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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
第一章空间向量与立体几何单元检测卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．平面的一个法向量为，平面的一个法向量，则平面与平面（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定
2．设为空间的一个标准正交基底，，，则等于（ ）
A．7 B． C．23 D．11
3．已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的的距离为（ ）
A． B．2 C．6 D．
4．已知正四棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）
A． B． C． D．
5．在正四面体中，异面直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则 （ ）
A． B．2:6 C． D．
8．二面角的平面角为，，，（为锐角），与面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
10．已知正四棱柱中，，则CD与平面所成角的正弦值等于
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、双空题
11．已知，，则线段的中点坐标为________；________．
12．已知向量，，若，则________；若，则________．
13．已知，，三点在同一直线上，则________，________．
14．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，．
（1）平面与平面的位置关系是________；
（2）平面和平面所成的二面角的正弦值________．
三、填空题
15．设平面与向量垂直，平面与向量垂直，则平面与位置关系是______．
16．如图，在三棱锥中，顶点在空间直角坐标系的原点处，顶点，，分别在，， 轴上，是线段的中点，且，当时，异面直线与所成角的余弦值为________．
17．已知空间中的点，，若，，则________．
四、解答题
18．如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，
（1）求证：CF∥平面A1DE；
（2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．
19．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：
（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）．
20．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为线段的中点，为线段上的一点.
（1）证明：平面平面.
（2）若，二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.
21．如图，四边形为矩形，为的中点，，沿将折起到点的位置，使．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22． 如图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．
求：（1）直线到平面的距离；
（2）二面角的平面角的正切值．
试卷第1页，共3页
试卷第5页，共5页(
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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绝密★启用前
第一章空间向量与立体几何单元检测卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．平面的一个法向量为，平面的一个法向量，则平面与平面（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】
由两个平面法向量的位置关系判断两平面的位置关系
【详解】
解：因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量，
所以，所以
所以．
故选：A
【点睛】
此题考查由空间向量判断两平面的位置关系，属于基础题
2．设为空间的一个标准正交基底，，，则等于（ ）
A．7 B． C．23 D．11
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量数量积运算性质直接求解即可
【详解】
解：因为为空间的一个标准正交基底，
所以，
所以
．
故选：B.
【点睛】
此题考查空间向量的数量积运算，属于基础题
3．已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的的距离为（ ）
A． B．2 C．6 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出在的投影 即可.
【详解】
由题可知点到平面的的距离即为在的投影，
，，
，，
在的投影为．
故选：B.
【点睛】
本题考查向量法求点面距离，属于基础题.
4．已知正四棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，然后利用向量求出答案即可.
【详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设与所成角为，
则，
∴．
∴异面直线与所成的角为．
故选：A
【点睛】
本题考查的是异面直线的求法，考查了学生的计算能力，较简单.
5．在正四面体中，异面直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
在正四面体中易证,即，然后作出直线与平面所成的角，二面角的平面角，在将之放到三角形中求解比较其大小.
【详解】
在正四面体中,设棱长为2,
设为底面三角形是中心，则平面.
取边的中点，连结, 如图.
则易证,又.
所以平面,又平面，
所以.
所以异面直线与所成的角为.
又平面.
所以直线与平面所成的角为
在中,,
所以.
取边的中点，连结，
则有，
所以二面角的平面角为,
在中，
由余弦定理有：,
即，
所以，
故选：D.
【点睛】
本题考查异面直线成角，线面角，二面角的求法，关键是在立体图中作出相应的角，也可以用向量法，属于中档题.
6．如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分别取的中点,可得平面平面，从而点的轨迹为线段，然后计算出线段的范围.
【详解】
分别取的中点,
则,平面，平面，则平面.
,平面，平面，则平面
又,所以平面平面
又平面面
所以点的轨迹为线段
当为线段的端点（或）时，最长，此时
当为线段的中点时，最短，此时
所以，
故选：C．
【点睛】
本题考查利用向量法解决线面平面的探索问题，本题也可以构造面面平面得出动点的轨迹，从而求解，属于中档题.
7．如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则 （ ）
A． B．2:6 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，分别求得，，然后根据，由求解.
【详解】
如下图，以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
解得，
∴，，
∴．
故选：A
【点睛】
本题主要考查空间向量垂直的坐标运算，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.
