高中数学人教新课标B版必修3--《3.1.4 概率的加法公式》教学设计
文档属性
| 名称 | 高中数学人教新课标B版必修3--《3.1.4 概率的加法公式》教学设计 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 234.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-25 14:10:27 | ||
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文档简介
3.1.4概率的加法公式
一、教学目标：
1、知识与技能：
(1)理解互斥事件和对立事件的概念，并根据概率计算公式的应用范围和具体运算法则解决简单的概率问题。
（2）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；
以及互斥事件与对立事件的区别与联系.
2、过程与方法：
通过引导学生判断互斥事件和互为对立事件两个概念的对比学习，提高学生的类比、归纳、探寻事物的能力。通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高学生的合作能力和创造的历程，提高学生的合作解题能力和利用数学知识解决实际应用问题的能力。
3、情感、态度与价值观：
通过课堂上学生独立思考、合作讨论，有意识、有目的的培养学生自主学习的学习习惯与协作共进的团队精神；让学生体验成功，激发其求知欲，树立求真知的信心；培养学生的辩证唯物主义观点。
重点：互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的概率计算公式。
难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。
二、教学过程:
(一)、温故知新：
频率：在n次重复试验中，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为_______，将频率近似的看成概率，则事件A发生的概率为_______.
导引：抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设
事件A=“点数为奇数”， 事件B=“点数为2”，
(二)、预习初探
问题1：事件A和事件B能不能同时发生？
学生答：事件A发生时，事件B不发生，事件B发生时，事件A发生，所以不能同时发生。
问题2：事件A和事件B这两个事件叫做什么事件？
学生答：互斥事件。
问题3：怎样定义互斥事件？
事件 定义
互斥事件 在同一试验中,不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件 (或称为互不相容事件).
集合角度理解 事件A，B含有的基本事件组成的集合分别为A，B. 若A∩B=Φ，则称事件A，B为互斥事件.
图形表示
你还能举出一些生活其他例子吗？
(三)、初体验
把红、黑、蓝、白4张纸随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件A=“甲分得红牌”与事件B=“乙分得红牌”是不是互斥事件？
学生答：是互斥事件。
2、从1～9这九个数字中任意取两个数,分别有下列事件:
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数;
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
以上事件中是互斥事件的是( )
A.① B.②④ C.③ D.①③
学生答：C
(四)、深入探索
导引 抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设
事件A=“点数为奇数”， 事件B=“点数为2”，事件C=“出现奇数点或2点”。
问题4：事件C是不是随机事件，若把A、B、C都看作集合，则事件C与事件A、B有怎样的关系？
学生答：事件C也是随机事件。
若事件A和事件B中至少有一个发生，则C发生；若C发生，则A、B中至少有一个发生，集合C是集合A、B的并集。
问题5：怎样定义事件A与B的并？
事件A与B的并（和） 一般地，由事件A和B 至少有一个发生_(即A发生，或B发生或 A、B都发生 )所构成的事件C，称为事件A与B的并(或 和)，记作C=A∪B..
集合角 度理解 事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合.
图形表示 如图阴影部分
(五)、再体验
导引 抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设
(1)事件A=“点数为2”,事件B=“点数为3”；
(2)事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4”；
(3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”；
(4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3”。
（1）上面的事件A与事件B是互斥事件吗？写出每组事件的并.
