第三章圆锥曲线的方程：定义法求轨迹方程 学案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案）

《圆锥曲线》专题34－1 定义法求轨迹方程
（4套，5页，含答案）
知识点：
求轨迹方程——定义法： 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 圆的原始定义：
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 椭圆原始定义： 平面内一个动点P到两个定点、的距离之和等于常数 ，这个动点P的轨迹叫椭圆. 双曲线原始定义： 到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。 抛物线原始定义： 平面内与一定点F和一条定直线l (l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
典型例题：
在△ABC种，A（－2，0），B（2，0），且|AC|，|AB|，|BC|成等差数列，则点C的轨迹方程为[endnoteRef:0]
[0: 答案：；]
⊙C：（C为圆心）内部一点与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于P，求点P的轨迹方程.（答案：[endnoteRef:1]） [1: 答案：；]
已知点P(x，y)的坐标满足，则动点P的轨迹是( [endnoteRef:2] )
A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.以上都不对
[2: 答案：B；]
设动点P（x，y）(x≥0)到定点的距离比它到y轴的距离大。记点P的轨迹为曲线C求点P的轨迹方程；（[endnoteRef:3] ）
[3: 答案：y2＝2x；]
随堂练习：
已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为和，椭圆G上一点到和的距离之和为12．求椭圆G的方程；（[endnoteRef:4]） [4: 答案：；]
已知点P是圆上任意一点，点与点关于原点对称。线段的中垂线分别与交于M、N两点．求点M的轨迹C的方程；（[endnoteRef:5]） [5: 答案：；]
已知M（－2，0），N（2，0），|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是（ [endnoteRef:6] ）
A、双曲线 B、双曲线左支 C、一条射线 D、双曲线右支
[6: 答案：C；]
点M到F（3，0）的距离比它到直线x＋4＝0 的距离小1，则点M的轨迹方程是：（ [endnoteRef:7] ）
A、y2＝12x B、y2＝12x(x＞0) C、y2＝6x D、y2＝6x(x＞0) [7: 答案：A；]
平面上动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，则动点P的轨迹方程为( [endnoteRef:8] )
A． B． C．或 D．或
[8: 答案：D；]
在Rt△ABC中，，动点P的轨迹为曲线E，曲线E过点C且满足|PA|＋|PB|为常数。求曲线E的方程；（相关数据： [endnoteRef:9]） [9: 答案：；
【解析】本试题主要是考查了椭圆方程求解以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。
（1）根据已知条件，易知，又因为，所以，
所以，
由|PA|＋|PB|的值为常数知动点P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆
（2）联立方程组，结合韦达定理，表示得到参数k的等式，进而求解其范围。
解：（1）易知，又因为，所以，
所以，
由|PA|＋|PB|的值为常数知动点P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆 －－－－－－4分
其中 －－－－－－6分
（2）假设L存在，因为L与直线相交，所以直线L有斜率，
设L的方程为 －－－－－－－－－－－－－－－－7分
由得 （*） －－－－－－9分
因为直线L与椭圆有两个交点
所以（*）的判别式 ① －－－－－10分
设，则 －－－－－－－－－－－－－11分
因为MN被直线平分
所以 ② －－－－－－－－－－12分
把②代入①得
因为 所以 －－－－－－－－－－－－－－－13分
所以所以或
即直线L的斜率取值范围是 －－－－－－－－－－－－14分
]
《圆锥曲线》专题34－2 定义法求轨迹方程
已知ABC的一边BC的长为6，周长为16，则顶点A的轨迹是什么？ [endnoteRef:10] . [10: 答案：椭圆；]
已知ΔABC中，A，B，C所对应的边为a，b，c，且a＞c＞b，a，c，b成等差数列，|AB|＝2，
求顶点C的轨迹方程（[endnoteRef:11]） [11: 答案：(─2＜x＜0)；
【解析】|BC|＋|CA|＝4＞2，由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2， 短轴长为2， ∴椭圆方程为，
又a＞b， ∴点C在y轴左侧，必有x＜0，而C点在x轴上时不能构成三角形，故x≠─2，
因此点C的轨迹方程是：(─2＜x＜0)]
已知圆C的方程为，圆心C关于原点对称的点为A，P是圆上任一点，线段的垂直平分线交于点.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（[endnoteRef:12]）
[12: 答案：；]
若， 则点M的轨迹方程是 [endnoteRef:13] . [13: 答案：；]
一动点P到点F(2，0)的距离比它到y轴的距离大2，则点P的轨迹方程是 .（[endnoteRef:14]） [14: 答案：（）或）；]
《圆锥曲线》专题34－3 定义法求轨迹方程
已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|＝|BC|＝6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于L的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程. （[endnoteRef:15]）
[15: 答案：；
【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点， 两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|＝|BD|，|PD|＝|PE|，|CA|＝|CE|，故|PB|＋|PC|＝|BD|＋|PD|＋|PC|＝|BA|＋|PE|＋|PC|
＝|BA|＋|CE|＝|AB|＋|CA|＝6＋12＝18＞6＝|BC|，故由椭圆定义知，
点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，
以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为：
评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。 ]
在周长为定值的中，已知，动点的运动轨迹为曲线G，且当动点运动时，有最小值，|网以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，求曲线G的方程. （[endnoteRef:16]） [16: 答案：；]
已知点是圆上的动点，圆心为，是圆内的定点；的中垂线交于点．（1）求点的轨迹的方程；（[endnoteRef:17]） [17: 答案：；]
已知双曲线过点A（－2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，则它的另一个焦点的轨迹是一个什么图形呢？（[endnoteRef:18]说类型，不算出式子） [18: 答案： （y≠0）
提示：易知
由双曲线定义知
即
① 即
此时点的轨迹为线段AB的中垂线，其方程为x＝1(y≠0)
② 即
此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为 （y≠0）]
已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且。求椭圆C1的方程；（ [endnoteRef:19]）
[19: 答案：；]
《圆锥曲线》专题34－4 定义法求轨迹方程
平面内到点、距离之和为的点的轨迹为( [endnoteRef:20] )
A．椭圆 B．一条射线 C．两条射线 D．一条线段
[20: 答案：D； ]
设，为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，若向量，
，且.求点的轨迹的方程；（[endnoteRef:21]） [21: 答案：；
【解析】（1）由，得，设则动点满足，所以点在椭圆上，且椭圆的.
所以轨迹的方程为.]
已知椭圆（）的左、右焦点分别是，，Q是
椭圆外的动点，满足，点P是线段与该椭圆的交点。点T在线段上，并且满足，，求点T的轨迹C的方程；（[endnoteRef:22]）
[22: 答案：；
]
已知A（7，0）、B（7，0）、C（2，－12），一个椭圆以C为焦点，且过A、B两点，则椭圆另一焦点的轨迹方程是 。（[endnoteRef:23]） [23: 答案：；
]
已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合， 椭圆与抛物线在第一象限的交点为，.求椭圆的方程； （[endnoteRef:24]） [24: 答案：；]