8．二面角的平面角为，，，（为锐角），与面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，过A作于，作于，连接，则，所以为的平面角，为与所成的角，然后利用三角函数的定义分别求出，，，从而可得结果
【详解】
解：如图，过A作于，作于，连接，则，
所以为的平面角，为与所成的角，
因为,
所以，
故选：C
【点睛】
此题考查二面角与线面线的关系，属于基础题
9．棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间向量基本定理知，与，，共面, 则的最小值为三棱锥的高，由条件求出三棱锥的高即可.
【详解】
由，根据空间向量基本定理知，与，，共面.
则的最小值为三棱锥的高，，
设为在面上的射影，由条件可得三棱锥为正三棱锥.
连接并延长交于点,则
所以,
所以
故选：A．
【点睛】
本题考查空间向量基本定理，向量共面的条件，求正三棱锥的高，属于中档题.
10．已知正四棱柱中，，则CD与平面所成角的正弦值等于
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：设， 面积为
考点：线面角
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、双空题
11．已知，，则线段的中点坐标为________；________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用中点坐标公式可得线段AB的中点坐标，利用空间向量模的坐标表示可得的值.
【详解】
设线段的中点坐标为，
由中点坐标公式可得，
即线段的中点坐标为，
所以．
故答案为：，
【点睛】
本题主要考查中点坐标公式的应用以及空间向量模的坐标表示，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.
12．已知向量，，若，则________；若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量垂直和平行直接列方程，可求得结果
【详解】
若，则，；
若，则，．
故答案为：；
【点睛】
此题考查利用坐标由向量垂直和平行求参数，属于基础题
13．已知，，三点在同一直线上，则________，________．
【答案】 2 4
【解析】
【分析】
首先根据三点共线，得到向量共线，利用向量共线坐标之间的关系，求得结果.
【详解】
∵，，三点共线，∴．
又，，
∴，解得，．
故答案为：①2；②4.
【点睛】
该题考查的是有关利用向量解决三点共线求参数的问题，属于基础题目.
14．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，．
（1）平面与平面的位置关系是________；
（2）平面和平面所成的二面角的正弦值________．
【答案】 垂直
【解析】
【分析】
（1）利用面面垂直的判定定理证明面面垂直；
（2）延长、相交于点，连结，过点作于，取的中点，连接，，证明是平面和平面所成的二面角的平面角（锐角），然后在三角形中计算妈阿中得．
【详解】
（1）连结．
因为四边形是菱形，，
∴是等边三角形，
∵是的中点，∴，∴．
∵平面，平面，∴，
又平面，平面，，
∴平面，
又平面，∴平面平面．
（2）延长、相交于点，连结，过点作于，
由（1）知平面平面，所以平面．平面，则，
在中，因为，所以．
在等腰中，取的中点，连接，
则，连结．，平面，平面，
所以平面，所以，
所以是平面和平面所成的二面角的平面角（锐角）．
在等腰中，，
在中，，
所以，在中，，
故平面和平面所成的二面角的正弦值为．
【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理，考查求二面角，求二面角，关键是作出二面角的平面角并证明，然后在三角形中求角即可．这里需用到线面垂直、线线垂直、面面垂直的相互转化，考查了学生的空间想象能力，运算求解能力．
三、填空题
15．设平面与向量垂直，平面与向量垂直，则平面与位置关系是______．
【答案】平行
【解析】
【分析】
先判断，再根据平面与向量垂直，平面与向量垂直，即可得结论．
【详解】
因为，所以．因为平面与向量垂直，
所以平面与向量也垂直．
而平面与向量垂直，所以可得．
故答案为：平行.
【点睛】
本题考查向量语言表述面面的垂直、平行关系，主要考查向量共线的判断，属于基础题目.
16．如图，在三棱锥中，顶点在空间直角坐标系的原点处，顶点，，分别在，， 轴上，是线段的中点，且，当时，异面直线与所成角的余弦值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得，，，，再由，可得，然后利用向量的夹角公式求解即可
【详解】
由题意，，，，，
当时，在中，，，，
∴，∴，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：
【点睛】
此题考查向量的夹角公式的运用，考查计算能力，属于基础题
17．已知空间中的点，，若，，则________．
【答案】或．
【解析】
【分析】
由A，B坐标求出，再根据向量共线定理可求出.
【详解】
∵，，，
，∴存在，使得，
∴，解得，
∴或．
故答案为：或.
【点睛】
本题考查空间向量共线的问题，属于基础题.