【学生尝试解答】
是，A∪B = “点数为2或3” ；
是，A∪B = “点数为奇数或4”；
是， A∪B =“点数不超过3或点数超过3”,即事件全体 ；
不是，A∪B =“点数超过3”即事件B。
事件A ∪ B发生的意义:事件A和事件B中至少有一个发生。
当A与B互斥时,A ∪ B事件指“A发生B不发生”和“A不发生B发生”。
(六)、研讨发现
（2）对导引中（1） 、（2） 、 （3） 中每一对事件,完成下表。
问题6：同时根据你的结果,你发现两个事件概率的和与两个事件的并的概率有什么样大
小关系
【学生尝试解答】 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)
(1) (2) (3)
P(A)
P(B)
P(A)+P(B)
P(A∪B)
P(A)
P(B)
P(A)+P(B)
P(A∪B)
（3）对导引中（4） 的事件,完成下表
问题7 ：导引中的(4)P(A)+P(B)与P(A∪B)适合以上的结论吗 你能说出原因吗？
【学生尝试解答】
P(A)+P(B) ≠ P(A∪B)，事件A、B不互斥 。
问题8 ：尝试总结一下什么样的事件才满足P(A ∪ B)=P(A)+P(B)？
【尝试解疑】在一个随机事试验中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么
P(A ∪ B)=P(A)+P(B)。
理论证明：
假定A、B为互斥事件,在n次试验中, 事件A出现的频数为n1,事件B出现的频数为n2。事件A∪B出现的频数正好是n1＋n2 ,所以事件A∪B的频率为
如果用μn (A)表示在n次试验中事件A出现的频率,则有μn (A∪B)＝μn (A)＋μn (B) ，由概率的统计定义可知, P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(七)、猜想推广
问题9 ：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An发生（即A1, A2，…An 中至少有一个发生）的概率，与这n个事件分别生的概率和之间的大小关系？
互斥事件的概率加法公式 ：P（A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
（八）、微 体 验
例1、（1）P(A)=0.1，P(B)=0.2，则P(A ∪ B)=（ ）
A、0.3 B、0.2 C、0.1 D、不确定
（2）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 0.5 ，乙获胜的概率是 0.31，则乙不输的概率是？
学生答：例1、(1)D;(2)0.81;
例2、在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概
率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率和小明及格的概率．
解：根据题意，小明的数学成绩在给出的四个范围内的事件是互斥的，
记B＝“考试成绩在90分以上”，C＝“考试成绩在80～89分”，
D＝“考试成绩在70～79分”，E＝“考试成绩在60～69分”，
记事件A＝“考试成绩在80分以上”，则A＝B∪C，且B、C为互斥事件，
由互斥事件的概率加法公式可知,
P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
记事件F＝“小明考试及格”，
有F＝B∪C∪D∪E，且B、C、D、E两两互斥，由互斥事件的概率加法公式有
P(F)＝P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)
＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
（九）、研讨发现
(3)
P(A)
P(B)
P(A)+P(B) 1
P(A∪B) 1
问题10：在导引（3）中，则事件A与事件B能不能同时发生，或者都不发生？为什么？
【尝试解疑】
事件A与事件B是互斥事件，所以不可能同时发生，掷一次骰子的点数要么超过3，要么不超过3，事件A与事件B中必有一个发生。
在(3)中,我们发现有P(A ∪ B)=P(A)+P(B)=1，事件A和B互斥，概率为1,说明事件A ∪ B必然事件,即A和B中必有一个发生。
（十）、延伸探究
问题11：我们把问题10中的事件A、B称为对立事件，根据你的理解，你能否给对立事件下个定义？
定义
对立事件 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做对立事件。事件A的对立事件记为事件
集合角度 事件A∩ =Φ，A∪是基本事件空间
图形表示 如图中阴影部分所表示的就是A与 的关系
若事件A的对立事件为，则P() =1-P(A)，下面我们共同证明这个公式。
证明：事件A与是互斥事件，所以P(A∪)=P(A)+P(),又A∪为基本事件空间。P(A∪)=P(A)+P()=1.
所以P(A)=1-P()，或P()=1-P(A).
（十一）、微体验
例3 判断下列给出的每对事件，⑴是否为互斥事件，
⑵是否为对立事件，并说明理由.从40张扑克牌 （红桃、黑桃、方块、梅花点数从1—10各10张）中，任取一张，
(Ⅰ)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(Ⅱ)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(Ⅲ)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
【尝试解答】
(Ⅰ)是互斥事件，不是对立事件；
(Ⅱ)既是互斥事件，又是对立事件；
(Ⅲ)不是互斥事件，当然不是对立事件.
