解得
故实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）利用a的值求出集合M，再利用一元二次不等式求解集的方法，进而求出集合N，再利用交集、并集和补集的运算法则，从而求出集合 ，。
（2）利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，从而借助数轴求出实数a的取值范围。
11．【答案】（Ⅰ）当时，，
，
所以.
（Ⅱ）集合
若，则，
∵，∴，解得，
若，则.
∵，∴，解得，
∴的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
【解析】【分析】（1）利用m的值结合一元二次不等式求解集的方法，进而求出集合A，再利用偶次根式函数求定义域的方法和指数函数的单调性，进而求出集合B，再利用并集的运算法则，从而求出集合A和集合B的并集。
（2）利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，进而借助数轴求出实数m的取值范围。
12．【答案】解：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B A.
①若B＝ ，则m＋1>2m－1，解得m<2，
此时有B A；
②若B≠ ，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B A，得 ，解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.
∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，从而求出实数m的取值范围。
13．【答案】（1）当 时， ，
因为 ，
所以B A.
（2）因为集合 至多有一个元素，由 ，所以
当 时， ；
当 时，所以 ；
当 时，所以 .
所以 .
【知识点】集合的包含关系判断及应用；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）利用a的值结合一元一次方程求解集的方法，从而求出集合B，再利用一元二次方程求解集的方法，从而求出集合A，再利用集合间的关系判断，从而判断出集合A和集合B的关系。
（2）利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，从而求出实数a的取值集合。
14．【答案】（1）解： ，
因为 ，
所以-4和0是方程 的两个根，
所以 ，
解得 ，
所以实数 的值是1；
（2）解： ，
因为 ，
所以当 时， ，解得 ，符合题意；
当 时， ，解得 ，符合题意；
当 时， ，解得 ，符合题意；
当 时， ，解得 ，
综上：实数 的取值范围是 或 .
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合一元二次方程求解集的方法，从而求出集合A和集合B，再利用集合间的关系结合分类讨论的方法，从而求出实数a的取值范围。
（2）利用已知条件结合集合间的关系和分类讨论的方法，从而求出实数a的取值范围。
15．【答案】（1）
当 时， ，
所以 ，所以
（2）当 ，即 时， ，满足 ；
当 ，即 时，由 可得 或
解得 （舍）或
综上： 的取值范围为
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合a的值，进而求出集合A，再利用一元二次不等式求解集的方法，进而求出集合B，再利用交集和补集的运算法则，从而求出集合 。
(2)利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合集合间的关系，从而求出实数a的取值范围。
16．【答案】（1）解：因为
所以 ，或 ，
因为 ，
所以 ，或 ，或 .
（2）解：因为 ， ， ，
所以 ，解得 ，
所以所求集合为
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合并集和补集的运算法则，从而求出集合 。
（2）利用已知条件结合集合间的包含关系，再利用分类讨论的方法，从而借助数轴求出实数a的取值构成的集合。
17．【答案】（1）解：若 ，即 时，不满足互异性.
若 ，即 或 ，同理验证 时不满足互异性，舍去. 成立.
若 ，即 或 ，验证都不满足互异性.
综上所述
（2）当 时， ，满足题意
当 时，
若 ，即 时， ，满足题意
若 ，即 或 时.
假设 ，则 ，则 ，符合题意；
假设 ，则 ，则 ，符合题意；
假设 ，则 ，也符合题意
综上所述： 或
【知识点】元素与集合关系的判断；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合元素与集合的关系，从而求出实数a的值。
（2）利用已知条件结合一元二次方程求解集的方法，进而求出集合N，再利用集合间的关系结合分类讨论的方法，从而求出实数a的取值范围。
18．【答案】（1）由 得 或
，
由 ， ， ，
（2）① ，即 时， ，成立；
② ，即 时 ，
得 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式以及绝对值不等式的解法，结合补集及交集的运算求解即可；
（2）根据子集的定义，结合分类讨论思想求解即可.
