第1章 我们与数学同行单元测试卷（困难）（含答案）

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苏科版初中数学七年级上册第一单元《数学与我们同行》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
首位证明质数无穷无尽的数学家是( )
A. 柏拉图 B. 欧几里德 C. 费马 D. 笛卡尔
下列所给数据中，能反映出一瓶矿泉水重量的是( )
A. 毫克 B. 克 C. 千克 D. 吨
某人的身份证号是，此人的出生年月( )
A. 年月 B. 年月 C. 年月 D. 年月
把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，那么幻方中的值是( )
A. B. C. D.
假定千克鸡蛋有个，那么万个鸡蛋的质量与下面哪一个选项最接近( )
A. 个人的质量 B. 头牛的质量
C. 只鸡的质量 D. 辆载重为吨的货车装满货物的质量
寸是电视机常用规格之一，寸约为拇指上面一节的长，则寸长相当于( )
A. 课本的宽度
B. 课桌的宽度
C. 黑板的高度
D. 粉笔的长度
火车票上的车次号有两个意义，一是数字越小表示车速越快，次为特快列车，次为普快列车，次为普客列车二是单数与双数表示不同的行驶方向，其中单数表示从北京开出，双数表示开往北京根据以上规定，北京开往阜宁的某一特快列车的车次号可能是( )
A. B. C. D.
观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、若，用含的式子表示这组数的和是( )
A. B. C. D.
观察下列树枝分叉的规律图，若第个图树枝数用表示，则的值为．( )

A. B. C. D.
如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第幅图形中“”的个数为，第幅图形中“”的个数为，第幅图形中“”的个数为，，以此类推，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，将一个边长为的正方形纸片分割成个部分，部分是边长为的正方形纸片面积的一半，部分是部分面积的一半，部分是部分面积的一半受此启发，则的值为．( )
A. B.
C. D.
如图，四个小朋友站成一排，老师按图中所示的规则数数，数到时对应的小朋友可得一朵红花，那么得红花的小朋友是( )
A. 小沈 B. 小叶
C. 小李 D. 小王
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
图所示的百子回归图是由，，，，无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“ ”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“”标示澳门面积，，同时它也是十阶幻方，其每行个数之和、每列个数之和、每条对角线个数之和均相等，则这个和为 ．
对正整数，记若，则的正因数中共有完全立方数为______个．
如图，某广场地面是用，，三种类型地砖平铺而成的三种类型地砖上表面图案如图所示现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块型地砖的位置记作，第二块型地砖的位置记作，，若位置恰好为型地砖，则正整数，须满足的条件是 ．
如图所示：用火柴棍摆“金鱼”．
按照如图所示的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
规律探究如图，是由若干个边长为的小正三角形组成的图形，第个图比第个图多一层，第个图比第个图多一层，依次类推．
第个图中阴影三角形的个数为______；非阴影三角形的个数为______．
第个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是：，求．
能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能，说明理由．
观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
认真观察，并在后面的横线上写出相应的等式．
结合观察下列点阵图，并在后面的横线上写出相应的等式．
通过猜想，写出中与第个点阵相对应的等式______．
某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
观察思考
当正方形地砖只有块时，等腰直角三角形地砖有块如图；当正方形地砖有块时，等腰直角三角形地砖有块如图；以此类推．
规律总结
若人行道上每增加块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加______ 块；
若一条这样的人行道一共有为正整数块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为______ 用含的代数式表示．
问题解决
现有块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