例4 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）互斥事件一定对立。（× ）
（2）对立事件一定互斥。（√ ）
（3）互斥事件不一定对立。（ √ ）
（4）事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率。（× ）
（5）事件A与B互斥，则有P(A)=1-P(B)。（ × ）
（6）若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B一定是对立事件。（× ）
总结：（1）互斥不一定对立.,对立一定互斥。
（2）A与B对立，概率和为1；概率和为1，A、B不一定对立。
例5 某战士射击一次，问：
若事件A=“中靶”的概率为0.95，则的概率为多少？
若事件B=“中靶环数大于5”的概率为0.7，那么事件C=“中靶环数小于6”的概率为多少？
事件D=“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？
解 （1）因为事件A与互为对立事件，P()=1-P(A)=1-0.95=0.05;
（2）事件B与事件C也是互为对立事件，所以P(C)=1-P(B)=0.3;
(3)事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即
P(D)=P(C)-P()=0.3-0.05=0.25.
（十二）、当堂评价
1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，
那么互斥而不对立的两个事件是 ( )
A．至少有1个黑球与都是黑球； B．至少有1个黑球与至少有1个红球；
C．恰有1个黑球与恰有2个黑球； D．至少有1个黑球与都是红球；
2.一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________.
3．A、B为互斥事件，P(A)＝0.3，P(A∪B)＝0.6，则P(B)＝________.
4、据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表：
排队人数 0 1 2 3 4 ≥5
概 率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
（1）至多人排队等候的概率是多少？ （2）至少2人排队等候的概率是多少？
【尝试解答】
[解析]当“两个球都是黑球”发生时，事件A＝“至少有一个黑球”也同时发生；
当B＝“恰有一个红球、一个黑球”发生时，“至少有一个红球”与A都发生
了；A发生时，“都是红球”不发生；A不发生时，“都是红球”发生；“恰有
一个黑球”与“恰有两个黑球”不会同时发生，当“都是红球”发生时，它
们都不发生．故选C.
2、【解析】中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖
的概率为1－0.35＝0.65.
3、【解析】 由互斥事件的概率加法公式知 P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.6－0.3＝0.3.
4、【解析】记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A， B，C，则A, B，C 两两互斥．
(1) 至多2人排队等候的概率是
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2) 至少2人排队等候的反面是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.16＝0.26，
故至少2人排队等候的概率为1－0.26＝0.74.
（十三）、教师总结
互斥事件与对立事件判定
利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生。
利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B。
事件A与B互斥。即集合A∩B=Φ;
事件A与B对立，即集合A∩B=Φ，且A∪B=I（全集）。
运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率然后用加法公式求出结果。
求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将求事件转化成彼此互斥的事件的并（和）；
二是先求其对立事件的概率，然后再运用对立事件公式求解。
（十四）、课堂小节
请同学们自己总结一下这节课合作探究学习的知识。
（十五）、作业
（1）P100 练习和习题 ；（2）课后评价 。
（十六）、课后评价
1、某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”， 事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”， 事件E为“一种报纸也不订”． 判断下列各对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
解：（1）不互斥；（2）既互斥又对立；（3）不互斥；（4）不互斥；（5）不互斥。
2、某家庭电话在家中有人时，打进的电话，响第1声时被接为事件A ，其概率为0.1， 响第2声时被接为事件B，其概率为0.3， 响第3声时被接为事件C，其概率为0.4， 响第4声时被接为事件D，其概率为0.1， 那么电话在响前4声内被接为事件E，则事件E的概率是多少？
解：易知A、B、C、D互斥，且E＝A∪B∪C ∪D，所以由互斥事件的概率加法公式，得P(E)＝P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.
