高中数学人教新课标B版必修3--《我国古代数学家秦九韶》教学设计2
文档属性
| 名称 | 高中数学人教新课标B版必修3--《我国古代数学家秦九韶》教学设计2 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 508.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-25 21:03:22 | ||
图片预览
文档简介
《我国古代数学家秦九韶》教案
教材分析：
《我国古代数学家秦九韶》是人教B版必修3第一章最后的“阅读与欣赏”中的一篇文章，其中简介了我国古代数学家秦九韶的生平。本节内容是《1.3中国古代数学中的算法案例》中秦九韶算法内容的补充和延伸，体现数学的文化价值，对培养学生自主探索，合作交流和阅读自学的学习方式有重大意义，是重要的课程资源。本节和人教B版必修5第一章联系紧密，“海伦—秦九韶”公式，不仅增强学生对中华民族数学文化的认同感，还让学生体会中西数学家的珠联璧合，交相辉映，不同的表达方法，讲述了相同的内容，学生可从中感受数学统一性之美。
学情分析：
由于应试需要，学生大部分时间都在应付教师布置的作业，对书本缺乏兴趣，再加上教师的不重视，很少意识到“阅读材料”的存在。学生在前面已经学到秦九韶算法，对秦九韶有个初步的了解，再者学生听过海伦公式这个名称，因此可以把秦九韶的“三斜求积术”与“海伦公式”通过“余弦定理”这个纽带联系起来；把秦九韶的“大衍求一术”和“中国剩余定理”联系起来，学生会感觉亲切自然，乐于探究相关问题。
教学目标：
知识与技能：了解秦九韶生平及有关数学成就；复习秦九韶算法；掌握“海伦—秦九韶公式”，并能简单应用．
过程与方法：培养分析、解决问题的能力，体验函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．
情感、态度与价值观：了解中国古代数学家对数学的贡献，通过对问题的探究，培养学生的爱国主义精神和民族自豪感．
教学重点：
重 点：与秦九韶有关的数学文化题．
教学难点：
难 点：秦九韶算法．
教学方法：诱导探究法
教学手段： 多媒体辅助教学
教学班级：瓦房店市高级中学2018届高三9班
教学时间：2018年5月7日第7节 地点：图书馆二楼多媒体教室
教学过程：
一．秦九韶生平：
秦九韶（公元1202－1261），字道古，现四川省安岳人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。他在政务之余，对数学进行虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。
二．秦九韶的数学成就：
秦九韶的代表作《数书九章》是我国13世纪数学成就的代表作之一。书中的一次同余式（大衍求一术）和高次方程的解法（正负开方术）比西方欧拉和霍纳等数学家的解法要早500多年。由于他和他同时代的其他数学家的贡献，使我国数学在当时处于世界领先地位，他是中国人的骄傲。
《数书九章》是一部有二十多万字的科学巨著。书中共分九大类，列出81道题。有趣的是，从作者的名字、 书名到题目共四个“九”，即“九韶” 、 “九章” 、 “九类” 、 “九题”。这部书的每一题都有“术”，即都有解题的原理和解题步骤，它继承了我国数学发展的突出特色：算法化。这部书的另一个重要特色是理论联系实际。书中大多数问题都是来自实际。秦九韶对当时的生产和生活的各种问题进行了深刻的思考，并将他们抽象为数学问题，研究这些问题的算法。
《数书九章》凝聚着秦九韶艰辛的劳动，它在中国和世界数学史中都占有重要的地位。最值得称赞的是，秦九韶创造的一些算法（例如，多项式求值的方法）至今仍是世界上最好的算法。
秦九韶自序：周朝数学便属“六艺”（礼，乐，射，御，书，数）之一。学者和官员们历来重视崇尚数学。人们因为要认识世界的规律，产生了数学。从大的方面说，数学可以认识自然，理解人生；从小的方面说，数学可以经营事物，分类万物。我坚信，世间万物都与数学有关。
1.秦九韶算法：（人教B版必修3有详细介绍）
2.三斜求积术：秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。
已知三角形的三边长，求三角形的面积。 秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”。“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上。以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实。一为从隅，开平方得积。”
（1）海伦—秦九韶公式：，其中
（2）圆内接四边形面积公式：，其中
（3）婆罗摩笈多公式：若四边形的边长分别为，是四边形一对角和的一半，
则其面积为：，其中
3.大衍求一术：
中国古代求解一类大衍问题的方法。大衍问题源于《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是属于现代数论中求解一次同余式方程组问题。秦九韶在《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为大衍求一术。秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶不仅为中国赢得无上荣誉，也为世界数学作出了杰出贡献。
（1）原载《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；
五五数之剩三；七七数之剩二。问物几何 ”
明代著名的大数学家程大位，在他所著的《算法统宗》中，对于这种解一般“孙子问题”的方法，还编出了四句歌诀，名曰《孙子歌》：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝。
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
（2）韩信点兵：
秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。
4.正负开方术：
秦九韶在《数书九章》中还创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，也是中世纪世界数学的最高成就，秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳的同样解法早572年。秦九韶的正负开方术，列算式时，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。
此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致；同时秦九韶又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧洲最早是1559年布丢给出的，他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。
三．与秦九韶有关的试题：
1. （2016课标2）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.
