浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（文）试题（WORD解析版）

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2013年浙江省考试院高考数学测试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2013 浙江模拟）已知集合A{﹣2，﹣1，1，2}，B={x|x2﹣x﹣2≥0}，则A∩B=（　　）
　 A． {﹣1，1，2 } B． {﹣2，﹣1，2 } C． {﹣2，1，2 } D． {﹣2，﹣1，1}
考点： 交集及其运算．
专题： 计算题．
分析： 根据题意解出集合B，再根据交集的定义进行求解；
解答： 解：集合A{﹣2，﹣1，1，2}，B={x|x2﹣x﹣2≥0}，∴B={x|x≥2或x≤﹣1}，∴A∩B={﹣2，﹣1，2}，故选B
点评： 此题主要考查一元二次不等式的解法以及交集的定义，是一道基础题；
　
2．（5分）（2013 浙江模拟）已知a∈R，则“a＞0”是“a+≥2”的（　　）
　 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
　 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
分析： 根据均值不等式的性质，可以得只要a＞0，就有“a+≥2，再根据充分必要条件的定义进行求解；
解答： 解：∵a＞0，可得a+=2（当a=1时等号成立，）若a+＞2＞0，∴a＞0，∴“a＞0” “a+≥2”，∴“a＞0”是“a+≥2”的充分必要条件，故选C；
点评： 此题主要考查均值不等式的应用及充分必要条件的定义，是一道基础题；
　
3．（5分）（2013 资阳二模）已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是（　　）
　 A． 若l∥m，m α，则l∥α B． 若l∥α，m α，则l∥m C． 若l⊥m，l⊥α，则m⊥α D． 若l⊥α，m α，则l⊥m
考点： 空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据线面平行的判定定理三个条件一个都不能少，可判断A的真假；根据线面平行的几何特征，及空间直线关系的分类和定义，可判断B的真假；根据线线垂直及线面垂直的几何特征，可以判断C的真假；根据线面垂直的性质（定义）可以判断D的真假；
解答： 解：若l∥m，m α，当l α，则l∥α不成立，故A错误若l∥α，m α，则l∥m或l，m异面，故B错误；若l⊥m，l⊥α，则m α或m∥α，故C错误；若l⊥α，m α，根据线面垂直的定义，线面垂直则线垂直面内任一线，可得l⊥m，故D正确故选D
点评： 本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，空间中直线与平面的位置关系，其中熟练掌握空间线面关系的几何特征是解答的关键．
　
4．（5分）（2013 浙江模拟）若函数f（x） （x∈R）是奇函数，函数g（x） （x∈R）是偶函数，则（　　）
　 A． 函数f[g（x）]是奇函数 B． 函数g[f（x）]是奇函数
　 C． 函数f（x） g（x）是奇函数 D． 函数f（x）+g（x）是奇函数
考点： 奇偶性与单调性的综合．
专题： 计算题．
分析： 令h（x）=f（x）．g（x），由已知可知f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），然后检验h（﹣x）与h（x）的关系即可判断
解答： 解：令h（x）=f（x）．g（x）∵函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）∴h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）．g（x）=﹣h（x）∴h（x）=f（x）．g（x）是奇函数故选C
点评： 本题主要考查了函数的奇偶性的性质的简单应用，属于基础试题
　
5．（5分）（2013 浙江模拟）在某学校组织的校园十佳歌手评选活动中，八位评委为某学生的演出打出的分数的茎叶统计图如图所示．去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（　　）
　 A． 86，3 B． 86， C． 85，3 D． 85，
考点： 茎叶图；极差、方差与标准差．
专题： 计算题．
分析： 由茎叶图写出8个数据，去掉79和92，然后利用平均数和方差公式计算．
解答： 解：由茎叶图看出，8个数据的最大值是92，最小值是79，去掉后还剩的数据为：84，84，85，87，88，88．平均数，方差为=3．故选A．
点评： 本题考查了茎叶图，极差、方差和标准差，解答的关键是熟记公式，是基础题．
　
6．（5分）（2013 浙江模拟）函数y=sin （2x+）的图象可由函数y=cos 2x的图象（　　）
　 A． 向左平移个单位长度而得到 B． 向右平移个单位长度而得到
　 C． 向左平移个单位长度而得到 D． 向右平移个单位长度而得到