3、某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4，
（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；
（2）求他不乘轮船去的概率；
（3）如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？
解：记“他乘火车去”为事件A，，“他乘轮船去”为事件B， “他乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，
（1）故P(A∪C)=0.4；
（2）设他不乘轮船去的概率为P，则P=1－P(B)=0.8；
（3）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去。
4、某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）求射击1次，至射中10环或7环的概率；
（2）求射击1次，命中不足7环的概率.
解：(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一 次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为A∪B.
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环， 3环，2环，1环，0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面大于等于7环，即7环，8环，9环，10环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理.设“不够7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中 8环”等彼此是互斥事件，
∴P＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，
从而P(E)＝1－0.97＝0.03. ∴不够7环的概率是0.03.
5、在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：
年最高水位(单位：m) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18)
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
(1)[10,16)(m)；(2)[8,12)(m)；(3)水位不低于12 m.
解 设水位在[a，b)范围的概率为P([a，b))．
由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：
(1)P([10,16))＝P([10,12))＋P([12,14))＋P([14,16))
＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)P([8,12))＝P([8,10))＋P([10,12)) ＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)记“水位不低于12 m”为事件A， P(A)＝1－P([8,12))＝1－0.38＝0.62.
6、据最近中央电视台报道，学生的视力下降是十分严峻的问题，通过随机抽样调查某校1 000名在校生，其中有200名学生裸眼视力在0.6以下，有450名学生裸眼视力在0.6～1.0，剩下的能达到1.0及以上．
问：(1)这个学校在校生眼睛需要配镜或治疗(视力不 足1.0)的概率为多少？
这个学校在校生眼睛合格(视力达到1.0及以上)的概率为多少？
解：（1）事件A（视力在0.6以下）与事件B（视力在0.6-1.0）为互斥事件，
事件C（视力不足1.0）的概率为
.
事件D（视力达到1.0及以上）与事件C为对立事件
7、黄种人群中各种血型的人所占的比如表所示：
血 型 A B AB O
该血型的人所占比/% 28 29 8 35
已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给 AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，
问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解：（1）:(2)
一、教学目标：
1、知识与技能：
(1)理解互斥事件和对立事件的概念，并根据概率计算公式的应用范围和具体运算法则解决简单的概率问题。
（2）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；
以及互斥事件与对立事件的区别与联系.
2、过程与方法：
通过引导学生判断互斥事件和互为对立事件两个概念的对比学习，提高学生的类比、归纳、探寻事物的能力。通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高学生的合作能力和创造的历程，提高学生的合作解题能力和利用数学知识解决实际应用问题的能力。
3、情感、态度与价值观：
通过课堂上学生独立思考、合作讨论，有意识、有目的的培养学生自主学习的学习习惯与协作共进的团队精神；让学生体验成功，激发其求知欲，树立求真知的信心；培养学生的辩证唯物主义观点。
重点：互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的概率计算公式。
难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。
二、教学过程:
(一)、温故知新：
频率：在n次重复试验中，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为_______，将频率近似的看成概率，则事件A发生的概率为_______.
导引：抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设
事件A=“点数为奇数”， 事件B=“点数为2”，
(二)、预习初探
问题1：事件A和事件B能不能同时发生？
学生答：事件A发生时，事件B不发生，事件B发生时，事件A发生，所以不能同时发生。
问题2：事件A和事件B这两个事件叫做什么事件？
学生答：互斥事件。
问题3：怎样定义互斥事件？
事件 定义
互斥事件 在同一试验中,不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件 (或称为互不相容事件).
集合角度理解 事件A，B含有的基本事件组成的集合分别为A，B. 若A∩B=Φ，则称事件A，B为互斥事件.