四、解答题
18．如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，
（1）求证：CF∥平面A1DE；
（2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CF∥平面A1DE．
（2）求出平面A1DE的法向量和平面A1DA的法向量，利用向量法能求出平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．
【详解】
证明：（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），
则，
设平面A1DE的法向量是
则，取，
∴
所以CF∥平面A1DE．
解：（2）是面A1DA的法向量，
∴
即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为．
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：
（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）证明出、、为共面向量，结合、、有公共点可证得、、、四点共面，同理可证得、、、四点共面；
（2）证得，再由和无公共点可证得．
【详解】
（1）因为，所以，、、为共面向量，
因为、、有公共点，故、、、四点共面，
因为，则、、为共面向量，
因为、、有公共点，故、、、四点共面；
（2），，，
，，
因为、无公共点，故.
20．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为线段的中点，为线段上的一点.
（1）证明：平面平面.
（2）若，二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由得平面PAE，进而可得证；
（2）先证得平面，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为和，设与平面所成角为，则，代入计算即可得解.
【详解】
（1）证明：连接，因为，为线段的中点，
所以.
又，，所以为等边三角形，.
因为，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：设，则，因为，所以，
同理可证，所以平面.
如图，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.
易知为二面角的平面角，所以，从而.
由，得.
又由，，知，.
设平面的法向量为，
由，，得，不妨设，得.
又，，所以.
设与平面所成角为，则.
所以与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
21．如图，四边形为矩形，为的中点，，沿将折起到点的位置，使．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）若要证面面垂直，即平面平面，只要证平面内的一条直线垂直于平面，即可得解；
（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量夹角的余弦值，取正即可得解.
【详解】
（1）证明：如图，取的中点，的中点，连结，，，
则，∴，∵，∴．
又，∴平面，则，
∵为的中点，，
∴，则，
∵，是平面的相交直线，∴平面，
又平面，∴平面平面．
（2）在平面内，过点作，则为原点，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
由题设知， ，，，，
∴，，
设平面的法向量为，
由，得，
取，则，，
∴平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
∵，
∴，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】
本题考查了面面垂直的证明，考查了利用空间直角坐标系求线面角，考查了逻辑推理能力和空间感，是立体几何中的常规题，属于中档题.
22． 如图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．
求：（1）直线到平面的距离；
（2）二面角的平面角的正切值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
第一问中利用三垂线定理得到．第二问运用二面角的定义作出角或者利用空间向量法表示法向量从而得到二面角的平面角的大小．
【详解】
（1）AB∥DCDC平面EFCD,
AB到面EFCD,的距离等于点A到面EFCD,的距离，过点A作于G，
因,AB∥DC，故CDAD；
又FA平面ABCD，由三垂线定理可知，CDFD，故CDFAD，知CDAG，
所以AG为所求直线AB到面EFCD,的距离
在中，
由平面ABCD，得FAAD，从而在中，
．即直线AB到平面EFCD的距离为．
（2）中由己知，FA平面ABCD，得FAAD，又由，知DAAB，故AD平面ABFE
DAAE，所以，为二面角F-AD-E的平面角，记为.
在中, AE=,由ABCD得,FE//AB,从而
在中, FE= ,故
所以二面角的平面角的正切值为.
解：（1）AB∥DCDC平面EFCD, AB到面EFCD,的距离等于点A到面EFCD,的距离，过点A作于G，因AB∥DC，故CDAD；又FA平面ABCD，由三垂线定理可知，CDFD，故CDFAD，知CDAG，所以AG为所求直线AB到面EFCD,的距离
在中，
由平面ABCD，得FAAD，从而在中，
．即直线AB到平面EFCD,的距离为．
（2）由己知，FA平面ABCD，得FAAD，又由，知DAAB，故AD平面ABFE
DAAE，所以，为二面角F-AD-E的平面角，记为.
在中, ,由ABCD得,,从而
在中, ,故
所以二面角的平面角的正切值为.
解法二:
（1）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则
A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由.即,解得∥，
面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离．设A点在平面上的射影点为,则 因且,而
,此即 解得 ① ,
知G点在面上,故G点在FD上.
,故有 ② 联立①,②解得,
为直线AB到面的距离. 而 所以
(2)因四边形为平行四边形,则可设, .
由得,解得.即.
故
由,因,,
故为二面角的平面角，
又,,,
所以
试卷第1页，共3页
试卷第21页，共23页
