第22章 相似形单元测试卷（困难）（含答案）

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沪科版初中数学九年级上册第22章《相似形》单元测试卷
考试范围：第22章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，是的中线，点在上，，连接并延长交于点，则：的值是( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
如图，在四边形中，，，，是的中点，，，于点下列结论错误的是( )
A. 四边形的周长是 B. ∽
C. D. 的长为
如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，；∽；；则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
如图，，，，点、为边上的两点，且，连接、，则下列结论：≌；∽；； ，其中正确的有个．( )
A. B. C. D.
如图，在正方形中，，点、分别为边、的中点，连接、，与相交于点，连接，则的长为( )
A. B. C. D.
如图，正方形中，、分别为、的中点，与交与点则下列结论中：；；；其中正确的是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：
；
；
；
．
其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，在轴右侧作放大倍后的位似图形，若的对应点的坐标为，则点的坐标为( )
A. B.
C. D.
如图，正方形可看成是以为位似中心将正方形放大一倍得到的图形正方形的边长放大到原来的倍，由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，则正方形的面积是( )
A. B. C. D.
如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，且与的位似比为设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是
A.
B.
C.
D.
如图，长、宽均为，高为的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图是此时的示意图，则图中水面高度为( )
A. B. C. D.
如图，一个斜边长为的红色直角三角形纸片，一个斜边长为的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
两个数与的比例中项是______．
如图，在纸板中，，，，是上一点，过点沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有种不同的剪法，那么长的取值范围是______．
如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是___．
九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾短直角边长为步，股长直角边长为步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
在中，已知是边的中点，是的重心，过点的直线分别交、于点、．
如图，当时，求证：；
如图，当和不平行，且点、分别在线段、上时，中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
如图，当点在的延长线上或点在的延长线上时，中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
已知、、均为非零的实数，且满足，求的值．
如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
经过几秒的面积为的面积的？
经过几秒，与相似？
如图，在正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点设．
若，，求线段的长．
连接，若，
求证：点为边的中点．
求的值．
定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的倍，所以我们就可以通过作出其中的倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题请通过这种方法解答下列问题：
如图，中，是角平分线，且，求证：是倍角三角形
如图，已知是倍角三角形，且，，，求的长
如图，已知中，，，，求的长．
如图，矩形中，，，点从点出发在边上向点匀速运动，同时点从点出发在边上向点匀速运动，速度都是，运动时间是，，交于点，点关于的对称点是，射线分别与，交于点，．
求度数，并用含的代数式表示的长；
当点与点重合时，如图，求的值；
探究：在点，运动过程中，
的值是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
为何值时，以点，，为顶点的三角形与相似？
如图，在平面直角坐标系中，格点的顶点坐标分别为，，，已知格点的两个顶点坐标分别为，，若和位似，写出的第三个顶点的坐标，并在图中画出．
如图，图中的小方格都是边长为的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
画出位似中心点；
求出与的位似比；
以点为位似中心，再画一个，使它与的位似比为．
如图，在中，，于点，，点从点出发，在线段上以每秒的速度向点匀速运动，与此同时，垂直于的直线从底边出发，以每秒的速度沿方向匀速平移，分别交、、于点、、当点到达点时，点与直线同时停止运动，设运动时间为秒．
当时，求的长；
在整个运动过程中，所形成的的面积存在最大值，求出这个值；
是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，请求出此刻的值，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
作交于，根据三角形中位线定理得到，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【解答】
解：作交于，
是的中线，
，
，
，
，
，
：：，
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是平行四边形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线等有关知识，由题意对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：，，，
，
为的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形，
四边形的周长为，故A正确；
，四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，故C正确；
连接，交于点，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
则，
则菱形的面积为，
，故D正确，
在中，，，
，
在中，，，，
，，，且，，，
与不相似，故B选项错误，符合题意．
故选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积．
由折叠可知，，即可得；
由，可知错误；
通过计算
通过计算，而，故正确．
【解答】
解：如图
沿折叠，点恰落在边上的
点处，
，
沿折叠，点恰落在线段上的点处，
，
，
即，
所以正确
沿折叠，点恰落在边上的点处，
，，，
在中，
，，
，
，
设，则，
，
在中，
，
解得，
，
，
设，则，，
在中，
，
，
解得，
，，
，，，
，
与不相似，所以错误
，，
，所以正确
，而，
，所以正确。
正确。
故选B．
4.【答案】
【解析】解：，，
．
在与中，
，
≌，正确；
，，
．
点、为边上的两点，，
与不一定相等，与不一定相等，
，，
与不一定相等，
与不一定相似，错误；
，
，即．
在与中，
，
≌，
，
由知≌，
．
在中，，
，正确；
由知≌，
，
，
．
在中，由勾股定理，得，
，，
，正确．
所以正确的结论有．
故选：．
根据，，得出，利用证明≌，判定正确；
如果∽，那么，由，则，，而由已知不能得出此条件，判定错误；
先由，得出，再利用证明≌，得出，又知，那么在中根据三角形两边之和大于第三边可得，等量代换后判定正确；
先由≌，得出，进而得出，然后在中，运用勾股定理得出，等量代换后判定正确．
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，过作于，结合正方形的性质证明∽可得，利用勾股定理可求解，通过证明∽，列比例式可求解，即可求解的长，再结合勾股定理可求解的长．
【解答】
解：过作于，
在正方形中，，，，
，∽，
，
点、分别为边、的中点，
，，
，
，
，
，
，，
∽，
，即：：，
解得，
，
，
，
解得，
故选C．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
根据正方形性质得出；；，证≌，推出，求出即可判断；过作交于，交于，求出是的垂直平分线，推出是等腰三角形，即可判断；延长至，使得，连接，证≌，推出，，求出是等腰直角三角形，即可判断；过点作，交于，交于，则，，证得∽，利用相似三角形的性质求出，，，即可判断．
【解答】
解：正方形，，均为中点
，
在和中，
≌
，故正确
如图，过点作交于，交于，
，，是的中点
，为的中点
是的垂直平分线
，故正确
如图，延长至，使得，连接，
又，分别为，的中点
在和中，
≌
，
为等腰直角三角形
故正确
如图，过点作，交于，交于，则，，
设，则，，由勾股定理得
由，易证得∽
，
故正确，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
，
，故正确，
，
，
，
又，，
，
，
，
∽，故正确，
，
与不相似，故错误，
，
，
，
∽，
，
，故正确，
故选：．
正确．利用直角三角形度角的性质即可解决问题．
正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断．
错误．通过计算证明，即可判断．
正确．利用相似三角形的性质即可证明．
本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】
【分析】
过点作轴的平行线，作于，作于，设，分别表示出，，，的长，根据位似比为：得，即，计算即可．
本题考查的是位似变换有关知识，添加辅助线构建直角三角形根据位似比求解是本题解题的关键．
【解答】
解：过点作轴的平行线，作于，作于，
设，则、，，，
与的位似比为：，
，
即，解得：，，
点的坐标为．
故选A．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出，，，是解决问题的关键．根据位似变换的性质得出的边长放大到原来的倍，，，，进而得出点的横坐标．
【解答】
解：点的坐标是以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍．
点的对应点的横坐标是，
，，
，
点的横坐标是：．
故选D．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查相似三角形的应用、勾股定理、长方体的体积、梯形的面积的计算方法等；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
设，则，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出，再由勾股定理求出，过点作于，由∽得出的比例线段求得结果即可．
【解答】
解：过点作于，如图所示：
设，则，
根据题意得：，
解得：，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
∽，
，
即，
．
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟记相似三角形的性质并求出直角三角形的两直角边的关系是解题的关键，也是本题的难点．
证明∽，推出，推出，证明∽，推出，设，则，推出，，在中，，构建方程求出的值即可解决问题．
【解答】
解：如图，
正方形的边，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
设，则，
，
，
在中，，
即，
解得，
红、蓝两张纸片的面积之和，
，
，
，

