第21章 二次函数与反比例函数单元测试卷（困难）（含答案）

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沪科版初中数学九年级上册第21章《二次函数与反比例函数》单元测试卷
考试范围：第21章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
下列函数中，是的二次函数的是( )
A. B. C. D.
如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中：；；；若为任意实数，则，正确的个数是( )
A.
B.
C.
D.
已知抛物线其中是自变量经过不同两点，，那么该抛物线的顶点一定不可能在下列函数中的图象上．( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是( )
A. 或 B.
C. 或 D. 或
已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：
抛物线过原点；
；
；
抛物线的顶点坐标为；
当时，随增大而增大．
其中结论正确的是( )
B.
C.
D.
已知二次函数为常数，若，记，则( )
A. B. C. D.
如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间包含端点，则下列结论：；；；为任意实数；一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，当点从运动到时，点随之运动．设点的坐标为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
如图，中，，正方形的顶点，分别在，边上．设的长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是( )
A. B. C. D.
若矩形的面积为，则它的长与宽之间的函数关系用图象表示大致是( )
A. B. C. D.
如图，反比例函数与一次函数的图象相交于两点，，线段交轴于，当且时，、的值分别为( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
已知关于，的方程组，以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；不存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；若，则的最大值为其中正确的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则关于的函数关系式是______ ．
已知抛物线，且直线经过一、二、三象限，则的范围是______ ．
已知：抛物线与轴交于点、点在轴正半轴，且．
此抛物线的顶点坐标为 ；
若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点，当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是 ．
正比例函数与反比例函数的交点坐标为__________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
已知函数．
当为何值时，为的二次函数
当为何值时，为的一次函数
若函数是二次函数，试讨论、的取值范围．
如图，抛物线经过、两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，连结、、、．
求抛物线的函数表达式．
当的面积等于的面积的时，求的值．
当时，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
已知抛物线：；
若抛物线的顶点坐标为，求、的值；
当，时，抛物线的最小值是，求的值；
当，时，恒成立，则的最大值为______．
如图，已知抛物线经过、两点，其对称轴与轴交于点．
求该抛物线和直线的解析式；
设抛物线与直线相交于点，求的面积；
在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标及最小周长；若不存在，请说明理由．
已知抛物线与轴交于点．
直接写出抛物线的对称轴：______；
若抛物线恒在轴下方，且符合条件的整数只有三个，求实数的最小值；
若点的坐标是，当时，抛物线与轴只有一个公共点，求的取值范围．
如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，．
若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标．
如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点
求抛物线的解析式．
点是抛物线上的一个动点不与点点重合，过点作直线轴于点，交直线于点当时，求点坐标；
如图所示，设抛物线与轴交于点，在抛物线的第一象限内，是否存在一点，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为
求反比例函数的解析式；
若点，是反比例函数图象上一点，过点作 轴于点，延长交直线于点，求 的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的定义、一次函数以及反比例函数的定义，解题的关键是正确理解二次函数的定义，本题属于基础题型．
根据二次函数、一次函数以及反比例函数的定义即可求出答案．
【解答】解：、是一次函数，故A不是二次函数，
B、是反比例函数，故B不是二次函数，
C、既不是反比例函数也不是二次函数，故C不是二次函数；
D、，是二次函数，符合题意．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：观察图象可知：，，，
，故错误；
称轴为直线，，
可得，，
点，点，
