2022-2023学年人教A版2019高中数学 必修1 §1.3 .1 集合的并集与交集运算（学案+课时对点练 教师版含解析）

第1课时　集合的并集与交集运算
学习目标　1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算．
导语
在研究集合时，经常遇到有关集合中元素个数的问题，大家看一个问题，某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？两次进的货一样的有几种？我们说，数学的本身是解决实际问题，我们知道，实数有加、减、乘、除等运算，那么集合是否也有类似的运算呢？
一、并集的运算
问题1　某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，我们用集合A表示第一次进货的品种，用集合B表示第二次进货的品种，通过观察，你能用集合C表示两次一共进货的品种吗？并讨论集合A，集合B与集合C的关系．
提示　 A＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，B＝{圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}，则C＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水，铅笔、火腿肠}，容易发现集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的．
知识梳理
文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)
符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
图形语言
性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝A B A，A A∪B.
注意点：
(1)A∪B仍是一个集合．
(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x B；②x∈A且x∈B；③x A且x∈B.
(3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性．
例1　(1)设A＝{1,2,4,8}，B＝{1,4,9}，求A∪B.
解　A∪B＝{1,2,4,8}∪{1,4,9}
＝{1,2,4,8,9}．
(2)设集合A＝{x|0≤x<4}，集合B＝{x|1≤x<5}，求A∪B.
解　A∪B＝{x|0≤x<4}∪{x|1≤x<5}＝{x|0≤x<5}．
反思感悟　并集的运算技巧
(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．
(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．
跟踪训练1　设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4} D．{x|1答案　C
解析　A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2二、交集的运算
问题2　对于问题1中的集合A与集合B，你能用集合D表示两次进货一样的品种吗？并讨论集合A，B与集合D的关系．
提示　由A＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，B＝{圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}知，集合D＝{圆珠笔，方便面}，可见，集合D是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的．
知识梳理
文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)
符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
图形语言
性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝A A B，(A∩B) (A∪B)，(A∩B) A，(A∩B) B
注意点：
(1)A∩B仍是一个集合．
(2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B.
(3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝ .
例2　(1)若集合A＝{x|－5A．{x|－3C．{x|－3(2)若集合M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于(　　)
A．{0} B．{1}
C．{0,1,2} D．{0,1}
答案　(1)A　(2)D
解析　(1)在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3(2)M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0,1,2}，则M∩N＝{0,1}．
反思感悟　交集运算的注意点
(1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法．
(2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示．
(3)注意点：若A B，则A∩B＝A；若A＝B，则A∩B＝B＝A＝A∪B；A∩A＝A；A∩ ＝ .
跟踪训练2　(1)已知A＝{x|1答案　{x|4解析　借助数轴得A∩B＝{x|4(2)已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B等于(　　)
A．{2,1} B．{x＝2，y＝1}
C．{(2,1)} D．(2,1)
答案　C
解析　A∩B＝＝{(2,1)}．
三、根据并集与交集运算求参数范围
例3　已知集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|aA．3≤a<4 B．－1C．a≤－1 D．a<－1
答案　C
解析　利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.
延伸探究　
1．将例题中A∪B＝R变成A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解　当a≥4时，集合B为空集，满足题意；当a<4时，若要满足A∪B＝A，必有a≥3.综上实数a的取值范围是a≥3.
2．例题中集合B变为B＝{x|a解　当a≥2时，集合B为空集，满足题意；当a<2时，则有a≥－1且4－a<3，故有11.
反思感悟　利用集合间的关系求参数范围的一般步骤为
(1)若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系．
(2)将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集的取值范围．
(3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围．
跟踪训练3　设集合M＝{x|－2答案　{t|t≤2}
解析　由M∩N＝N，得N M.
故当N＝ ，即2t＋1≤2－t，即t≤时，M∩N＝N成立；
当N≠ 时，由图得
解得综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤2}．
1．知识清单：
(1)并集的概念及运算．
(2)交集的概念及运算．
(3)根据集合间的运算求参数范围．
2．方法归纳：观察法、图示法、数形结合、分类讨论．
3．常见误区：在根据运算求参数范围时，容易遗忘空集这一重要的情况．
1．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则(　　)
A．N∈M B．M∪N＝M
C．M∩N＝M D．M>N
答案　B
解析　因为N?M，所以M∪N＝M.