故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了比例线段，理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基本性质进行计算．设它们的比例中项是，根据比例的基本性质得出，再进行计算即可．
【解答】
解：设它们的比例中项是，则，
解得．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：如图所示，过作交于或交于，则∽或∽，
此时；
如图所示，过作交于，则∽，
此时；
如图所示，过作交于，则∽，
此时，∽，
当点与点重合时，，即，
，，
此时，；
综上所述，要有种不同的剪法，使得过点沿直线剪下一个与相似，则长的取值范围是．
故答案为：．
分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到的长的取值范围．
本题主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
15.【答案】或
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出位似中心位置是解题关键．分两种情况讨论，一种是点和是对应顶点，和是对应顶点；另一种是点和是对应顶点，和是对应顶点．
【解答】
解：当点和点是对应点，点和点是对应点时，位似中心就是与的交点，
如图所示，连结，交轴于点，
点即为两个正方形的位似中心，
点和点的坐标分别为，，
，，，
，∽，
，，解得，
，
此时两个正方形的位似中心的坐标是
当点和点是对应点，点和点是对应点时，位似中心就是与的交点，
如图所示，连结，，，并延长，交于点，
设所在直线的解析式为，
易知，把，代入，得
解得
故直线的解析式为．
设所在直线的解析式为，
易知，，
把，代入，
得
解得
故直线的解析式为，
由
解得
故．
综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或．

