第三章圆锥曲线的方程：直接法求轨迹方程 学案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案）

《圆锥曲线》专题30－1 直接法求轨迹方程（复习、高考用）
（4套，4页，含答案）
知识点：
直接法求轨迹方程： 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；
设动点P（x，y）， 与x轴的距离，表示为，与y轴的距离，表示为； 与直线的距离，表示为，与直线的距离，表示为； 与点(a，b)之间的距离，表示为； 与点(a，b)之间的直线斜率，表示为，其中；
典型例题1：
点M到一个定点F(0，2)的距离和它到一条定直线y＝8的距离之比是1∶2，则M点的轨迹方程
是___[endnoteRef:0]____. [0: 答案：]
已知F(2，0)，F关于y轴的对称点为E，曲线W上任意一点Q满足：直线FQ和直线EQ的斜率之积为。求曲线W的方程；[endnoteRef:1] [1: 解：（1）由题意可知：，设曲线W上任意一点坐标Q（x，y），则：
，又
整理得：，所以曲线W的方程为：. ................5分
是抛物线的焦点，，则抛物线的方程为.
设直线l的方程为，将直线l的方程代入曲线方程，整理得：，
又因为可得：
又因为B在抛物线上，，整理得：，又，直线l的方程为： ................12分
注：如果设的方程为，计算量较小。]
随堂练习1：
已知点A（）、B（3，0），动点M到A与B的距离比为常数，求点M的轨迹方程。（[endnoteRef:2]） [2: 答案：]
已知点A(－5，0)，B(5，0)，直线AM，BM的交点为M，AM，BM的斜率之积为，则点M的轨迹方程是（ [endnoteRef:3] ）
A. B. C. D.
[3: 答案：D；]
知识点：
涉向量计算： 向量运算相关公式 若，，则＝ 。 若则 。 若，则＝ [endnoteRef:4] 。 [4: 答案：（1）（2）（3）] 若，，则＝ 若，则|| ， 若，，则 。 若，，则 （ ） 若，，则 [endnoteRef:5] 。 [5: 答案：（1） （2）；；（3） ；（4）；（5）；]
典型例题：
已知两点M(－2，0)、N( 2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足，
则动点P(x，y)的轨迹方程为 ( [endnoteRef:6] )
(A) (B) (C) (D)
[6: 答案：B；]
随堂练习：
已知A(—2，0)、B(3，0)，动点P(x，y)满足，则点P的轨迹是 ( [endnoteRef:7] )
(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 [7: 答案：D；]
在平面直角坐标系xoy中，已知三点O（0，0），A（—1，1），B（1，1），曲线C上任意—点
M(x，y)满足：．求曲线C的方程；（[endnoteRef:8]） [8: 答案：；]
《圆锥曲线》专题30－2 直接法求轨迹方程（复习、高考用）
动点P到直线x＝1的距离与它到点A（4，0）的距离之比为1：2，则P点的轨迹方程是（ [endnoteRef:9] ）
[9: 答案：；]
已知两圆的圆心分别为，P为一个动点，
且直线的斜率之积为，求动点P的轨迹M的方程；（[endnoteRef:10]） [10: 答案：； ]
设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若B＝2P，且O·A＝1.求P点的轨迹方程．[endnoteRef:11] [11: 答案：x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)；
解析：　由B＝2P，P(x，y)可得B(0，3y)，A，
∴A＝.
∵Q与P关于y轴对称，
∴Q(－x，y)，且＝(－x，y)．
由O·A＝1得x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．]
已知A(－1，0)，B(1，0)，且·＝0，则动点M的轨迹方程是(　[endnoteRef:12]　)
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝2 C．x2＋y2＝1(x≠±1) D．x2＋y2＝2(x≠±) [12: 答案：A；
解析：　设动点M(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)．
由·＝0，得(－1－x)(1－x)＋(－y)2＝0，即x2＋y2＝1.故选A.]
