《圆锥曲线》专题30-1 直接法求轨迹方程(复习、高考用)
(4套,4页,含答案)
知识点:
直接法求轨迹方程: 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,易于表述成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法;
设动点P(x,y), 与x轴的距离,表示为,与y轴的距离,表示为; 与直线的距离,表示为,与直线的距离,表示为; 与点(a,b)之间的距离,表示为; 与点(a,b)之间的直线斜率,表示为,其中;
典型例题1:
点M到一个定点F(0,2)的距离和它到一条定直线y=8的距离之比是1∶2,则M点的轨迹方程
是___[endnoteRef:0]____. [0: 答案:]
已知F(2,0),F关于y轴的对称点为E,曲线W上任意一点Q满足:直线FQ和直线EQ的斜率之积为。求曲线W的方程;[endnoteRef:1] [1: 解:(1)由题意可知:,设曲线W上任意一点坐标Q(x,y),则:
,又
整理得:,所以曲线W的方程为:. ................5分
是抛物线的焦点,,则抛物线的方程为.
设直线l的方程为,将直线l的方程代入曲线方程,整理得:,
又因为可得:
又因为B在抛物线上,,整理得:,又,直线l的方程为: ................12分
注:如果设的方程为,计算量较小。]
随堂练习1:
已知点A()、B(3,0),动点M到A与B的距离比为常数,求点M的轨迹方程。([endnoteRef:2]) [2: 答案:]
已知点A(-5,0),B(5,0),直线AM,BM的交点为M,AM,BM的斜率之积为,则点M的轨迹方程是( [endnoteRef:3] )
A. B. C. D.
[3: 答案:D;]
知识点:
涉向量计算: 向量运算相关公式 若,,则= 。 若则 。 若,则= [endnoteRef:4] 。 [4: 答案:(1)(2)(3)] 若,,则= 若,则|| , 若,,则 。 若,,则 ( ) 若,,则 [endnoteRef:5] 。 [5: 答案:(1) (2);;(3) ;(4);(5);]
典型例题:
已知两点M(-2,0)、N( 2,0),点P为坐标平面内的动点,满足,
则动点P(x,y)的轨迹方程为 ( [endnoteRef:6] )
(A) (B) (C) (D)
[6: 答案:B;]
随堂练习:
已知A(—2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足,则点P的轨迹是 ( [endnoteRef:7] )
(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 [7: 答案:D;]
在平面直角坐标系xoy中,已知三点O(0,0),A(—1,1),B(1,1),曲线C上任意—点
M(x,y)满足:.求曲线C的方程;([endnoteRef:8]) [8: 答案:;]
《圆锥曲线》专题30-2 直接法求轨迹方程(复习、高考用)
动点P到直线x=1的距离与它到点A(4,0)的距离之比为1:2,则P点的轨迹方程是( [endnoteRef:9] )
[9: 答案:;]
已知两圆的圆心分别为,P为一个动点,
且直线的斜率之积为,求动点P的轨迹M的方程;([endnoteRef:10]) [10: 答案:; ]
设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若B=2P,且O·A=1.求P点的轨迹方程.[endnoteRef:11] [11: 答案:x2+3y2=1(x>0,y>0);
解析: 由B=2P,P(x,y)可得B(0,3y),A,
∴A=.
∵Q与P关于y轴对称,
∴Q(-x,y),且=(-x,y).
由O·A=1得x2+3y2=1(x>0,y>0).]
已知A(-1,0),B(1,0),且·=0,则动点M的轨迹方程是( [endnoteRef:12] )
A.x2+y2=1 B.x2+y2=2 C.x2+y2=1(x≠±1) D.x2+y2=2(x≠±) [12: 答案:A;
解析: 设动点M(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y).
由·=0,得(-1-x)(1-x)+(-y)2=0,即x2+y2=1.故选A.]
《圆锥曲线》专题30-3 直接法求轨迹方程(复习、高考用)
平面上动点到点的距离比它到直线的距离小.(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程;(Ⅱ)([endnoteRef:13])
[13: 答案:解:(Ⅰ)设动点的坐标为,由题意知:
,且,、
,化简得:
,即为动点轨迹的方程; …………………4分
(Ⅱ)设点,由题意直线的斜率
存在且,设其方程为,则,得
由,消去得,
于是恒成立,且,
又,
…………………7分
与方向相同,故,
,
当且仅当时取等号,
故的最小值为. …………………12分
解法二:(Ⅱ)设点,由题意直线的斜率
存在且,设其方程为,
由,消去得,
于是恒成立,且 …………………7分
当且仅当时取等号,
故的最小值为. …………………12分 ]
与点A(-1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为-1的动点P的轨迹方程是( [endnoteRef:14] )
A.x2+y2=3 B.x2+2xy=1(x≠±1) C.y= D.x2+y2=9(x≠0) [14: 答案:B;
解析: 设P(x,y),∵kPA+kPB=-1,∴+=-1,整理得x2+2xy=1(x≠±1).]