如图，先观察图形，再回答下列问题：
图中的点被隔开分成层，则第层有个点，第层有个点，第层有个点，第层有________个点．
如果要你继续画下去，那么第层有________个点．
如果某一层有个点，那么它是第________层．
第层与第层点的个数之和为________，前层点的个数之和为________，前层点的个数之和为________，你发现了什么规律？根据你的推测，前层点的个数之和是多少？
观察下列各式：
；；；
请你猜想：
________，________；
计算：；请写出推导过程
请你将猜想到的规律用含有自然数的代数式表达出来．
某餐厅中，一张桌子可坐人，有以下两种摆放方式：
Ⅰ有张桌子，用第一种摆设方式，可以坐______人；用第二种摆设方式，可以坐______人；
Ⅱ有张桌子，用第一种摆设方式可以坐______人；用第二种摆设方式，可以坐______人用含有的代数式表示；
Ⅲ一天中午，餐厅要接待位顾客共同就餐，但餐厅中只有张这样的长方形桌子可用，且每张拼成一张大桌子，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌，为什么？
【问题提出】
能否把一个正方形分割成个小正方形？小正方形大小可以不同，但不能重叠
【问题探究】
为了解决问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
探究一：
如图，把正方形的四条边等分把每条边分成相等的份，然后连接相对边的等分点就可以把正方形分割成个小正方形．
探究二：
如图，把正方形的四条边等分把每条边分成相等的份，然后连接相对边的等分点就可以把正方形分割成个小正方形．
如果再把图中相邻的个小正方形进行拼合，如图所示，则可以把一个正方形分割成个小正方形．
探究三：
把正方形的四条边等分把每条边分成相等的份，然后连接相对边的等分点就可以把正方形分割成____________个小正方形，如果再把相邻的个小正方形进行拼合，则可以把一个正方形分割成____________个小正方形．
【归纳结论】
根据以上探究思路，把一个正方形的四条边等分，然后连接相对边的等分点就可以把正方形分割成____________个小正方形．如果再把相邻的个小正方形进行拼合，则可以把一个正方形分割成____________个小正方形．
【问题解决】
把一个正方形的四条边____________等分，然后连接相对边的等分点就可以把正方形分割成____________个小正方形．如果把相邻的____________个小正方形进行拼合，则可以把一个正方形分割成个小正方形．
【拓展应用】
把一个立方块按如图所示的方式进行分割，则共分割成____________个小立方块．
某餐厅中，一张桌子可坐人，有以下两种摆放方式：
有张桌子，用第一种摆设方式，可以坐______人；用第二种摆设方式，可以坐______人；
当有张桌子时，用第一种摆设方式，可以坐______人；用第二种摆设方式可以坐______人用含有的代数式表示；
一天中午，餐厅要接待位顾客共同就餐，但餐厅中只有张这样的长方形桌子可用，且每张拼成一张大桌子，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌，为什么？
填空题
对于正整数，我们规定：若为奇数，则；若为偶数，则例如，若，，，，，依此规律进行下去，得到一列数，，，，，，为正整数，则______，______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是常识有关知识，根据数学常识进行解答即可．
【解答】
解：首位证明质数无穷无尽的数学家是费马．
故选C．
2.【答案】
【解析】解：能反映出一瓶矿泉水重量的是克．
故选：．
根据生活常识，即可得到一瓶矿泉水重量．
本题考查了数学常识，是基础题型，比较简单．
3.【答案】
【解析】解：身份证号码是，
此人的出生年月日为年月日．
故选：．
根据身份证号码的特点，从第位到第位数字表示出生年月日解答．
本题考查了用数字表示事件，熟悉身份证的号码特点是解题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了有理数的加法，解决此题的关键读懂题意．根据三阶幻方的特点及有理数的加法，可得答案．
【解答】
解：根据题意得：，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：根据题意可得万个鸡蛋的质量约为千克吨，
所以最接近的是辆载重为吨的货车装满货物的质量．
故选：．
首先算出万个鸡蛋的质量，然后与选项比较即可．
本题属于基础题，考查了估计的知识，解答时可联系生活实际去解．
6.【答案】
【解析】解：拇指上面一节的长约为左右，
则寸长约为左右，相当于课本的宽度．
故选：．
拇指上面一节的长约为左右，寸长寸长．
本题结合生活，考查估测能力．
7.【答案】
【解析】根据次为特快列车，从北京开出列车的车次号为单数得出答案．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了有理数的混合运算、列代数式及数式规律问题熟练掌握有理数的混合运算、列代数式及数式规律问题的相关知识是解题的关键．