2．若集合A＝{x|0A．{x|0C．{x|0答案　C
解析　∵A＝{x|0∴A∩B＝{x|03．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　D
解析　由{1,3}∪A＝{1,3,5}，知A {1,3,5}且A中一定有元素5，因此集合A可以是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．
4．若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C一定满足(　　)
A．A?C B．C?A
C．A C D．C A
答案　C
解析　A∩B＝A A B，B∪C＝C B C，所以A C.
1．(多选)下列说法正确的有(　　)
A．若x∈A，那么x∈A∩B
B．若x∈A∩B，那么x∈A
C．若x∈A∩B，那么x∈A∪B
D．若x∈A，那么x∈A∪B
答案　BCD
2．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　)
A．{x|0≤x≤2} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|－1≤x≤4}
答案　A
解析　在数轴上表示出集合A与B，如图所示．
则由交集的定义，知A∩B＝{x|0≤x≤2}．
3．设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C等于(　　)
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
答案　B
解析　(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩C＝{1,2,4}．
4．已知集合M＝{－1,1}，则满足M∪N＝{－1,1,2}的集合N的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　D
解析　依题意，得满足M∪N＝{－1,1,2}的集合N有{2}，{－1,2}，{1,2}，{－1,1,2}，共4个．
5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．a<2 B．a>－2
C．a>－1 D．－1答案　C
解析　在数轴上表示出集合A，B即可知a的取值范围是a＞－1.
6．(多选)若集合M N，则下列结论正确的是(　　)
A．M∩N＝M B．M∪N＝N
C．N (M∩N) D．(M∪N) N
答案　ABD
7．已知集合A＝，B＝{x∈Z|x≤2}，则A∩B＝________.
答案　{0,1,2}
解析　因为A＝，B＝{x∈Z|x≤2}，所以A∩B＝，所以A∩B＝{0,1,2}．
8. 已知集合M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个．
答案　2
解析　M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1,3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素．
9．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
解　(1)∵A∩B＝{2}，
∴4＋2a＋12＝0,4＋6＋2b＝0，
即a＝－8，b＝－5，
∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，
B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，
∴(A∪B)∩C＝{2}．
10．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}．
(1)若m＝－3，求A∩B；
(2)若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
解　(1)m＝－3时，B＝{x|－7＜x＜－2}，故A∩B＝{x|－3≤x＜－2}．
(2)因为A∪B＝A，故B A，
若2m－1≥m＋1，即m≥2，则B＝ ，符合题意；
若m＜2，则解得－1≤m＜2，
综上，实数m的取值范围是m≥－1.
11．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则符合条件的实数m的值组成的集合为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　当m＝0时，B＝ ，A∩B＝B，符合题意；当m≠0时，x＝，要使A∩B＝B，则＝1或＝2，即m＝1或m＝.
12．(多选)已知集合A＝{4，a}，B＝{1，a2}，a∈R，则A∪B可能是(　　)
A．{－1,1,4} B．{1,0,4}
C．{1,2,4} D．{－2,1,4}
答案　BCD
13．已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r等于(　　)
A．12 B．6 C．－14 D．－12
答案　C
解析　因为A∩B＝{－2}，
所以－2∈A且－2∈B，将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，
所以A＝{1，－2}，
因为A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，
所以B＝{－2,5}，
所以q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，
所以p＋q＋r＝－14.
14．设集合M＝{x|－4答案　{t|t≤3}
解析　由M∩N＝N，得N M.
故当N＝ ，即t＋2≥2t－1，即t≤3时，M∩N＝N成立；
当N≠ 时，由图得无解．
综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤3}．
15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店
(1)第一天售出但第二天未售出的商品有_____种；
(2)这三天售出的商品最少有________种．
答案　(1)16　(2)29
解析　设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示．
由图可知，(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x)－x＝16(种)．
(2)这三天售出的商品有(16－y)＋y＋x＋(3－x)＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝(43－y)种．
由于所以0≤y≤14.
所以(43－y)min＝43－14＝29.
16．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.
解　由题意，得7∈A，7∈B且－1∈B，
所以在集合A中x2－x＋1＝7，
解得x＝－2或x＝3.
当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2，
又2∈A，故2∈(A∩B)＝C，
但2 C，故x＝－2不符合题意，舍去．
当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7，
所以2y＝－1，解得y＝－，符合题意，
所以A＝{2，－1,7}，B＝{－1，－4,7}，
所以A∪B＝{2，－1,7，－4}．