高中数学人教新课标B版必修3--《3.1.4 概率的加法公式》课件2(共36张PPT)

(共36张PPT)
3.1.4 概率的加法公式
温故知新
频率：在n次重复试验中，事件A发生了m次，则事
件A发生的频率为________，将频率近似的
看成概率，则事件A发生的概率为_______.
预习·初探
导引 抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设
事件A=“点数为奇数”，
事件B=“点数为2”，
问题1：事件A和事件B能不能同时发生？
问题2：事件A和事件B这两个事件叫做什么事件？
答：互斥事件
问题3：怎样定义互斥事件？
互：相互 ；斥：排斥
你还能举出一些生活其他例子吗？
定义2(等价定义)：
事件 定义
互斥
事件
在同一试验中,不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件 (或称为互不相容事件).
事件A，B含有的基本事件组成的集合分别为A，B. 若A∩B=Φ，则称事件A，B为互斥事件.
集合角
度理解
A
B
U
图形
表示
预习·初探
2、从1~9这九个数字中任意取两个数,分别有下列事件:
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数;
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
以上事件中是互斥事件的是(　　)
A.① B.②④ C.③ D.①③
C
初 体 验
答：是互斥事件
1、把红、黑、蓝、白4张纸随机地分发给甲、乙、丙、丁
4个人，每人分得1张，事件A=“甲分得红牌”与事件
B=“乙分得红牌”是不是互斥事件？
导引 抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设
事件A=“点数为奇数”，
事件B=“点数为2”，
事件C=“出现奇数点或2点”。
深入·探索
问题4：事件C是不是随机事件，若把A、B、C都看作集合，
则事件C与事件A、B有怎样的关系？
答：事件C也是随机事件。
若事件A和事件B中至少有一个发生，则C发生；若C发
生，则A、B中至少有一个发生，所以从集合的观点可
以看出集合C是集合A、B的并集。
定义
事件A与B的并（和）
C＝A∪B
至少有一个发生
A，B都发生
一般地，由事件A和B ______________
(即A发生，或B发生或 )
所构成的事件C，称为事件A与B的并(或
和)，记作___________.
集合角
度理解
事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合.
图形
表示
如图中阴影部分所
表示的就是A∪B.
深入·探索
导引 抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设
(1)事件A=“点数为2”,事件B=“点数为3”
(2)事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4”
(3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”
(4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3”
事件A ∪ B发生的意义:事件A和事件B中至少有一个发生。
当A与B互斥时,A ∪ B事件指“A发生B不发生”和“A不
发生B发生”。
（1） 是，A∪B = “点数为2或3”;
上面的事件A与事件B是互斥事件吗？写出每组事件的并.
（2） 是，A∪B = “点数为奇数或4”;
（3） 是， A∪B =“点数不超过3或点数超过3”,即事件全体;
（4） 不是，A∪B =“点数超过3”即事件B.
【尝试解答】
再 体 验
对导引中（1） 、（2） 、 （3） 中每一对事件,完成下表
导引 抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设
(1)事件A=“点数为2”,事件B=“点数为3”
(2)事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4”
(3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”
(1) (2) (3)
P(A)
P(B)
P(A)+P(B)
P(A∪B)
1/6
1/6
1/3
1/3
1/2
1/6
2/3
2/3
1/2
1/2
1
1
问题6 同时根据你的结果,你发现两个事件概率的和与两个事件的并的概率有什么样大小关系
P(A ∪ B)=P(A)+P(B)
解疑
研讨·发现
（1） A∪B = “点数为2或3”
（2） A∪B = “点数为奇数或4”
（3） A∪B =“点数不超过3或点数超过3”,即事件全体
P(A)
P(B)
P(A)+P(B)
P(A∪B)
1/2
2/3
1/2
1/6
P(A)+P(B) ≠ P(A∪B)
问题7 导引中的(4)P(A)+P(B)与P(A∪B)适合以上的结论吗
你能说出原因吗？
事件A、B不互斥
导引 抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设
(4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3”
对导引中（4） 的事件,完成下表
（4） A∪B =“点数为5或点数超过3”即事件B
研讨·发现
问题8 尝试总结一下什么样的事件才满足P(A ∪ B)=P(A)+P(B)？
在一个随机事试验中,如果事件A和事件B是互斥
事件,那么
P(A ∪ B)=P(A)+P(B)
【尝试解疑】
抽象概括
假定A、B为互斥事件,在n次试验中, 事件A出现的频数为n1,事件B出现的频数为n2。
事件A∪B出现的频数正好是
n1＋n2
由概率的统计定义可知, P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
如果用μn (A)表示在n次试验中事件A出现的频率,
则有μn (A∪B)＝μn (A)＋μn (B)
理论证明
问题9 一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那
么事件A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An发生（即A1, A2，…An
中至少有一个发生）的概率，与这n个事件分别生
的概率和之间的大小关系？
P（A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
互斥事件的概
率加法公式
猜想·拓展
例1 （1）P(A)=0.1，P(B)=0.2，则