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高中数学人教A版（2019）必修一 第一章 第二节 集合之间的关系二（培优）
一、单选题
1．（2022·徐州模拟）已知集合 ， ，若 ，则实数 组成的集合为（ ）
A．{0} B．
C． D．
【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解得 ， 或 ，解得 ，
当 时， ， ， ，满足题意.
当 时， ，不满足集合的互异性.
当 时， ， ，若 ，满足题意.
当 时， ， ，若 ，满足题意.
故答案为：C.
【分析】 若 得 或 ，解出x的值，将x的值代入集合，检验集合的元素满足互异性可得答案。
2．（2022·湘潭三模）已知集合，，若，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】 先化简集合A，再利用 即可求出 m的取值范围 .
3．（2022·渭滨模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】集合的包含关系判断及应用；集合的相等；空集的定义、性质及运算；交集及其运算
【解析】【解答】∵集合，，
∴。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而得出集合A，再利用交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
4．（2022·湖南模拟）已知集合，集合，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】
，
，
，
且
，解得：
，即
的取值范围为
.
故答案为：D.
【分析】由集合包含关系可直接构造不等式组求得
的取值范围。
5．（2021高三上·六安月考）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值组成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】子集与真子集；空集的定义、性质及运算；一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得A={-2，1}，
又因为 ，.
所以当a=0时B= ，此时满足，所以 符合题意；
当a≠0时， ，
若，则 或 ，解得a=-1或a=，
综上所述：实数a的取值组成的集合是 ，
故选：D.
【分析】根据一元二次方程的解法，结合子集的定义以及空集的概念求解即可.
6．（2021高一上·黄石月考）已知集合 ，集合 ，则P与Q的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合的包含关系判断及应用；空集的定义、性质及运算；交集及其运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，即 ，故 ，
因 ，且 ，得 ，
结合数轴得 且 ，因此ACD不符合题意，B符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法，从而求出集合P，再利用偶次根式函数求值域的方法，从而求出集合Q，再利用集合间的关系判断和交集的运算法则以及空集的定义，从而找出集合P和集合Q的关系。
二、填空题
7．（2022·厦门模拟）集合A=[1，6]，B={x|y=}，若AB，则实数a的范围是 .
【答案】(-∞，1]
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】由
，得
，
所以
，
因为A=[1，6]，且A
B，
所以
，
所以实数a的范围是(-∞，1]，
故答案为：(-∞，1]
【分析】先求出集合B，再由A
B，可求出实数a的范围.
8．（2021高一上·浦东期中）已知集合 ， ，若 ，则实数 的所以可能取值组成的集合是 .
【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】 时， ，
时， ，由 得， 或 ，即 或 ，
综上所述， 的取值集合是 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合集合间的包含关系，从而求出实数a的所有可能取值的集合。
9．（2021高一上·郫都期中）已知 ， 且 则实数 的范围是 .
【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】由题意得：
，
所以实数 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】利用集合间的关系结合分类讨论的方法，从而求出实数a的取值范围。
三、解答题
10．（2021高一上·宁德期中）已知集合，，
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）由得
又由
得
∴
（2）若，得
解得
故实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）利用a的值求出集合M，再利用一元二次不等式求解集的方法，进而求出集合N，再利用交集、并集和补集的运算法则，从而求出集合 ，。
（2）利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，从而借助数轴求出实数a的取值范围。
11．（2021高一上·浦城期中）已知集合.集合.
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）当时，，
，
所以.
（Ⅱ）集合
若，则，
∵，∴，解得，
若，则.
∵，∴，解得，
∴的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
【解析】【分析】（1）利用m的值结合一元二次不等式求解集的方法，进而求出集合A，再利用偶次根式函数求定义域的方法和指数函数的单调性，进而求出集合B，再利用并集的运算法则，从而求出集合A和集合B的并集。
（2）利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，进而借助数轴求出实数m的取值范围。
12．（2021高一上·河东期中）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．
【答案】解：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B A.