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 计算题．
分析： 先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到函数y=cos2x的路线，即可得到选项．
解答： 解：函数y=cos2x=sin（2x+），所以只需把函数y=sin（2x+）的图象，向右平移个单位长度，得到y=sin[2（x﹣）+]=sin （2x+），即可得到函数y=sin （2x+）的图象．故选B．
点评： 本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意诱导公式的合理运用．
　
7．（5分）（2013 浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若||=a，||=b，则=（　　）
　 A． a2﹣b2 B． b2﹣a2 C． a2+b2 D． ab
考点： 向量在几何中的应用．
专题： 计算题；平面向量及应用．
分析： 利用向量的线性运算及向量的数量积公式，即可得到结论．
解答： 解：∵AD⊥DC，∴=0，∴==﹣=﹣∵AB⊥BC，∴=0，∴﹣=﹣∵||=a，||=b，∴﹣=b2﹣a2∴=b2﹣a2，故选B．
点评： 本题考查向量在几何中的应用，考查向量的线性运算及向量的数量积公式，属于中档题．
　
8．（5分）（2013 浙江模拟）设函数f（x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2．若f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则（　　）
　 A． x1＞﹣1 B． x2＜0 C． x2＞0 D． x3＞2
考点： 利用导数研究函数的极值；函数的零点．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．
解答： 解：∵函数f （x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x2﹣4．令f′（x）=0可得 x=．∵当x＜﹣时，f′（x）＞0；在（﹣，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．故函数在（∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．故f（﹣）是极大值，f（）是极小值．再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，可得 x1＜﹣，﹣＜x2＜，x3＞．根据f（0）=a＞0，且f（）=a﹣＜0，可得 ＞x2＞0．故选C．
点评： 本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．
　
9．（5分）（2013 浙江模拟）已知双曲线x2﹣=1，点A（﹣1，0），在双曲线上任取两点P，Q满足AP⊥AQ，则直线PQ恒过点（　　）
　 A． （3，0） B． （1，0） C． （﹣3，0） D． （4，0）
考点： 双曲线的简单性质；恒过定点的直线．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 可设PQ的方程为x=my+b，与双曲线方程x2﹣=1联立，结合A（﹣1，0），AP⊥AQ可求得b的值，从而可知直线PQ过的定点，于是可得答案．
解答： 解：设PQ的方程为x=my+b，则由得：（m2﹣）y2+2bmy+b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1，y2是该方程的两根，∴y1+y2=，y1 y2=．又A（﹣1，0），AP⊥AQ，∴ =﹣1，∴y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，又x1=my1+b，x2=my2+m，∴（1+m2）y1y2+（b+1）m（y1+y2）+（b+1）2=0①，将y1+y2=，y1 y2=代入①得：（1+m2）﹣+（b+1）2=0，整理得：（b2﹣1）（1+m2）﹣2bm2（b+1）+（m2﹣）（b+1）2=0，∴b2﹣2b﹣3=0，∴b=3或b=﹣1．当b=﹣1时，PQ过（﹣1，0），即A点，与题意不符，故舍去．当b=3时，PQ过定点（3，0）．故选A．
点评： 本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆锥曲线的相交问题，突出考查韦达定理的应用，考查综合分析与解决问题的能力，属于难题．
　
10．（5分）（2013 浙江模拟）如图，函数y=f（x）的图象为折线ABC，设g （x）=f[f（x）]，则函数y=g（x）的图象为（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 函数的图象．
专题： 压轴题；函数的性质及应用．
分析： 函数y=f（x）的图象为折线ABC，其为偶函数，所研究x≥0时g（x）的图象即可，首先根据图象求出x≥0时f（x）的图象及其值域，再根据分段函数的性质进行求解，可以求出g（x）的解析式再进行判断；