P(A ∪ B)=（ ）
A、0.3 B、0.2
C、0.1 D、不确定
（2）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 0.5 ，
乙获胜的概率是 0.31，则乙不输的概率是
D
解答 0.81
微 体 验
微 体 验
例2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，
在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，
在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取
得80 分以上的成绩的概率和小明及格的概率．
解:根据题意，小明的数学成绩在给出的四个范围内的事件
是互斥的，记B＝“考试成绩在90分以上”，
C＝“考试成绩在80～89分”，D＝“考试成绩在70～79分”，
E＝“考试成绩在60～69分”，A＝“考试成绩在80分以上”
由互斥事件的概率加法公式可知
P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
由互斥事件的概率加法公式应有
P(F)＝P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)
＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
(3)
P(A)
P(B)
P(A)+P(B)
P(A∪B)
1/2
1/2
1
1
问题10 在导引（3）中，则事件A与事件B能不能同
时发生，或者都不发生？为什么？
导引 抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设
(3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”
事件A与事件B是互斥事件，所以不可能同时发生，掷一次骰子的点数要么超过3，要么不超过3，事件A与事件B中必有一个发生。
在(3)中,我们发现有P(A ∪ B)=P(A)+P(B)=1
事件A和B互斥,概率为1,说明事件A ∪ B必然事件,
即A和B中必有一个发生.
【尝试解疑】
研讨·发现
问题11 我们把问题10中的事件A、B称为对立事件，
根据你的理解，你能否给对立事件下个定义？
定义
对立事件
集合角
度理解
不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做对立事件。事件A的对立事件记为事件
A
图形
表示
如图中阴影部分所表示的就是A与 的关系
延伸探究
事件A∩ =Φ，A∪ 是基本事件空间
若事件A的对立事件为 ，则 ，下面我们共同证明这个公式。
=1-P(A)
延伸探究
即 =1-P(A)
例3 判断下列给出的每对事件，⑴是否为互斥事件，
⑵是否为对立事件，并说明理由.从40张扑克牌
（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1—10各10张）
中，任取一张，
(Ⅰ)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(Ⅱ)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(Ⅲ)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点
数大于9”.
(Ⅰ)是互斥事件，不是对立事件；
(Ⅱ)既是互斥事件，又是对立事件；
(Ⅲ)不是互斥事件，当然不是对立事件.
【尝试解答】
微 体 验
例4 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）互斥事件一定对立。（ ）
（2）对立事件一定互斥。（ ）
（3）互斥事件不一定对立。（ ）
（4）事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率。（ ）
（5）事件A与B互斥，则有P(A)=1-P(B)。（ ）
（6）若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B一定是对立事件。（ ）
总结：(1)互斥不一定对立.,对立一定互斥。
(2)A与B对立，概率和为1；
概率和为1，A、B不一定对立。
微 体 验
√
√
×
×
×
×
微 体 验
例5 某战士射击一次，问：
(1)若事件A=“中靶”的概率为0.95，则 的概率为多少？
(2)若事件B=“中靶环数大于5”的概率为0.7，那么事件
C=“中靶环数小于6”的概率为多少？
(3)事件D=“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？
解 (1)因为事件A与 互为对立事件，
P( )=1-P(A)=1-0.95=0.05;
(2)事件B与事件C也是互为对立事件，所以
P(C)=1-P(B)=0.3;
(3)事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中
靶的概率，即P(D)=P(C)-P( )=0.3-0.05=0.25.
1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，
那么互斥而不对立的两个事件是 (　　)
A．至少有1个黑球与都是黑球
B．至少有1个黑球与至少有1个红球
C．恰有1个黑球与恰有2个黑球
D．至少有1个黑球与都是红球
当堂评价
2.一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖
项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率
为0.25，则不中奖的概率为________.
3．A、B为互斥事件，P(A)＝0.3，
P(A∪B)＝0.6，则P(B)＝________.
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
4、据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应
概率如下表：
当堂评价
答案 1、C; 2、0.65; 3、0.3；
4、（1）0.56；（2）0.74
2、【解析】中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与
不中奖互为对立事件，所以不中奖的概
率为1－0.35＝0.65.
3、【解析】 由互斥事件的概率加法公式知
P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.6－0.3＝0.3.