执行该程序框图，若输入的，，依次输入的a为2，2，5，则输出的
（A）7 （B）12 （C）17 （D）34
2.（2016四川）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的
《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给 出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）
（A）9 （B）18 （C）20 （D）35
3.（2017课标2）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏
灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层
灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
4.（2015湖北）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓
开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得
254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
5.（2017大连一模）我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知
其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
如果此物数量在100至200之间，那么这个数是 ．
6.（2013湖北）我国古代数学名著《数书九章》中有
“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.
天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.
若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸.
(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)
7.（2017葫芦岛二模）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶
的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题。《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边ɑ，b，с求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即Ｓ＝.现有周长为10+2的△ABC满sinA:sinB:sinC=2:3:，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（ ）A
A.6 B.4 C. 8 D.12
8.（2008江苏）若，则的最大值为 .
9. (2014.课标2文17) 四边形的内角与互补，
(I)求和; (II)求四边形的面积。
四．小结与作业：
通过今天这堂复习课，我们了解了秦九韶的生平和其辉煌的数学成就，既增强了民族自豪感 ，又复习了相关知识，感受到了数学的文化价值，希望大家按照今天的研究方法，课后探究《阿波罗尼斯圆》这个问题。
五．课后反思与巩固：
从教师方面看，有些教师认为“阅读材料”不属于考试内容，上和不上都不会影响教学质量，因此他们认为只要学生课后看一看就可以，根本没有必要引导学生研究，探讨和交流。教师的这种态度必然会影响学生对该内容的态度，学生会以为教师不重视的“阅读材料”是不重要的，从而忽略材料的阅读。
从高考看，近几年来课标卷几乎每年都有一道“数学文化”题，学生如果熟悉文化背景必然能把题答好。本节课学生探索意识增强，阅读能力有一定提高，课外知识得到一定的延伸，效果良好，不足之处是给学生的自主学习时间少一些，教师的讲的较多。
第1页
教材分析：
《我国古代数学家秦九韶》是人教B版必修3第一章最后的“阅读与欣赏”中的一篇文章，其中简介了我国古代数学家秦九韶的生平。本节内容是《1.3中国古代数学中的算法案例》中秦九韶算法内容的补充和延伸，体现数学的文化价值，对培养学生自主探索，合作交流和阅读自学的学习方式有重大意义，是重要的课程资源。本节和人教B版必修5第一章联系紧密，“海伦—秦九韶”公式，不仅增强学生对中华民族数学文化的认同感，还让学生体会中西数学家的珠联璧合，交相辉映，不同的表达方法，讲述了相同的内容，学生可从中感受数学统一性之美。
学情分析：
由于应试需要，学生大部分时间都在应付教师布置的作业，对书本缺乏兴趣，再加上教师的不重视，很少意识到“阅读材料”的存在。学生在前面已经学到秦九韶算法，对秦九韶有个初步的了解，再者学生听过海伦公式这个名称，因此可以把秦九韶的“三斜求积术”与“海伦公式”通过“余弦定理”这个纽带联系起来；把秦九韶的“大衍求一术”和“中国剩余定理”联系起来，学生会感觉亲切自然，乐于探究相关问题。
教学目标：
知识与技能：了解秦九韶生平及有关数学成就；复习秦九韶算法；掌握“海伦—秦九韶公式”，并能简单应用．
过程与方法：培养分析、解决问题的能力，体验函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．
情感、态度与价值观：了解中国古代数学家对数学的贡献，通过对问题的探究，培养学生的爱国主义精神和民族自豪感．
教学重点：
重 点：与秦九韶有关的数学文化题．
教学难点：
难 点：秦九韶算法．
教学方法：诱导探究法
教学手段： 多媒体辅助教学
教学班级：瓦房店市高级中学2018届高三9班
教学时间：2018年5月7日第7节 地点：图书馆二楼多媒体教室
教学过程：
一．秦九韶生平：
秦九韶（公元1202－1261），字道古，现四川省安岳人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。他在政务之余，对数学进行虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。
二．秦九韶的数学成就：
秦九韶的代表作《数书九章》是我国13世纪数学成就的代表作之一。书中的一次同余式（大衍求一术）和高次方程的解法（正负开方术）比西方欧拉和霍纳等数学家的解法要早500多年。由于他和他同时代的其他数学家的贡献，使我国数学在当时处于世界领先地位，他是中国人的骄傲。
《数书九章》是一部有二十多万字的科学巨著。书中共分九大类，列出81道题。有趣的是，从作者的名字、 书名到题目共四个“九”，即“九韶” 、 “九章” 、 “九类” 、 “九题”。这部书的每一题都有“术”，即都有解题的原理和解题步骤，它继承了我国数学发展的突出特色：算法化。这部书的另一个重要特色是理论联系实际。书中大多数问题都是来自实际。秦九韶对当时的生产和生活的各种问题进行了深刻的思考，并将他们抽象为数学问题，研究这些问题的算法。
《数书九章》凝聚着秦九韶艰辛的劳动，它在中国和世界数学史中都占有重要的地位。最值得称赞的是，秦九韶创造的一些算法（例如，多项式求值的方法）至今仍是世界上最好的算法。
秦九韶自序：周朝数学便属“六艺”（礼，乐，射，御，书，数）之一。学者和官员们历来重视崇尚数学。人们因为要认识世界的规律，产生了数学。从大的方面说，数学可以认识自然，理解人生；从小的方面说，数学可以经营事物，分类万物。我坚信，世间万物都与数学有关。