解答： 解：如图：函数y=f（x）的图象为折线ABC，函数f（x）为偶函数，我们可以研究x≥0的情况即可，若x≥0，可得B（0，1），C（1，﹣1），这直线BC的方程为：lBC：y=﹣2x+1，x∈[0，1]，其中﹣1≤f（x）≤1；若x＜0，可得lAB：y=2x+1，∴f（x）=，我们讨论x≥0的情况：如果0≤x≤，解得0≤f（x）≤1，此时g（x）=f[f（x）]=﹣2（﹣2x+1）=4x﹣2；若＜x≤1，解得﹣1≤f（x）＜0，此时g（x）=f[f（x）]=2（﹣2x+1）=﹣4x+2；∴x∈[0，1]时，g（x）=；故选A；
点评： 此题主要考查分段函数的定义域和值域以及复合函数的解析式求法，是一道好题；
　
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．（4分）（2013 浙江模拟）已知i是虚数单位，a∈R．若复数的实部为1，则a=　9　．
考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 计算题．
分析： 化简复数z为a+bi（a、b为实数）的形式，利用实部为1，求出a即可．
解答： 解：复数==，复数的实部为1，，所以a=9．故答案为：9．
点评： 本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，是基础题．
　
12．（4分）（2013 浙江模拟）某四棱柱的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱柱的体积为　12　cm3．
考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 计算题．
分析： 由三视图可知：原几何体是一个直四棱柱，高为2；底面是一个直角梯形，上、下底长分别为2，4，高为2．据此可计算出答案．
解答： 解：由三视图可知：原几何体是一个直四棱柱，高为2；底面是一个直角梯形，上、下底长分别为2，4，高为2．∴V直四棱柱==12．故答案为12．
点评： 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
　
13．（4分）（2013 浙江模拟）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是　　．
考点： 程序框图．
分析： 根据已知流程图可得程序的功能是计算S=+…++的值，利用裂项相消法易得答案
解答： 解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=+…++=1﹣=故答案为：
点评： 本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键．
　
14．（4分）（2013 浙江模拟）从3男2女这5位舞蹈选手中，随机（等可能）抽出2人参加舞蹈比赛，恰有一名女选手的概率是　　．
考点： 古典概型及其概率计算公式．
专题： 计算题．
分析： 由题意由组合数公式分别写出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，由古典概型公式可得答案．
解答： 解：从3男2女这5位舞蹈选手中，随机抽出2人参加舞蹈比赛共有=10种方法，而恰有一名女选手即从3名男选手和2名女选手中各选1名，故有=6种方法，故所求概率为：P==故答案为：
点评： 本题为古典概型的求解，写对总的基本事件数和符合条件的基本事件数是解决问题的关键，属基础题．
　
15．（4分）（2013 浙江模拟）当实数x，y满足不等式组（m为常数）时，2x+y的最大值为4，则m=　　．
考点： 简单线性规划．
专题： 计算题．
分析： 根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，求出目标函数的最值，即可求解比值．
解答： 解：若使得不等式有公共区域，则m＞0作出不等式组表示的平面区域，如图所示令z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大结合图象可知，当z=2x+y经过点B时z最大由题意可知A（m，）此时z=m=4∴m=故答案为：
点评： 本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数的最值．
　
16．（4分）（2013 浙江模拟）设F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为　　．
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 计算题．
分析： 由AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，利用椭圆的定义可求得|AF1|=2，从而可得a的值，再由勾股定理可求得2c的值．
解答： 解：∵F1，F2是椭圆C+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，如图：∴不妨令|AB|=3，|AF2|=4，再令|AF1|=x，由椭圆的定义得：|AF1|+|AF2|=2a，①|BF1|+|BF2|=2a②①+②得：x+4+3﹣x+5=4a，∴a=3，x=2．在Rt△F1F2A中，=+，∴4c2=4+16=20，∴c=．∴椭圆的离心率为e=．故答案为：．