16.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．
如图，根据正方形的性质得：，则∽，列比例式可得结论；如图，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．
【解答】
解：如图，
四边形是正方形，
，，
设，则，，
，
，，
∽，
，
，
，
如图，
四边形是正方形，
过作于，交于，
设，
，
，
，
同理得：∽，
，
，
，
该直角三角形能容纳的正方形边长最大是步，
故答案为：．

17.【答案】证明：是重心，
，
又，
，，
则；
解：中结论成立，理由如下：
如图，过点作交的延长线于点，、的延长线相交于点，
则∽，∽，
，，
，
又，
而是的中点，即，
，
，
又，
，
故结论成立；
解：中结论不成立，理由如下：
当点与点重合时，为中点，，
点在的延长线上时，，
，则，
同理：当点在的延长线上时，，
结论不成立．
【解析】根据三角形重心定理和平行线分线段成比例解答即可；
过点作交的延长线于点，、的延长线相交于点，得出∽，∽，得出比例式解答即可；
分两种情况：当点与点重合时，为中点，；点在的延长线上时，，得出，则，同理：当点在的延长线上时，，即可得出结论．
此题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心定理、平行线分线段成比例定理等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的重心定理和平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解题的关键．
18.【答案】解：当时，
利用比例的性质化简已知等式得：，
即，，，
整理得：，，，
此时原式；
当时，可得：，，，
则原式．
综上可知，的值为或．
【解析】此题考查了比例的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
已知等式利用比例的性质化简表示出，，，代入原式计算即可得到结果．
19.【答案】解：设经过秒的面积为的面积的，
由题意得：，，
则，
解得：或．
则经过秒或秒，的面积为的面积的；
设运动时间为，与相似．
当与相似时，则有或，
所以，或，
解得，或．
因此，经过秒或秒，与相似；
【解析】分别表示出线段和线段的长后利用列出方程求解；
设运动时间为，与相似，当与相似时，可知或，则有或，分别代入可得到关于的方程，可求得的值；
本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20.【答案】解：在正方形中，，
，
又平分，
，
，
，
，，点为的中点，
，
，
，
；
证明：，，
，
在和中
，
≌，
，
即点为的中点；
设，则，
由知，，
，，
，，，
，
∽，
，
，，
，
，
，，
．
【解析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据，，可以得到、的长，然后根据正方形的性质，可以得到的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到的长，从而可以得到线段的长；
要证明点为边的中点，只要证明≌即可，然后根据题目中的条件，可以得到≌的条件，从而可以证明结论成立；
根据题意和三角形相似，可以得到和的比值，从而可以得到的值．
21.【答案】证明是的角平分线，
，
，
，
，
∽，
，
，
是倍角三角形
解：如图
作的角平分线，则，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
；
解：过点作的三等分角，，分别交于点，，
则，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查的是角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，新定义有关知识．
根据角平分线的定义得出，利用得出，结合得出∽，最后解答即可；
根据相似三角形的判定得出∽，得出，然后再进行计算即可；
先证明∽得到，得出，然后再证明∽，结合即可解答
22.【答案】解：四边形是矩形，
，，，
点，点速度都是，
，
，
，
，
，
点关于的对称点是，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
如图，连接，
，
，
点关于的对称点是，
，，且，
，
∽，
，
，
；
的值是定值．
如图，过点作于点，设，
，，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，，
，
．
，，
，，
，
∽，
，
由可知：，，
，
以点，，为顶点的三角形与相似，且，
或；
若时，且，
，
，
，
；
若时，
，且，
，
，
综上所述：当或时，以点，，为顶点的三角形与相似，
【解析】由题意可得，由轴对称的性质可得，即可求解；
通过证明∽，可得，可求的值；
过点作于点，设，由等腰直角三角形可得，由相似三角形的性质可得，即可求解；
分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求的值．
本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
23.【答案】解：如图所示，的坐标为或．

【解析】见答案
24.【答案】解：如图．
与的位似比为：．
如图．

【解析】略
25.【答案】解：如图
，，
，又直线垂直于，
垂直平分，
，，
当时，，又
，
，
，
，
，
，
；
如图
由知，
∽，
，
即，
解得，
，
当秒时，存在最大值，最大值为．
如图，
当时，
由题意得，，，
，，
，
，
即，
则不存在；
如图，
当时，
，，
，
，即，
解得，
当时，为直角三角形．
如图，
当时，分别过、作的垂线，垂足分别是、．
由于平行，又因为
故易证∽∽；
又∽，，
故可以求得，
从而，
由等腰三角形的对称性可知，，
从而；
因为∽，
有，
分别代入数据，有
整理得，
解得舍去，
综上当或时，为直角三角形
【解析】本题考查的是相似三角形知识的综合运用，掌握菱形的判定定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
证明，得，即可得解；
证明∽，得 ，表示，再根据即可得解；
分，，三种情况，根据相似三角形的性质进行解答即可．
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