当堂评价
1、[解析]　当“两个球都是黑球”发生时，事件A＝“至少有一个黑球”也同时发生；当B＝“恰有一个红球、一个黑球”发生时，“至少有一个红球”与A都发生了；A发生时，“都是红球”不发生；A不发生时，“都是红球”发生；“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”不会同时发生，当“都是红球”发生时，它们都不发生．故选C.
记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A， B，C，则A, B，
C 两两互斥．
(1) 至多2人排队等候的概率是
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
【自主解答】　
(2) 至少2人排队等候的反面是“等候人数为
0或1”，而等候人数为0或1的概率为
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.16＝0.26，
故至少2人排队等候的概率为1－0.26＝0.74.
当堂评价
教师总结
1、互斥事件与对立事件判定
（1）利用基本概念：
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生。
（2）利用集合的观点来判断：
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B。
① 事件A与B互斥。即集合A∩B=Φ;
②事件A与B对立，即集合A∩B=Φ，且A∪B=I（全集）。
2、运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件
之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥
事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率然后用
加法公式求出结果。
3、求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将求事件转化
成彼此互斥的事件的并（和）；二是先求其对立事件的
概率，然后再运用对立事件公式求解。
请同学们自己总结一下这
节课合作探究学习的知识
课堂小节
作业：（1）P100 练习和习题
（2）课后评价
1、某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记
事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，
事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，
事件E为“一种报纸也不订”．
判断下列各对事件是不是互斥事件，如果是，再判断
它们是不是对立事件：
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
课后评价
解析 (1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即
事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可
能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B发生可导
致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发
生，故B与E还是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报”中可能只订乙报，即有可能不甲
报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生， 故B与D不
互斥．
(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”、
“只订乙报”、“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种
报”中有这些可能：“什么也不订”、“只订甲报”、“只
订乙报”．这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种
可能，事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥．
课后评价
解　易知A、B、C、D互斥，且E＝A＋B＋C＋
D，所以由互斥事件的概率加法公式，
得P(E)＝P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.
2、某家庭电话在家中有人时，打进的电话，
响第1声时被接为事件A ，其概率为0.1，
响第2声时被接为事件B，其概率为0.3，
响第3声时被接为事件C，其概率为0.4，
响第4声时被接为事件D，其概率为0.1，
那么电话在响前4声内被接为事件E，则事件E的概率
是多少？
课后评价
3、某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4，
（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；
（2）求他不乘轮船去的概率；
（3）如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可
能是乘何种交通工具去的？
解：记“他乘火车去”为事件A，，“他乘轮船去”为事件B，
“他乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D，这
四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，
（1）故P(A∪C)=0.4；
（2）设他不乘轮船去的概率为P，则P=1－P(B)=0.8；
（3）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有可能乘火车或乘
轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去。
课后评价
4、某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环
的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在
一次射击中：
（1）求射击1次，至射中10环或7环的概率；
（2）求射击1次，命中不足7环的概率.
(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于
在一 次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥
事件.“射中10环或7环”的事件为A∪B.
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
【尝试解答】
课后评价
(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4
环， 3环，2环，1环，0环，但由于这些概率都未知，故
不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面大于
等于7环，即7环，8环，9环，10环，由于此两事件必有
一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事
件的方法处理.设“不够7环”为事件E，则事件为“射中
7 环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射
中 8环”等彼此是互斥事件，
∴P＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，
从而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03.
∴不够7环的概率是0.03.
课后评价
年最高水位(单位：m) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18)
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
5、在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围
内的概率如下表：计算在同一时期内，河流这一处的年
最高水位在下列范围内的概率：
(1)[10,16)(m)；
(2)[8,12)(m)；
(3)水位不低于12 m.
课后评价
解　设水位在[a，b)范围的概率为P([a，b))．
由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，
由概率加法公式得：
(1)P([10,16))＝P([10,12))＋P([12,14))＋P([14,16))
＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)P([8,12))＝P([8,10))＋P([10,12))
＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)记“水位不低于12 m”为事件A，
P(A)＝1－P([8,12))＝1－0.38＝0.62.
课后评价
6、据最近中央电视台报道，学生的视力下降是十分严峻的
问题，通过随机抽样调查某校1 000名在校生，其中有
200名学生裸眼视力在0.6以下，有450名学生裸眼视力在
0.6～1.0，剩下的能达到1.0及以上．问：(1)这个学校在
校生眼睛需要配镜或治疗(视力不 足1.0)的概率为多少？
(2)这个学校在校生眼睛合格(视力达到1.0及以上)的概率为
多少？
课后评价
7、黄种人群中各种血型的人所占的比如表所示：
血型 A B AB O
该血型人所占比/% 28 29 8 35
已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的
人，任何人的血都可以输给 AB型血的人，其他不同血型的人
不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，
问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
课后评价