点评： 本题考查椭圆的简单性质，突出考查椭圆的定义的应用，求得a与c的值是关键，考查转化与运算的能力，属于中档题．
　
17．（4分）（2013 浙江模拟）已知函数f（x）=，a∈R．若对于任意的x∈N*，f （x）≥4恒成立，则a的取值范围是　[，+∞）　．
考点： 基本不等式；函数恒成立问题．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据已知中函数f （x）=，a∈R．若对于任意的x∈N*，f （x）≥4恒成立，我们可将其转化为a≥恒成立，进而将其转化为a≥g（x）max=，解不等式可得a的取值范围．
解答： 解：∵函数f （x）=，且f （x）≥4，对于任意的x∈N*恒成立即a≥==令g（x）=，则g（x）≤6﹣4，当且仅当x=2﹣1时g（x）取最大值又∵x∈N*，∴当x=2时，g（x）取最大值故a≥即a的取值范围是[，+∞）故答案为：[，+∞）
点评： 本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中将其转化为函数的最值，是转化思想在解答此类问题时的亮点，应引起大家的注意．
　
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）（2013 浙江模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosA=bcosC+ccosB．
（Ⅰ） 求A的大小；
（Ⅱ） 求cosB﹣sinC的取值范围．
考点： 余弦定理．
专题： 计算题；解三角形．
分析： （Ⅰ）由正弦定理与三角函数间的关系式可求得cosA=，从而可求得A的大小；（Ⅱ）由C=﹣B，再结合辅助角公式即可求得cosB﹣sinC的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）∵△ABC中，2acosA=bcosC+ccosB，∴由正弦定理===2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，即sin2A=sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA，∴2sinAcosA﹣sinA=0，∴sinA（2cosA﹣1）=0，而sinA≠0，∴cosA=，又A∈（0，π）∴A=…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=﹣B，故cosB﹣sinC=cosB﹣sin（﹣B）=cosB﹣[sincosB﹣cossinB]=cosB﹣cosB+（﹣）sinB=﹣cosB﹣sinB=﹣sin（B+），∵0＜B＜，∴＜B+＜，＜sin（B+）≤1，∴﹣1≤﹣sin（B+）＜﹣．∴cosB﹣sinC的取值范围是[﹣1，﹣]…14分
点评： 本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力，属于中档题．
　
19．（14分）（2013 浙江模拟）已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n﹣a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{bn}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比．
（Ⅰ） 求a及bn；
（Ⅱ） 设数列{an}的前n项和为Tn．求使Tn＞bn的最小正整数n的值．
考点： 数列的求和；数列与不等式的综合．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）由等比数列{an}的前n项和Sn=2n﹣a，n∈N*，先分别求出a1，a2，a3，由，能求出a；由公差不为零的等差数列{bn}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比数列，列方程组先求出首项和公差，由此能求出bn．（Ⅱ）由，知an==2（n﹣1），故数列{an}的前n项和Tn=n（n﹣1）．由此能求出使Tn＞bn的最小正整数n的值．
解答： 解：（Ⅰ）∵等比数列{an}的前n项和Sn=2n﹣a，n∈N*，∴a1=S1=2﹣a，a2=（22﹣a）﹣（2﹣a）=2，a3=（23﹣a）﹣（22﹣a）=4，∵，∴22=（2﹣a） 4，解得a=1，∴．∵公差不为零的等差数列{bn}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比数列，∴，∴（8+3d）2=（8+d）（8+7d），解得d=0（舍），或d=8，∴bn=8n﹣5，n∈N*．（Ⅱ）∵，∴an==2（n﹣1），∴数列{an}的前n项和Tn=2（1﹣1）+2（2﹣1）=2（3﹣1）+2（4﹣1）+…+2（n﹣1）=2[0+1+2+3+…+（n﹣1）]=2×=n（n﹣1）．∵bn=8n﹣5，Tn＞bn，∴n（n﹣1）＞8n﹣5，∵n∈N*，∴n≥9，∴使Tn＞bn的最小正整数n的值是9．