本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：．
由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可．
【解答】
解：；
；
；
，
，
，
，
原式．
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了图形变化类的规律问题，根据图形可知每一个树枝上长着两个小树枝是本题的关键．
根据已知图中规律可得：，相减可得结论．
【解答】
解：由题意得：
第个图：，
第个图：，
第个图：，
第个图：，
第个图：，
．
10.【答案】
【解析】解：，，，，，；
，
故选：．
首先根据图形中“”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．
此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了图形与数字变化结合的知识，通过图形的变化与数字结合起来，找出二者的关系，进而求出题目答案．结合图形，可以发现，正方形面积为，是边长为的正方形纸片面积的一半，的面积等于，的面积等于，可得阴影部分的面积是，即的值等于大正方形的面积减去阴影部分的面积即可．
【解答】
解：部分是边长为的正方形纸片面积的一半，
部分是部分面积的一半，部分是部分面积的一半，
阴影部分的面积是，
，
故选B．
12.【答案】
【解析】解：去掉第一个数，每个数一循环，
，
所以时对应的小朋友与对应的小朋友是同一个．
故选：．
从图上可以看出，去掉第一个数，每个数一循环，用算出余数，再进一步确定的位置即可．
此题考查数字的排列规律，找出规律解决问题．
13.【答案】
【解析】解：这个数的和是，因为百子回归图的每行、每列、每条对角线的个数的和都相等，所以这个和为．
14.【答案】
【解析】解：，
一个完全立方数属于应该具有的形式为均为自然数，且，，，
故这样的有个，
故答案为．
先把分解成的形式，然后分别讨论，，，含有的立方数约数，最后求解．
本题主要考查完全平方数的知识，解答此题的关键是把分解成的形式，难度较大．
15.【答案】 、同为奇数或、同为偶数
【解析】观察题图，型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，
若位置恰好为型地砖，则正整数，须满足的条件为、同为奇数或，同为偶数．
16.【答案】
【解析】解：由图形可知：
摆一个金鱼需用火柴棒的根数为：；
摆二个金鱼需用火柴棒的根数为：；
摆三个金鱼需用火柴棒的根数为：；
；
第个金鱼需用火柴棒的根数为：．
所以摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为：．
故答案为：．
观察给出的个例图，注意火柴棒根数的变化是图的火柴棒比图的多根，图的火柴棒比图的多根，据此找出规律即可解答．
本题主要考查图形的变化规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
17.【答案】
【解析】解：第个图中阴影部分小三角形的个数分别是：，，，
由此可推测第个图中阴影部分小三角形的个数是个，空白三角形的个数为；
故答案为：；；
第个图形中阴影三角形与非阴影三角形的个数比是：，
解得，或舍去，
经检验符合题意，
；
设第个图形可重新拼成一个菱形，第个图形总的三角形个数为，
由于可以拼一个菱形，则是一含有度角的萎形，
即两个等边三角形构成的菱形，每个等边三角形中含小三角形数为则有，
解得，，
不是正整数，
不可能拼成一个菱形．
观察图形，根据所给图形可得有阴影的三角形总数为：，，，第个图形中有阴影的三角形数为：，故可求第个图中阴影三角形的个数；非阴影三角形的个数为：，故可得结论；
根据题意列方程求解即可；
根据姜形的特征和所给图形是等边三角形的特征解答即可．
本题考查了图形的变化规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题．
18.【答案】解：；
；
．
【解析】
解：根据题中所给出的规律可知：，
故答案为：；
由图示可知点的总数是，所以，
故答案为：；
由可知，
故答案为：．
【分析】
根据观察会发现第四个式子的等号的左边是，右边分子上是，分母是，从而得到答案；
通过观察发现左边是，右边是即的平方；
通过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律．
主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
19.【答案】解：；
；
由规律知：等腰直角三角形地砖块数是偶数，
用块，
再由题意得：，
解得：，
等腰直角三角形地砖剩余最少为块，则需要正方形地砖块．
【解析】
【解析】
解：观察图可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加块；
故答案为：；
