第22章 相似形单元测试卷（较易)（含答案）

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沪科版初中数学九年级上册第22章《相似形》单元测试卷
考试范围：第22章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如果：：，且是、的比例中项，那么：等于( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
如图：，：：，，那么的长为( )
A.
B.
C.
D.
如图，点在的边上，若要判定∽，则下列添加的条件不正确的是( )
A. B.
C. D.
如图，在中，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论正确的是( )
垂直平分 B. ∽
C. D.
如图，已知∽，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
已知∽，，若，则( )
A. B. C. D.
如图，与位似，点为位似中心，相似比为：若的周长为，则的周长是( )
A. B. C. D.
如图，在直角坐标系中，的顶点为，，以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标( )
A. B. C. D.
如图，某“综合与实践”小组为测量河两岸，两点间的距离，在点所在岸边的平地上取点，，，使，，在同一条直线上，且；使且，，三点在同一条直线上．若测得，，，则，两点间的距离为( )
A. B. C. D.
在如图所示的象棋盘各个小正方形的边长均相等中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( )
A. 处 B. 处 C. 处 D. 处
已知，则的值是( )
A. B. C. D.
如图，在矩形中，，，点、在边上，和交于点，若，则图中阴影部分的面积为( )
B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
若点是线段的黄金分割点，且，则______保留根号
若，那么的值是______．
九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为______ 米
如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，，测得，，，则该古城墙的高度是______
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
若，且，求的值．
已知：如图，点、、分别在的边、、上，，，．
如果，求证：四边形是菱形；
如果，且，联结，求的长．
如图，在四边形中，点是对角线上一点，且．
若，求的度数；
判断与是否相似，并说明理由．
如图，在中，，点在上．
求作：，使点在上，且∽；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，若求证：．
如图，已知正方形，以为边在正方形外作等边，过点作与边、分别交于点、点，点在线段上，且．
求证：；
联结、，分别交、于点、，求证：．
已知：如图，在矩形中，点在边的延长线上，，联结，分别交边、对角线于点、，．
求证：；
求证：．
如图、在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
画出与关于轴对称的；
以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为：，并写出点的坐标．
小豪为了测量某塔高度，把镜子放在离塔的点处，然后沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到塔尖，再测得，小豪目高，求塔的高度．
雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上处有一处积水，如图，若小李站在处距积水米，他正好从水面上看到距他约米的前方一棵树的顶端的影子已知点、、在同一直线上，，，小李的眼睛到地面的距离为米，求树的高．，积水水面大小忽略不计
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
根据比例中项的概念可得：：，则可求得：的值．
本题考查了比例中项的概念．在线段，，中，若，则是，的比例中项．
【解答】
解：：：，是和的比例中项，
即：：，
：：．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再根据：：，，可计算出的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
3.【答案】
【解析】解：在和中，，
A、当时，满足两组角对应相等，可判断∽，故A不符合题意；
B、当时，满足两组角对应相等，可判断∽，故B不符合题意；
C、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断∽，故C不符合题意；
D、当时，其夹角不相等，则不能判断∽，故D符合题意；
故选：．
根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．
4.【答案】
【解析】解：由题意可得，平分，
垂直平分，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
∽，
，
，
故选D．
由“”可证≌，可得，可证∽，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：∽，
，
，
故选：．
根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：∽，
，
，，
，
，
故选：．
利用相似三角形的性质可得，代入即可得出的长．
本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：与位似，相似比为：．
：：，
的周长为，
的周长是，
故选：．
根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得的周长．
本题考查位似变换，解答本题的关键是明确相似三角形的周长比等于相似比．
8.【答案】
【解析】解：以点为位似中心，位似比为，
而 ，
点的对应点的坐标为．
故选：．
根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把点的横纵坐标都乘以即可．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
9.【答案】
【解析】解：，，
，
，
∽，
，
，，，
．
故选：．
由垂直的定义得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，利用两角相等的两个三角形相似得到三角形与三角形相似，由相似得比例求出所求即可．
此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大．
确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．
【解答】
解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为、、；
“车”、“炮”之间的距离为，
“炮”之间的距离为，“车”之间的距离为，
，
马应该落在的位置，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
根据得出，再把要求的式子化成，然后进行计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：过点作于，延长交于，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
∽，，
：：：，
又，
，，
，
，，
．
故选：．
过点作于，延长交于，通过证明∽，可得：：：，可求，的长，由面积的和差关系可求解．
本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系．
13.【答案】
【解析】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
故答案为：．
把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，然后把的长代入计算即可．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．特别要注意线段的黄金分割点有两个．
14.【答案】
【解析】解：，
，
则，
故答案为：．
根据比例的性质得到，代入代数式计算即可．
本题考查的是比例的性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意知：，
则，，
∽，
，
，
米，
故答案为：．
由题意知：∽，得出对应边成比例即可得出．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出∽是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由题意得：
，
，，
，
∽，
，
，
，
该古城墙的高度是，
故答案为：．
根据题意可得，根据垂直定义可得，从而可证∽，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：，且，
．
【解析】根据比例的性质，即可解答．
本题考查了比例的性质，解决本题的关键是熟记比例的性质．
18.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形；
如图，在和中，是公共角，
，，
∽，
，
．
【解析】根据菱形的判定方法解答即可；
根据相似三角形的判定和性质解答即可．
本题主要考查了菱形的判定和相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些判定定理和性质定理是解答本题的关键．
19.【答案】解：．
∽，
，
；
∽，理由如下：
，
，
又，
∽．
【解析】通过证明∽，可得，即可求解；
由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可证明∽．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
20.【答案】解：如图：作出，即可得到∽；
证明：如图，，，
，
．
【解析】本题考查了尺规作图作一个角等于已知角，相似三角形的判定等，熟练掌握尺规作图的方法和相似三角形的判定定理是解题的关键．
尺规作图作出，即可得到，从而得到∽；
根据题意得到，根据平行线的的判定定理即可证得结论．
21.【答案】证明：是等边三角形，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
四边形为矩形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
；
证明：四边形为平行四边形，，
四边形为菱形，
，
，
又，
，
又，
，
∽，
．
【解析】由等边三角形的性质及正方形的性质证出，证明≌，由全等三角形的性质得出，由平行四边形的判定可证出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论；
证明四边形为菱形，由菱形的性质得出，证明∽，由相似三角形的性质可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】证明：，，，
≌，
，
，
，
，
．
在矩形中，，，
∽，
，
，，
，
由得，，
∽，
，
，
，
．
【解析】先证明≌，可得，从而证得；
先证明∽，可得，再由∽，可得，从而得证．
本题考查了三角形相似的判定及全等的证明，由多组边相等想到证全等是证明题的常见思路，同时第一问的结论往往会衔接到第二问，所以在证第二问时要联系到第一问，这样子思路才会更顺畅利用已知条件结合相似判定方法是本题解题的关键．
23.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作，点的坐标为；

【解析】根据关于轴对称的点的坐标得到、、的坐标，然后描点即可；
把、、的坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了轴对称变换．
24.【答案】解：由题意知，，
∽．
，
，
米．
故塔的高度为米．
【解析】如图容易知道，，即由光的反射原理可知，这样可以得到∽，然后利用对应边成比例就可以求出．
考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．
25.【答案】解：由题意得：∽，
，
米，米，米，
即：，
解得：，
答：树高大约是米．
【解析】根据题意得：∽，然后利用相似三角形的性质列式计算即可．
考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形，难度不大．
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