点评： 本题主要考查等差、等比数列的概念，通项公式及求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力．
　
20．（15分）（2013 浙江模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点．
（Ⅰ） 证明：EF∥平面PAB；
（Ⅱ） 求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．
考点： 直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．
专题： 空间角．
分析： （I）根据E，F分别是PC，PD的中点，结合三角形中位线定理及平行公理，可得AB∥EF，进而由线面平行的判定定理得到EF∥平面PAB；（Ⅱ）取线段PA中点M，连接EM，则EM∥AC，故AC与平面ABEF所成角等于ME与平面ABEF所成角的大小，作MH⊥AF，垂足为H，连接EH，可证得∠MEH是ME与平面ABEF所成角，解Rt△EHM可得答案．
解答： 证明：（I）∵E，F分别是PC，PD的中点∴EF∥CD又∵AB∥CD，∴AB∥EF，又∵EF 平面PAB，AB 平面PAB；∴EF∥平面PAB；解：（Ⅱ）取线段PA中点M，连接EM，则EM∥AC故AC与平面ABEF所成角等于ME与平面ABEF所成角的大小作MH⊥AF，垂足为H，连接EH∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB又∵AB⊥AD，PA∩AD=A∴AB⊥平面PAD∴EF⊥平面PAD∵MH 平面PAD∴EF⊥MH∴MH⊥平面ABEF∴∠MEH是ME与平面ABEF所成角在Rt△EHM中，EM=AC=，MH=∴sin∠MEH==∴AC与平面ABEF所成角的正弦为
点评： 本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力，其中（1）要熟练掌握线面平行的判定定理；（2）的关键是找出线面夹角的平面角．
　
21．（15分）（2013 浙江模拟）已知函数f （x）=x3﹣3ax+1，a∈R．
（Ⅰ） 求f （x）的单调区间；
（Ⅱ） 求所有的实数a，使得不等式﹣1≤f （x）≤1对x∈[0，]恒成立．
考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
专题： 导数的综合应用．
分析： （I）根据函数解析式，求出导函数，分a≤0和a＞0两种情况，分别分析导函数的符号，进而可得不同情况下f （x）的单调区间；（Ⅱ） 根据（I）中的结论，分a≤0，0＜a＜3和a≥3三种情况分析不等式﹣1≤f （x）≤1对x∈[0，]是否恒成立，综合讨论结果，可得答案．
解答： 解：（I）∵f （x）=x3﹣3ax+1，∴f′（x）=3x2﹣3a，当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，f （x）的单调增区间为R；当a＞0时，由f′（x）＞0得x＜或x＞故f （x）的单调增区间为（﹣∞，）和（，+∞），f （x）的单调减区间为（，）（II）当a≤0时，由（I）可知f （x）在[0，]递增，且f（0）=1，此时无解；当0＜a＜3时，由（I）可知f （x）在∈[0，）上递减，在（，]递增，∴f （x）在[0，]的最小值为f（）=1﹣2a∴，即解得：a=1当a≥3时，由（I）可知f （x）在[0，]上递减，且f（0）=1，∴解得：a≤此时无解综上a=1
点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质，及导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力
　
22．（14分）（2013 浙江模拟）如图，A，B是焦点为F的抛物线y2=4x上的两动点，线段AB的中点M在定直线x=t（t＞0）上．
（Ⅰ）求|FA|+|FB|的值；
（Ⅱ）求|AB|的最大值．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （Ⅰ）利用椭圆的定义及线段AB的中点M在定直线x=t （t＞0）上，可求|FA|+|FB|的值；（Ⅱ）利用|AF|+|BF|≥|AB|，当A，F，B三点成一线时取“=”，可得结论．
解答： 解：（Ⅰ）y2=4x的焦点坐标是F（1，0），准线方程是x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|=x1+1，|BF|=x2+1∴|FA|+|FB|=x1+x2+2∵线段AB的中点M在定直线x=t （t＞0）上∴x1+x2+=2t，∴|FA|+|FB|=2t+2；（Ⅱ）∵|AF|+|BF|≥|AB|，当A，F，B三点成一线时取“=”∴|AB|的最大值是2t+2．
点评： 本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力
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