观察图形可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有个等腰直角三角形，即；图和图中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图一样的规律，图：；归纳得：即；
若一条这样的人行道一共有为正整数块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 块；
故答案为：；
见答案．
【分析】
观察图形可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，即可得出答案；
观察图形可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有个等腰直角三角形，即；图和图中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图一样的规律，图：；图：即；
由于等腰直角三角形地砖块数是偶数，根据现有块等腰直角三角形地砖，剩余最少，可得：，即可求得答案．
本题以等腰直角三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
20.【答案】解：



规律：前层点的个数之和是；前层点的个数之和是
【解析】见答案
21.【答案】解：； ；
；
．
【解析】
【分析】
此题考查了二次根式的化简问题．此题难度适中，属于规律性题目，掌握二次根式的化简知识是解此题的关键认真观察，可发现根号内第一个数和第二个数的分母相差为，结果为第一个数和第二个数的分母和的一半与第二个数的算术平方根的积．
根据等式的变化，再写出后面两个等式即可；
通分后再开平方即可得出结论；
根据等式的变化找出变化规律“”，此题得解．
【解答】
解：；；
故答案为；；
见答案；
见答案．
22.【答案】解：Ⅰ；；
Ⅱ； ；
Ⅲ选择第一种方式．理由如下；
第一种方式：张桌子可以坐人，
张桌子可以拼张大桌子，一共可以坐人．
第二种方式：张桌子可以坐人，
张桌子可以拼张大桌子，一共可以坐人．
又，
所以选择第一种方式．
【解析】
【分析】
本题考查规律型数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
Ⅰ旁边人除外，每张桌可以坐人，由此即可解决问题；
Ⅱ旁边人除外，每张桌可以坐人，由此即可解决问题；
Ⅲ分别求出两种情形坐的人数，即可判断．
【解答】
解：Ⅰ有张桌子，用第一种摆设方式，可以坐人；用第二种摆设方式，可以坐人，
故答案为：；；
Ⅱ有张桌子，用第一种摆设方式可以坐人；用第二种摆设方式，可以坐用含有的代数式表示，
故答案为：；；
Ⅲ见答案．
23.【答案】探究三：，；
【归纳结论】，；
【问题解决】，，；
【拓展应用】．
【解析】
【分析】
本题考查了规律探索，解题关键是找到图形的变化规律，根据题目要求解题．
探究三：根据规律把正方形的四条边等分，然后连接相对边的等分点就可以把正方形分割成个小正方形，根据探究二可知，则将正方形四条边四等分之后，如果再把相邻的个小正方形进行拼合，则可以把一个正方形分割成个小正方形；
【归纳结论】根据规律得出所求的结果；
【问题解决】根据规律得出所求的结果；
【拓展应用】根据题意分割的小立方块个数为个．
【解答】
解：探究三：由探究一、探究二可知，把正方形的四条边等分把每条边分成相等的份，然后连接相对边的等分点就可以把正方形分割成个小正方形；由探究二可知，将个小正方形拼合，会少个小正方形，则将正方形四条边四等分之后，如果再把相邻的个小正方形进行拼合，则可以把一个正方形分割成个小正方形；
故填：，；
【归纳结论】把一个正方形的四条边等分，然后连接相对边的等分点就可以把正方形分割成个小正方形；如果再把相邻的个小正方形进行拼合，则可以把一个正方形分割成个小正方形
故填：，；
【问题解决】根据后面得到个小正方形，结合【归纳结论】得到的规律，，解得
故第一个空填，第二个空填，第三个空填
【拓展应用】如图可知，立方体各边被等分，再把相邻个小立方体进行拼合可得；所以分割的小立方块个数为
个，故填．
24.【答案】
【解析】解：有张桌子，用第一种摆设方式，可以坐人；用第二张摆放方式，可以坐人；
故答案为：、；
当有张桌子时，用第一种摆设方式可以坐人，用第二种摆设方式可以坐人；
故答案为：，；
选择第一种方式来摆餐桌．
理由如下：
第一种方式，张桌子拼在一起可坐人．
张桌子可拼成张大桌子，共可坐：人．
第二种方式，张桌子拼在一起可坐人．
张桌子可拼成张大桌子，共可坐：人．
又
应选择第一种方式来摆餐桌．
根据图形规律得出即可；
第一种中，只有一张桌子是人，后边多一张桌子多人．即有张桌子时是，第二种中，有一张桌子是人，后边多一张桌子多人，即．
分别求出时，两种不同的摆放方式对应的人数，即可作出判断．
本题考查了图形的变化类，通过生活中实际例子，考查学生的观察能力和解决问题能力，题目整体难易程度适中，适合学生进行课后训练．
25.【答案】
【解析】解：，，，，，，，
这一列数按照除外，按照、、三个数一循环，
，
．
故答案为：；．
按照规定：若为奇数，则；若为偶数，则，直接运算得出，进一步找出规律解决问题．
此题考查数列的规律，通过运算得出规律，进一步利用规律解决问题．
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