当时，，即，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，即，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
当时，函数有最小值，
由可得，
若为任意实数，则，故正确；
故选：．
根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断；根据对称轴，，可得，，点，点，当时，即可判断；根据对称轴，以及，得与的关系，即可判断；根据函数的最小值是当时，，即可判断；
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3.【答案】
【解析】解：由抛物线的对称轴，抛物线经过不同两点，，
，即，
抛物线的顶点纵坐标为，
顶点坐标为，
将顶点坐标代入得，，整理得，，故顶点可能在上；
将顶点坐标代入得，，整理得，，故顶点可能在上；
将顶点坐标代入得，，整理得，，故顶点不可能在上；
将顶点坐标代入得，，整理得，，故顶点可能在上；
故选：．
求出抛物线的对称轴，再由抛物线的图象经过不同两点，，也可以得到对称轴为，可得，求出顶点的坐标代入四个函数中，如果能求出的值说明在，反之不在．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象与系数的关系等知识，根据两种不同表示顶点横坐标的方法，求出系数和的关系式解题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，二次函数图象与系数的关系，及二次函数图象上点的坐标特征，有一定难度．
根据点，的坐标分别为，，可求解直线的解析式，联立方程组可得，根据抛物线与线段有两个不同的交点，可知，求得，分和两种情况计算可求解．
【解答】
解：抛物线恒过点，且对称轴为直线．
点，的坐标分别为，，
由待定系数法易得直线的解析式为，
联立方程组消去，可得，
根据抛物线与线段有两个不同的交点，得，
．
分情况讨论：
当时，若抛物线与线段有两个交点，
此时，
则时，，
当时，若抛物线与线段有两个交点，
此时，
则当时，，
即，
即．
综上所述，或．
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．由抛物线的对称轴结合抛物线与轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论正确；由抛物线对称轴为以及抛物线过原点，即可得出、，即，结论正确；根据抛物线的对称性结合当时，即可得出，结论错误；将代入二次函数解析式中结合，即可求出抛物线的顶点坐标，结论正确；观察函数图象可知，当时，随增大而减小，结论错误．综上即可得出结论．
【解答】
解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一交点坐标为，结论正确；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线过原点，
，，
，，
，结论正确；
当时，
，结论错误；
当时，，
抛物线的顶点坐标为，结论正确；
观察函数图象可知：当时，随增大而减小，结论错误．
综上所述，正确的结论有：．
故选C．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程首先根据题意得与是方程的两个根，则，，根据，推出当时，，可得；再由二次函数的对称轴为直线，顶点在轴的下方，得出当时，，即，进而得出，判断出的取值范围，即可求解．
【解答】
解：，
与是方程的两个根，
则，，
，
当时，，
；
二次函数的对称轴为直线，顶点在轴的下方，
当时，，
即，
，
，
，
，
，
，
综上所述：．
7.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
顶点坐标，
对称轴为直线，
，
，
与轴的交点在，之间包含端点，
，
，故错误，
，故正确，
与轴交于点，
，
，
，
，
，故正确，
顶点坐标为，
当时，函数有最大值，
，
，故正确，
一元二次方程有两个相等的实数根，故错误，
综上所述，结论正确的是共个．
故选：．
根据抛物线开口向下判断出，再根据顶点横坐标用表示出，根据与轴的交点求出的取值范围，然后判断出错误，正确，根据点的坐标用表示出，再根据的取值范围解不等式求出正确，根据顶点坐标判断出正确，错误，从而得解．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出、的关系．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了坐标与图形，延长交轴于点，则轴．连接证明∽，得出，设，则，设，代入整理得到，根据二次函数的性质以及，求出的最大与最小值，进而求出的取值范围．
【解答】
解：如图，延长交轴于点，
，
轴．
连接，
，
在与中，
，
∽，
，设，则，设，
，
，
，，
时，有最大值，此时，时，有最小值，此时，
的取值范围是．
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象有关知识，分类讨论：当时，根据正方形的面积公式得到；当时，记交于，交于，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形的面积得到，配方得到，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】
解：当时，；
当时，记交于，交于，如图，
，则，
中，，
正方形中，，，
、、均为等腰直角三角形，
，
，
，
则，
．
对比各个选项，可知符合上述解析式，
故选A．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数的应用现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．写出与的函数关系式，然后根据的范围即可判断．
