第三章圆锥曲线的方程：相关点法求轨迹方程 学案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案）

《圆锥曲线》专题36－1 相关点法求轨迹方程
（4套，2页，含答案）
知识点：
求轨迹方程——相关点法： 动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’，y’表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。
典型例题：
动点P在抛物线上移动，则点P与点A(0，－1)连线中点M轨迹方程是_____________.
若M是线段AP上靠近A点处的三等分点，则点M轨迹方程是[endnoteRef:0]__________ [0: 答案：，；]
随堂练习：
如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的投影。
M为线段PD上一点，且当点P在圆上运动时，
求点M的轨迹C的方程；（[endnoteRef:1]）
[1: 答案：；]
设P为双曲线y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 。
若，则点M轨迹方程是______（[endnoteRef:2]）
[2: 答案：， ；]
已知抛物线的方程为y2＝8x， 若点M在此抛物线上运动， 点N与点M关于点A(1， 1)对称，
则点N的轨迹方程为（ [endnoteRef:3] ）
A． B． C． D．
[3: 答案：C；]
《圆锥曲线》专题36－2 相关点法求轨迹方程
已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．([endnoteRef:4]) [4: 答案：x2＋2＝(去掉原点)；
解析：　方法一(直接法)：
如图，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.
设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，所以x2＋2＝(去掉原点)．
方法二(定义法)：
如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
方法三(代入法)：设P(x1，y1)，Q(x，y)，
由题意，得，即，
又因为x＋(y1－3)2＝9，所以4x2＋42＝9，即x2＋2＝(去掉原点)．
]
已知抛物线y2＝x＋1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，
且有BP∶PA＝1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．（[endnoteRef:5]） [5: 答案：；
【解析】设点P(x，y)，且设点B(x0，y0) ，则有，∵BP∶PA＝1∶2 ，
]
《圆锥曲线》专题36－3 相关点法求轨迹方程
已知曲线与直线交于两点和，且．
记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点
是上的任一点，且点与点和点均不重合．若点是线段的中点，
试求线段的中点的轨迹方程； （[endnoteRef:6]） [6: 答案：（）]
已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，点M在PP′上，并且＝2，求点M的轨迹．[endnoteRef:7] [7: 答案：＋y2＝1；
解析：　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y.
因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，
所以x＋y＝9.
将x0＝x，y0＝3y代入，得x2＋9y2＝9，
即＋y2＝1.
所以点M的轨迹是一个椭圆．
]
《圆锥曲线》专题36－4 相关点法求轨迹方程
已知点P是直线上的一个动点，M(，2)是一个定点，Q是线段PM延长线上的一点，
且，则点Q的轨迹方程是 （ [endnoteRef:8] ）
(A) (B) (C) (D) [8: 答案：D；]
已知椭圆的离心率为，且过点，分别是椭圆的左右
两个顶点，为椭圆上的动点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若与均不重合，设直线的斜率分别为，求的值；
（3）M为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程．（[endnoteRef:9]） [9: 答案：，＝，其中；
解：(1)由题意可得
又即得
所以椭圆方程为
(2)设则即
则所以
的值为
(3)设，其中
由已知及点P在椭圆C上可得
整理得其中
]