图形表示
你还能举出一些生活其他例子吗？
(三)、初体验
把红、黑、蓝、白4张纸随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件A=“甲分得红牌”与事件B=“乙分得红牌”是不是互斥事件？
学生答：是互斥事件。
2、从1～9这九个数字中任意取两个数,分别有下列事件:
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数;
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
以上事件中是互斥事件的是( )
A.① B.②④ C.③ D.①③
学生答：C
(四)、深入探索
导引 抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设
事件A=“点数为奇数”， 事件B=“点数为2”，事件C=“出现奇数点或2点”。
问题4：事件C是不是随机事件，若把A、B、C都看作集合，则事件C与事件A、B有怎样的关系？
学生答：事件C也是随机事件。
若事件A和事件B中至少有一个发生，则C发生；若C发生，则A、B中至少有一个发生，集合C是集合A、B的并集。
问题5：怎样定义事件A与B的并？
事件A与B的并（和） 一般地，由事件A和B 至少有一个发生_(即A发生，或B发生或 A、B都发生 )所构成的事件C，称为事件A与B的并(或 和)，记作C=A∪B..
集合角 度理解 事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合.
图形表示 如图阴影部分
(五)、再体验
导引 抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设
(1)事件A=“点数为2”,事件B=“点数为3”；
(2)事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4”；
(3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”；
(4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3”。
（1）上面的事件A与事件B是互斥事件吗？写出每组事件的并.
【学生尝试解答】
是，A∪B = “点数为2或3” ；
是，A∪B = “点数为奇数或4”；
是， A∪B =“点数不超过3或点数超过3”,即事件全体 ；
不是，A∪B =“点数超过3”即事件B。
事件A ∪ B发生的意义:事件A和事件B中至少有一个发生。
当A与B互斥时,A ∪ B事件指“A发生B不发生”和“A不发生B发生”。
(六)、研讨发现
（2）对导引中（1） 、（2） 、 （3） 中每一对事件,完成下表。
问题6：同时根据你的结果,你发现两个事件概率的和与两个事件的并的概率有什么样大
小关系
【学生尝试解答】 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)
(1) (2) (3)
P(A)
P(B)
P(A)+P(B)
P(A∪B)
P(A)
P(B)
P(A)+P(B)
P(A∪B)
（3）对导引中（4） 的事件,完成下表
问题7 ：导引中的(4)P(A)+P(B)与P(A∪B)适合以上的结论吗 你能说出原因吗？
【学生尝试解答】
P(A)+P(B) ≠ P(A∪B)，事件A、B不互斥 。
问题8 ：尝试总结一下什么样的事件才满足P(A ∪ B)=P(A)+P(B)？
【尝试解疑】在一个随机事试验中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么
P(A ∪ B)=P(A)+P(B)。
理论证明：
假定A、B为互斥事件,在n次试验中, 事件A出现的频数为n1,事件B出现的频数为n2。事件A∪B出现的频数正好是n1＋n2 ,所以事件A∪B的频率为
如果用μn (A)表示在n次试验中事件A出现的频率,则有μn (A∪B)＝μn (A)＋μn (B) ，由概率的统计定义可知, P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(七)、猜想推广
问题9 ：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An发生（即A1, A2，…An 中至少有一个发生）的概率，与这n个事件分别生的概率和之间的大小关系？
互斥事件的概率加法公式 ：P（A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
（八）、微 体 验
例1、（1）P(A)=0.1，P(B)=0.2，则P(A ∪ B)=（ ）
A、0.3 B、0.2 C、0.1 D、不确定
（2）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 0.5 ，乙获胜的概率是 0.31，则乙不输的概率是？
学生答：例1、(1)D;(2)0.81;
例2、在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概
率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率和小明及格的概率．
解：根据题意，小明的数学成绩在给出的四个范围内的事件是互斥的，
记B＝“考试成绩在90分以上”，C＝“考试成绩在80～89分”，