《圆锥曲线》专题30－3 直接法求轨迹方程（复习、高考用）
平面上动点到点的距离比它到直线的距离小．(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）（[endnoteRef:13]）
[13: 答案：解：(Ⅰ)设动点的坐标为，由题意知：
，且，、
，化简得：
，即为动点轨迹的方程； …………………4分
（Ⅱ）设点，由题意直线的斜率
存在且，设其方程为，则，得
由，消去得，
于是恒成立，且，
又，
…………………7分
与方向相同，故，
，
当且仅当时取等号，
故的最小值为． …………………12分
解法二：（Ⅱ）设点，由题意直线的斜率
存在且，设其方程为，
由，消去得，
于是恒成立，且 …………………7分
当且仅当时取等号，
故的最小值为． …………………12分 ]
与点A(－1，0)和点B(1，0)连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是(　[endnoteRef:14]　)
A．x2＋y2＝3　　　 B．x2＋2xy＝1(x≠±1) C．y＝ D．x2＋y2＝9(x≠0) [14: 答案：B；
解析：　设P(x，y)，∵kPA＋kPB＝－1，∴＋＝－1，整理得x2＋2xy＝1(x≠±1)．]
如图（5），设点、分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．求椭圆C的方程；（[endnoteRef:15]） [15: 答案：；]
在平面直角坐标系中，已知点A（－1， 0）、B（1， 0）、C（0， －1），N为y轴上的点，
MN垂直于y轴，且点M满足（O为坐标原点），点M的轨迹为曲线T．
(Ⅰ)求曲线T的方程；(Ⅱ)（[endnoteRef:16] ）
[16: 解：（Ⅰ）设点，依题意知，
∵，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分
由得，即，
∴所求曲线T的方程为－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 4分
（Ⅱ）解法1：设，
由得
则－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分
∴直线l的方程为：
令得，即点Q的坐标为－－－－－－－－6分
设是以PQ为直径的圆上任意一点，则由，
得以PQ为直径的圆的方程为：－－－－－－①－－－－－－－－－－－8分
在①中，令得，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－②
， －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－③
由②③联立解得或 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－10分
将代入①式，左边＝＝右边，
即以PQ为直径的圆过点，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－11分
将代入①式，左边右边，
∴以为直径的圆恒过点，该定点的坐标为－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－12分
【解法2：设，由得
则 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分
∴直线l的方程为：
令得，即点Q的坐标为－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－6分
设是以PQ为直径的圆上任意一点，则由，
得以PQ为直径的圆的方程为：－－－－－－①－－－－－－－－－－－－8分
假设以PQ为直径的圆过定点，
则，
，
，
，
令，上式恒成立，
∴以为直径的圆恒过定点，该点的坐标为－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－12分】
【解法3：设，由得
则－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分
∴直线l的方程为：
令得，即点Q的坐标为－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－6分
假设以PQ为直径的圆恒过定点H，则根据对称性，点H必在y轴上，设，
则由得－－－－－－① －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－8分
，，
∴，即以为直径的圆恒过定点，该点的坐标为－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－12分]
《圆锥曲线》专题30－4 直接法求轨迹方程（复习、高考用）
已知点与关于原点对称，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）（ [endnoteRef:17]）
[17: 解：（1）设点的坐标为，……………………………… ………………1分
因为点与关于原点对称，所以，
因此，直线，的斜率为，
由已知有，………………………………………………3分
化简，得，
所以点的轨迹的方程为．…………………………………4分
（2）当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，则点的坐标为，
．……………………………………………5分
当直线的斜率存在时，设斜率为 ，则直线的方程为，
设，
由，消去得，
………………6分
由已知，
所以，由题意，，
则，
………………7分
而原点到直线的距离为， ………………8分
所以
………………9分
因为，所以，且，且，
所以，从而 ………………11分
综上可知，的面积. ………………12分 ]
定义：在平面内，点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离.在平面直角坐标系中，已知圆：及点，动点到圆的距离与到点的距离相等，记点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）（[endnoteRef:18]） [18: 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由分析知：点在圆内且不为圆心，故，
所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆， ……………2分
设椭圆方程为，则，
所以，故曲线的方程为 ……………5分
（Ⅱ）设，则，则直线的斜率为，又，所以直线的斜率是，记，设直线的方程为，由题意知，由得：.∴，∴，由题意知，，
所以， ……………9分
所以直线的方程为，令，得，即.
可得. ……………11分
所以，即 ……………12分
]
已知点，直线：，P为平面上的动点，过点P作直线的垂线，垂足为H，
且满足．
（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）．（[endnoteRef:19]） [19: 解：（1）设，则，
，，
，，即轨迹的方程为.
（II）法一：显然直线的斜率存在，设的方程为，
由，消去可得：，
设，，，
，，
即，
，即
，，即，
，
到直线的距离，
，解得，
直线的方程为或．
法2：（Ⅱ）设，AB的中点为
则
直线的方程为，
过点A，B分别作，因为为AB 的中点，
所以在中，
故是直角梯形的中位线，可得，从而
点到直线的距离为：
因为E点在直线上，所以有，从而
由解得
所以直线的方程为或．
]
已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆C的左、右顶点，
点P（2，－1）满足．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）．[endnoteRef:20] [20: 解：（Ⅰ）依题意，、，，
∴，………………………………………………2分
由，，得，∵，
∴，，………………………………………………………………4分
故椭圆的方程为． ……………………………………………………5分
（Ⅱ）假设存在满足条件的点. 当直线与轴垂直时，
它与椭圆只有一个交点，不满足题意. …………………………………………………6分
因此直线的斜率存在，设：，由，消得
， …………………………………………7分
设、，则，，
∵
， ………10分
∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时，．
故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．…………12分
]