①若B＝ ，则m＋1>2m－1，解得m<2，
此时有B A；
②若B≠ ，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B A，得 ，解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.
∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，从而求出实数m的取值范围。
13．（2021高一上·河北期中）设集合 ， .
（1）若 ，试判断集合 与 的关系；
（2）若 ，求实数 的取值集合.
【答案】（1）当 时， ，
因为 ，
所以B A.
（2）因为集合 至多有一个元素，由 ，所以
当 时， ；
当 时，所以 ；
当 时，所以 .
所以 .
【知识点】集合的包含关系判断及应用；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）利用a的值结合一元一次方程求解集的方法，从而求出集合B，再利用一元二次方程求解集的方法，从而求出集合A，再利用集合间的关系判断，从而判断出集合A和集合B的关系。
（2）利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，从而求出实数a的取值集合。
14．（2021高一上·浦东期中） ， .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解： ，
因为 ，
所以-4和0是方程 的两个根，
所以 ，
解得 ，
所以实数 的值是1；
（2）解： ，
因为 ，
所以当 时， ，解得 ，符合题意；
当 时， ，解得 ，符合题意；
当 时， ，解得 ，符合题意；
当 时， ，解得 ，
综上：实数 的取值范围是 或 .
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合一元二次方程求解集的方法，从而求出集合A和集合B，再利用集合间的关系结合分类讨论的方法，从而求出实数a的取值范围。
（2）利用已知条件结合集合间的关系和分类讨论的方法，从而求出实数a的取值范围。
15．（2021高一上·焦作期中）已知集合 ， ．
（1）当 时，求 ；
（2）当A B 时，求 的取值范围．
【答案】（1）
当 时， ，
所以 ，所以
（2）当 ，即 时， ，满足 ；
当 ，即 时，由 可得 或
解得 （舍）或
综上： 的取值范围为
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合a的值，进而求出集合A，再利用一元二次不等式求解集的方法，进而求出集合B，再利用交集和补集的运算法则，从而求出集合 。
(2)利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合集合间的关系，从而求出实数a的取值范围。
16．（2021高一上·沈阳月考）已知全集为R，集合 ， ， .
（1）求 .
（2）若 ，求实数a取值构成的集合.
【答案】（1）解：因为
所以 ，或 ，
因为 ，
所以 ，或 ，或 .
（2）解：因为 ， ， ，
所以 ，解得 ，
所以所求集合为
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合并集和补集的运算法则，从而求出集合 。
（2）利用已知条件结合集合间的包含关系，再利用分类讨论的方法，从而借助数轴求出实数a的取值构成的集合。
17．（2021高一上·湖北月考）
（1）设集合 ，若 ，求a的值；
（2）设集合 ，集合 ，若 ，求a的取值范围.
【答案】（1）解：若 ，即 时，不满足互异性.
若 ，即 或 ，同理验证 时不满足互异性，舍去. 成立.
若 ，即 或 ，验证都不满足互异性.
综上所述
（2）当 时， ，满足题意
当 时，
若 ，即 时， ，满足题意
若 ，即 或 时.
假设 ，则 ，则 ，符合题意；
假设 ，则 ，则 ，符合题意；
假设 ，则 ，也符合题意
综上所述： 或
【知识点】元素与集合关系的判断；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合元素与集合的关系，从而求出实数a的值。
（2）利用已知条件结合一元二次方程求解集的方法，进而求出集合N，再利用集合间的关系结合分类讨论的方法，从而求出实数a的取值范围。
18．（2021高一上·扬中开学考）设全集为 R，集合 ， ．
（1）求 ；
（2）已知 ，若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）由 得 或
，
由 ， ， ，
（2）① ，即 时， ，成立；
② ，即 时 ，
得 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式以及绝对值不等式的解法，结合补集及交集的运算求解即可；
（2）根据子集的定义，结合分类讨论思想求解即可.
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