【解答】
解：长与宽之间的函数关系是：，其中．
故选C．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题综合考查了反比例函数、一次函数的性质，注意通过解方程求出、的值．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
首先由，可得出点的横坐标的绝对值是点横坐标绝对值的两倍．再由，可求出点与点的横坐标，然后根据点、点既在一次函数的图象上，又在反比例函数的图象上，可求出、的值．
【解答】
解：，点在轴上，
点的横坐标的绝对值是点横坐标绝对值的两倍．
点、点都在一次函数的图象上，
可设，则．
，
，
；
又点、点都在反比例函数的图象上，
，
，
．
故选D．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的最值、二元一次方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是用字母正确表示方程组的解．
利用消元法解二元一次方程组，然后把、的值代入方程即可求解；
利用消元法解二元一次方程组，方程组的解用含的式子表示即可求得结论；
将用含的式子表示出的方程组的解代入，即可得结论；
根据二次函数的最值问题即可得结论．
【解答】
解：当时，方程组为
解这个方程组，得
把，代入中，方程左右两边相等，
所以当时，方程组的解也是方程的解；
解方程组，得
当，即，解得
．
所以存在实数，使得．
所以不论取什么实数，的值始终不变．
，当时，有最大值为．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：由题意得：
，
故答案为：
根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案．
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
14.【答案】且
【解析】解：根据题意，，
，
又依题意得，
，
所以且．
故填空答案：且．
根据二次函数的定义条件和一次函数图象的性质列出不等式求解则可．
本题考查二次函数的定义条件和一次函数图象的性质，二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量的最高次数为．
15.【答案】


【解析】
【分析】
本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线与轴的交点，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
利用抛物线的解析式求出点，的坐标进而得到的长度，列出方程求得值，再利用配方法求得结论；
利用函数的解析式用表示出点，的坐标，进而求得线段，利用配方法结合函数的图象即可列出关于的不等式，解不等式则结论可得．
【解答】
解：令，则，
解得：或，
点在轴正半轴，
，．
，
，
抛物线的解析式为．
，
抛物线的顶点坐标为，
故答案为：；
点为抛物线上一动点，
，
轴，交一次函数的图象于点，
，
当时，的长度随的增大而增大，
，
，
当时，的值随的增大而增大，
，
，
，
故答案为．
16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数和一次函数的交点，，将正比例函数和反比例函数连立方程组即可解答．
【解答】
解：由题意得：
解得：．
所以它们的交点坐标是或．
17.【答案】解：根据题意得且，
解得，即当为时，是的二次函数．
当且，即时，是的一次函数
当且时，是的一次函数，解得
当且时，是的一次函数，解得．
综上，当为或或时，是的一次函数．

【解析】本考查了二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．、、是常数，也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义．
根据二次函数的定义得到得且，然后解不等式和方程即可得到满足条件的的值；
根据一次函数的定义分类讨论：当时，是的一次函数；当且时，是的一次函数；当且时，是的一次函数，然后分别解方程或不等式即可．
18.【答案】解：且时，解得，．
且为任意实数时，解得，为任意实数．
为任意实数且或时，解得为任意实数，或．
综上所述，当，或，为任意实数或为任意实数，或为任意实数，时，是二次函数．

【解析】见答案
19.【答案】解：由抛物线交点式表达式得：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；
由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标，得直线的表达式为：，
如图所示，过点作轴的平行线交直线于点，
设点，则点，
则，
，
即：，
解得：或舍去，
故；
当时，点，
设点，点，则，
当是边时，
点向左平移个单位向上平移个单位得到点，同样点向左平移个单位向上平移个单位得到点，
故或
联立并解得：不合题意的值已舍去或或或
点的坐标为或或；
当是对角线时，
由中点公式得：
联立并解得或
故点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
【解析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等有关知识．
用待定系数法即可求解；
，则，即可求解；
分是边、是对角线两种情况，利用图象平移的性质和中点公式即可求解．
20.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
，
，，；
，对称轴为，
当时，由题意可知，解得，符合题意；
当时，，解得，，不合题意舍去；
当时，根据题意可知，解得，符合题意；
综上所述，所求的值为或．
当时，抛物线的解析式为，
如图所示，抛物线的顶点在直线上移动，
当时，恒成立，
则可知抛物线的顶点坐标为，
设抛物线与直线除顶点外的另一个交点为，