如图(5),设点、分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆C上任意一点,且最小值为0.求椭圆C的方程;([endnoteRef:15]) [15: 答案:;]
在平面直角坐标系中,已知点A(-1, 0)、B(1, 0)、C(0, -1),N为y轴上的点,
MN垂直于y轴,且点M满足(O为坐标原点),点M的轨迹为曲线T.
(Ⅰ)求曲线T的方程;(Ⅱ)([endnoteRef:16] )
[16: 解:(Ⅰ)设点,依题意知,
∵,---------------------------2分
由得,即,
∴所求曲线T的方程为------------------- 4分
(Ⅱ)解法1:设,
由得
则---------------------------5分
∴直线l的方程为:
令得,即点Q的坐标为--------6分
设是以PQ为直径的圆上任意一点,则由,
得以PQ为直径的圆的方程为:------①-----------8分
在①中,令得,------------------------②
, -----------------------------------------------------------③
由②③联立解得或 --------------------------------------------------------------10分
将代入①式,左边==右边,
即以PQ为直径的圆过点,--------------------------------------------------------------------11分
将代入①式,左边右边,
∴以为直径的圆恒过点,该定点的坐标为--------------------------------------------12分
【解法2:设,由得
则 -----------------------------------------------------------------------------------------5分
∴直线l的方程为:
令得,即点Q的坐标为-------------------------------------------6分
设是以PQ为直径的圆上任意一点,则由,
得以PQ为直径的圆的方程为:------①------------8分
假设以PQ为直径的圆过定点,
则,
,
,
,
令,上式恒成立,
∴以为直径的圆恒过定点,该点的坐标为----------------------------------------------12分】
【解法3:设,由得
则------------------------------------------------------------------------------------------5分
∴直线l的方程为:
令得,即点Q的坐标为------------------------------------------6分
假设以PQ为直径的圆恒过定点H,则根据对称性,点H必在y轴上,设,
则由得------① --------------------------------------8分
,,
∴,即以为直径的圆恒过定点,该点的坐标为--------------------------12分]
《圆锥曲线》专题30-4 直接法求轨迹方程(复习、高考用)
已知点与关于原点对称,直线,相交于点,且它们的斜率之积是.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;(Ⅱ)( [endnoteRef:17])
[17: 解:(1)设点的坐标为,……………………………… ………………1分
因为点与关于原点对称,所以,
因此,直线,的斜率为,
由已知有,………………………………………………3分
化简,得,
所以点的轨迹的方程为.…………………………………4分
(2)当直线的斜率不存在时,则直线的方程为,则点的坐标为,
.……………………………………………5分
当直线的斜率存在时,设斜率为 ,则直线的方程为,
设,
由,消去得,
………………6分
由已知,
所以,由题意,,
则,
………………7分
而原点到直线的距离为, ………………8分
所以
………………9分
因为,所以,且,且,
所以,从而 ………………11分
综上可知,的面积. ………………12分 ]
定义:在平面内,点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离.在平面直角坐标系中,已知圆:及点,动点到圆的距离与到点的距离相等,记点的轨迹为曲线.(Ⅰ)求曲线的方程;(Ⅱ)([endnoteRef:18]) [18: 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由分析知:点在圆内且不为圆心,故,
所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆, ……………2分
设椭圆方程为,则,
所以,故曲线的方程为 ……………5分
(Ⅱ)设,则,则直线的斜率为,又,所以直线的斜率是,记,设直线的方程为,由题意知,由得:.∴,∴,由题意知,,
所以, ……………9分
所以直线的方程为,令,得,即.
可得. ……………11分
所以,即 ……………12分
]
已知点,直线:,P为平面上的动点,过点P作直线的垂线,垂足为H,
且满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程;(2).([endnoteRef:19]) [19: 解:(1)设,则,
,,
,,即轨迹的方程为.
(II)法一:显然直线的斜率存在,设的方程为,
由,消去可得:,
设,,,
,,
即,
,即
,,即,
,
到直线的距离,
,解得,
直线的方程为或.
法2:(Ⅱ)设,AB的中点为
则
直线的方程为,
过点A,B分别作,因为为AB 的中点,
所以在中,
故是直角梯形的中位线,可得,从而
点到直线的距离为:
因为E点在直线上,所以有,从而
由解得
所以直线的方程为或.
]
已知椭圆的离心率为,、分别为椭圆C的左、右顶点,
点P(2,-1)满足.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ).[endnoteRef:20] [20: 解:(Ⅰ)依题意,、,,
∴,………………………………………………2分
由,,得,∵,
∴,,………………………………………………………………4分
故椭圆的方程为. ……………………………………………………5分
(Ⅱ)假设存在满足条件的点. 当直线与轴垂直时,
它与椭圆只有一个交点,不满足题意. …………………………………………………6分
因此直线的斜率存在,设:,由,消得
, …………………………………………7分
设、,则,,
∵
, ………10分
∴要使对任意实数,为定值,则只有,此时,.
故在轴上存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值.…………12分
]