D＝“考试成绩在70～79分”，E＝“考试成绩在60～69分”，
记事件A＝“考试成绩在80分以上”，则A＝B∪C，且B、C为互斥事件，
由互斥事件的概率加法公式可知,
P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
记事件F＝“小明考试及格”，
有F＝B∪C∪D∪E，且B、C、D、E两两互斥，由互斥事件的概率加法公式有
P(F)＝P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)
＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
（九）、研讨发现
(3)
P(A)
P(B)
P(A)+P(B) 1
P(A∪B) 1
问题10：在导引（3）中，则事件A与事件B能不能同时发生，或者都不发生？为什么？
【尝试解疑】
事件A与事件B是互斥事件，所以不可能同时发生，掷一次骰子的点数要么超过3，要么不超过3，事件A与事件B中必有一个发生。
在(3)中,我们发现有P(A ∪ B)=P(A)+P(B)=1，事件A和B互斥，概率为1,说明事件A ∪ B必然事件,即A和B中必有一个发生。
（十）、延伸探究
问题11：我们把问题10中的事件A、B称为对立事件，根据你的理解，你能否给对立事件下个定义？
定义
对立事件 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做对立事件。事件A的对立事件记为事件
集合角度 事件A∩ =Φ，A∪是基本事件空间
图形表示 如图中阴影部分所表示的就是A与 的关系
若事件A的对立事件为，则P() =1-P(A)，下面我们共同证明这个公式。
证明：事件A与是互斥事件，所以P(A∪)=P(A)+P(),又A∪为基本事件空间。P(A∪)=P(A)+P()=1.
所以P(A)=1-P()，或P()=1-P(A).
（十一）、微体验
例3 判断下列给出的每对事件，⑴是否为互斥事件，
⑵是否为对立事件，并说明理由.从40张扑克牌 （红桃、黑桃、方块、梅花点数从1—10各10张）中，任取一张，
(Ⅰ)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(Ⅱ)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(Ⅲ)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
【尝试解答】
(Ⅰ)是互斥事件，不是对立事件；
(Ⅱ)既是互斥事件，又是对立事件；
(Ⅲ)不是互斥事件，当然不是对立事件.
例4 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）互斥事件一定对立。（× ）
（2）对立事件一定互斥。（√ ）
（3）互斥事件不一定对立。（ √ ）
（4）事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率。（× ）
（5）事件A与B互斥，则有P(A)=1-P(B)。（ × ）
（6）若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B一定是对立事件。（× ）
总结：（1）互斥不一定对立.,对立一定互斥。
（2）A与B对立，概率和为1；概率和为1，A、B不一定对立。
例5 某战士射击一次，问：
若事件A=“中靶”的概率为0.95，则的概率为多少？
若事件B=“中靶环数大于5”的概率为0.7，那么事件C=“中靶环数小于6”的概率为多少？
事件D=“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？
解 （1）因为事件A与互为对立事件，P()=1-P(A)=1-0.95=0.05;
（2）事件B与事件C也是互为对立事件，所以P(C)=1-P(B)=0.3;
(3)事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即
P(D)=P(C)-P()=0.3-0.05=0.25.
（十二）、当堂评价
1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，
那么互斥而不对立的两个事件是 ( )
A．至少有1个黑球与都是黑球； B．至少有1个黑球与至少有1个红球；
C．恰有1个黑球与恰有2个黑球； D．至少有1个黑球与都是红球；
2.一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________.
3．A、B为互斥事件，P(A)＝0.3，P(A∪B)＝0.6，则P(B)＝________.
4、据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表：
排队人数 0 1 2 3 4 ≥5
概 率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
（1）至多人排队等候的概率是多少？ （2）至少2人排队等候的概率是多少？
【尝试解答】
[解析]当“两个球都是黑球”发生时，事件A＝“至少有一个黑球”也同时发生；
当B＝“恰有一个红球、一个黑球”发生时，“至少有一个红球”与A都发生
了；A发生时，“都是红球”不发生；A不发生时，“都是红球”发生；“恰有
一个黑球”与“恰有两个黑球”不会同时发生，当“都是红球”发生时，它
们都不发生．故选C.