1.秦九韶算法：（人教B版必修3有详细介绍）
2.三斜求积术：秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。
已知三角形的三边长，求三角形的面积。 秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”。“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上。以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实。一为从隅，开平方得积。”
（1）海伦—秦九韶公式：，其中
（2）圆内接四边形面积公式：，其中
（3）婆罗摩笈多公式：若四边形的边长分别为，是四边形一对角和的一半，
则其面积为：，其中
3.大衍求一术：
中国古代求解一类大衍问题的方法。大衍问题源于《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是属于现代数论中求解一次同余式方程组问题。秦九韶在《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为大衍求一术。秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶不仅为中国赢得无上荣誉，也为世界数学作出了杰出贡献。
（1）原载《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；
五五数之剩三；七七数之剩二。问物几何 ”
明代著名的大数学家程大位，在他所著的《算法统宗》中，对于这种解一般“孙子问题”的方法，还编出了四句歌诀，名曰《孙子歌》：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝。
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
（2）韩信点兵：
秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。
4.正负开方术：
秦九韶在《数书九章》中还创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，也是中世纪世界数学的最高成就，秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳的同样解法早572年。秦九韶的正负开方术，列算式时，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。
此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致；同时秦九韶又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧洲最早是1559年布丢给出的，他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。
三．与秦九韶有关的试题：
1. （2016课标2）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.
执行该程序框图，若输入的，，依次输入的a为2，2，5，则输出的
（A）7 （B）12 （C）17 （D）34
2.（2016四川）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的
《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给 出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）
（A）9 （B）18 （C）20 （D）35
3.（2017课标2）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏
灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层
灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
4.（2015湖北）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓
开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得
254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
5.（2017大连一模）我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知
其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
如果此物数量在100至200之间，那么这个数是 ．
6.（2013湖北）我国古代数学名著《数书九章》中有
“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.
天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.
若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸.
(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)
7.（2017葫芦岛二模）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶
的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题。《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边ɑ，b，с求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即Ｓ＝.现有周长为10+2的△ABC满sinA:sinB:sinC=2:3:，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（ ）A
A.6 B.4 C. 8 D.12
8.（2008江苏）若，则的最大值为 .
9. (2014.课标2文17) 四边形的内角与互补，
(I)求和; (II)求四边形的面积。
四．小结与作业：
通过今天这堂复习课，我们了解了秦九韶的生平和其辉煌的数学成就，既增强了民族自豪感 ，又复习了相关知识，感受到了数学的文化价值，希望大家按照今天的研究方法，课后探究《阿波罗尼斯圆》这个问题。
五．课后反思与巩固：
从教师方面看，有些教师认为“阅读材料”不属于考试内容，上和不上都不会影响教学质量，因此他们认为只要学生课后看一看就可以，根本没有必要引导学生研究，探讨和交流。教师的这种态度必然会影响学生对该内容的态度，学生会以为教师不重视的“阅读材料”是不重要的，从而忽略材料的阅读。
从高考看，近几年来课标卷几乎每年都有一道“数学文化”题，学生如果熟悉文化背景必然能把题答好。本节课学生探索意识增强，阅读能力有一定提高，课外知识得到一定的延伸，效果良好，不足之处是给学生的自主学习时间少一些，教师的讲的较多。
第1页