此时点的横坐标即为的最大值，
由解得，，
的最大值为．
根据已知点的坐标代入解析式确定系数即可．
先根据已知条件确定抛物线的对称轴直线，在分段讨论抛物线在各段上取最小值时的值．
通过抛物线图象的移动范围确定，当恒成立时，的值，进一步确定最大值．
考查了二次函数的解析式，二次函数的性质与图象，函数的对称轴，关键要熟练二次函数待定系数法求解析式，二次函数的图象以及性质．
21.【答案】解：将、代入抛物线解析式得：，
解得：，
故抛物线的解析式为：，
其对称轴为：，
故点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点、点的坐标代入可得：，
解得：，
故直线的解析式为；
联立直线与抛物线的解析式：，
解得：或，
故点的坐标为，
则．
存在点，使得的周长最小；
点关于抛物线对称轴的对称点为，连接，则与对称轴的交点即是点的位置：
坐标为，，
设直线的解析式为：，代入两点坐标可得：，
解得：，
即直线的解析式为，
故点的坐标为．
，
即存在点的坐标时，使得的周长最小，最小周长为．
【解析】本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，及利用轴对称求最短路径的问题，解答第二问需要我们将要求图形的面积分割，第三问的关键是利用轴对称的性质得出点的位置，难度较大．
将点、点的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式．
求出点的坐标，然后根据进行计算，即可得出答案．
长度固定，只需满足最小即可，找点关于对称轴的对称点，连接，则与对称轴的交点即是点的位置，求出其坐标及周长即可．
22.【答案】
【解析】解：由抛物线可得，
抛物线的对称轴为，
故答案为：；
抛物线在轴下方，
，
解得，
符合条件的整数有三个，
，
解得，
的最小值为；
点的坐标是，
，
，
时，抛物线与轴只有一个公共点，
当时，，
直线与抛物线交点坐标为，
当时，，
直线与抛物线交点坐标为，
当时，抛物线顶点在轴上，满足题意，
解得舍或；
当时，若点在轴或轴下方，点在轴上方满足题意，
则，
解得，
当时，若在轴上方，点在轴上或轴下方满足题意，
，
解得．
综上所述，或或．
由抛物线解析式直接求出对称轴即可；
由抛物线恒在轴下方可得，由符合条件的整数只有三个可得的取值范围，进而求解．
由点坐标求出的值为，求出直线，直线与抛物线的交点坐标，分类讨论，两种情况，列不等式组求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系，通过分类讨论求解．
23.【答案】解：依题意得：，
解之得：，
抛物线解析式为
对称轴为，且抛物线经过，
把、分别代入直线，
得，
解之得：，
直线的解析式为；
设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小．
把代入直线得，，
，
即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为；
设，
又，，
，，，
若点为直角顶点，则即：解之得：；
若点为直角顶点，则即：解之得：，
若点为直角顶点，则即：解之得：，；
综上所述的坐标为或或 或
【解析】先把点，的坐标分别代入抛物线解析式得到和，的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得和的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出，，的值即可得到抛物线解析式；把、两点的坐标代入直线，解方程组求出和的值即可得到直线解析式；
设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小．把代入直线得的值，即可求出点坐标；
设，又因为，，所以可得，，，再分三种情况分别讨论求出符合题意值即可求出点的坐标．
本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数二次函数和一次函数的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
24.【答案】解：点在直线上，
，
，
把、、三点坐标代入抛物线解析式可得，
解得，
抛物线解析式为；
设，则，，
则，，
，
，
当时，解得或，但当时，与重合不合题意，舍去，
；
当时，解得或，但当时，与重合不合题意，舍去，
；
综上可知点坐标为或；
存在这样的点，使得四边形的面积最大．
如图，过点作轴于点，
设，
则，，，
四边形的面积
，
当时，四边形的面积取得最大值，最大值为，此时点的坐标为
【解析】先由点在直线上求出点的坐标，再利用待定系数法求解可得；
可设出点坐标，则可表示出、的坐标，从而可表示出和的长，由条件可知到关于点坐标的方程，则可求得点坐标；
作轴于点，设，知，，，根据四边形的面积建立关于的函数，再利用二次函数的性质求解可得．
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及利用割补法列出四边形面积的函数关系式．
25.【答案】解：将点的坐标代入，可得：，
将点代入反比例函数，可得：，
故反比例函数解析式为：．
将点的纵坐标，代入反比例函数关系式可得：，
将点的横坐标代入直线解析式可得：，
故可得，，
故可得．
【解析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答本题的关键是确定点的坐标，要求同学们能结合图象及直角坐标系，将点的坐标转化为线段的长度．
将点的坐标代入直线解析式求出的值，再将点的坐标代入反比例函数解析式可求出的值，继而得出反比例函数关系式；
将点的纵坐标代入反比例函数解析式可求出点的横坐标，将点的横坐标和点的横坐标相等，将点的横坐标代入直线解析式可求出点的纵坐标，将点的坐标转换为线段的长度后，即可计算的面积．
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