2、【解析】中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖
的概率为1－0.35＝0.65.
3、【解析】 由互斥事件的概率加法公式知 P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.6－0.3＝0.3.
4、【解析】记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A， B，C，则A, B，C 两两互斥．
(1) 至多2人排队等候的概率是
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2) 至少2人排队等候的反面是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.16＝0.26，
故至少2人排队等候的概率为1－0.26＝0.74.
（十三）、教师总结
互斥事件与对立事件判定
利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生。
利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B。
事件A与B互斥。即集合A∩B=Φ;
事件A与B对立，即集合A∩B=Φ，且A∪B=I（全集）。
运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率然后用加法公式求出结果。
求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将求事件转化成彼此互斥的事件的并（和）；
二是先求其对立事件的概率，然后再运用对立事件公式求解。
（十四）、课堂小节
请同学们自己总结一下这节课合作探究学习的知识。
（十五）、作业
（1）P100 练习和习题 ；（2）课后评价 。
（十六）、课后评价
1、某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”， 事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”， 事件E为“一种报纸也不订”． 判断下列各对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
解：（1）不互斥；（2）既互斥又对立；（3）不互斥；（4）不互斥；（5）不互斥。
2、某家庭电话在家中有人时，打进的电话，响第1声时被接为事件A ，其概率为0.1， 响第2声时被接为事件B，其概率为0.3， 响第3声时被接为事件C，其概率为0.4， 响第4声时被接为事件D，其概率为0.1， 那么电话在响前4声内被接为事件E，则事件E的概率是多少？
解：易知A、B、C、D互斥，且E＝A∪B∪C ∪D，所以由互斥事件的概率加法公式，得P(E)＝P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.
3、某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4，
（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；
（2）求他不乘轮船去的概率；
（3）如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？
解：记“他乘火车去”为事件A，，“他乘轮船去”为事件B， “他乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，
（1）故P(A∪C)=0.4；
（2）设他不乘轮船去的概率为P，则P=1－P(B)=0.8；
（3）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去。
4、某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）求射击1次，至射中10环或7环的概率；
（2）求射击1次，命中不足7环的概率.
解：(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一 次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为A∪B.
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环， 3环，2环，1环，0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面大于等于7环，即7环，8环，9环，10环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理.设“不够7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中 8环”等彼此是互斥事件，
∴P＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，
从而P(E)＝1－0.97＝0.03. ∴不够7环的概率是0.03.
5、在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：
年最高水位(单位：m) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18)
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
(1)[10,16)(m)；(2)[8,12)(m)；(3)水位不低于12 m.
解 设水位在[a，b)范围的概率为P([a，b))．
由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：
(1)P([10,16))＝P([10,12))＋P([12,14))＋P([14,16))
＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)P([8,12))＝P([8,10))＋P([10,12)) ＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)记“水位不低于12 m”为事件A， P(A)＝1－P([8,12))＝1－0.38＝0.62.
6、据最近中央电视台报道，学生的视力下降是十分严峻的问题，通过随机抽样调查某校1 000名在校生，其中有200名学生裸眼视力在0.6以下，有450名学生裸眼视力在0.6～1.0，剩下的能达到1.0及以上．
问：(1)这个学校在校生眼睛需要配镜或治疗(视力不 足1.0)的概率为多少？
这个学校在校生眼睛合格(视力达到1.0及以上)的概率为多少？
解：（1）事件A（视力在0.6以下）与事件B（视力在0.6-1.0）为互斥事件，
事件C（视力不足1.0）的概率为
.
事件D（视力达到1.0及以上）与事件C为对立事件
7、黄种人群中各种血型的人所占的比如表所示：
血 型 A B AB O
该血型的人所占比/% 28 29 8 35
已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给 AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，
问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解：（1）:(2)