2022-2023学年人教A版2019高中数学 必修1 §1.3 .2 全集、补集及综合运用（学案+课时对点练 教师版含解析）

第2课时　全集、补集及综合运用
学习目标　1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用Venn图、数轴进行集合的运算．
导语
有人请客，7个客人到了4个，主人焦急地说：“该来的不来．”顿时气走了2个，主人遗憾地叹息：“不该走的又走了．”又气走一个，主人更遗憾了，自言自语地说：“我又不是说他，”这么一来，剩下的这位脸皮再厚，也待不下去了，请问客人们为什么生气？实际上，客人们不自觉地使用了一个数学概念：补集，如：该来的补集是不该来的，主人说：“该来的不来”，客人立马会想到不该来的来了，既然不该来，当然就生气地走了！
一、全集与补集
问题　如果我们把某次活动中的客人看成集合的元素，所有的客人组成集合U，先到的客人组成集合A，未到的客人组成集合B，这三个集合间有什么样的关系？
提示　集合U是我们研究对象的全体，A U，B U，A∩B＝ ，A∪B＝U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系．
知识梳理
1．全集
定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集
记法 U
2.补集
定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言
性质 (1) UA U； (2) UU＝ ， U ＝U； (3) U( UA)＝A； (4)A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝
注意点：
(1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的．
(2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念．
(3) UA包含三层含义：①A U；② UA是一个集合，且 UA U；③ UA是U中所有不属于A的元素构成的集合．
例1　(1)设U＝{x|x是小于7的自然数}，A＝{2,3,4}，B＝{1,5,6}，求 UA， UB.
解　根据题意可知，U＝{0,1,2,3,4,5,6}，所以 UA＝{0,1,5,6}， UB＝{0,2,3,4}．
(2)已知A＝{x|0≤x<9}，B＝{x|0解　根据数轴可知 AB＝{x|x＝0或5反思感悟　两种求补集的方法
(1)若所有的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．
(2)若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．
跟踪训练1　若集合A＝{x|－1≤x<1}，当U分别取下列集合时，求 UA.
(1)U＝R；
(2)U＝{x|x≤2}；
(3)U＝{x|－4≤x≤1}．
解　(1)把集合U和A表示在数轴上，如图所示．
由图知 UA＝{x|x<－1或x≥1}．
(2)把集合U和A表示在数轴上，如图所示．
由图知 UA＝{x|x<－1或1≤x≤2}．
(3)把集合U和A表示在数轴上，如图所示．
由图知 UA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}．
二、交、并、补集的综合运算
例2　已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 U(A∪B)等于(　　)
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0答案　D
解析　A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，则 U(A∪B)＝{x|0反思感悟　解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．
(2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
跟踪训练2　已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1解　将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．
因为U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1所以A∩B＝{x|－13}．
又P＝，
所以( UB)∪P＝.
又 UP＝，
所以(A∩B)∩( UP)
＝{x|－1＝{x|0三、利用集合间的关系求参数范围
例3　已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1解　因为A＝{x|x≤－2或x≥3}，
所以 UA＝{x|－2因为( UA)∩B＝B，所以B ( UA)．
当B＝ 时，即2m＋1≥m＋7，
所以m≥6，满足( UA)∩B＝B.
当B≠ 时，则无解．
故实数m的取值范围是{m|m≥6}．
延伸探究　若把本例的条件“( UA)∩B＝B”改为“( UA)∪B＝B”，则实数m的取值范围为_____________________________．
答案　
解析　因为( UA)∪B＝B，所以( UA) B，
所以解得－4≤m≤－，
故实数m的取值范围为.
反思感悟　由集合的补集求解参数的方法
(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个，一般利用数轴分析法求解．
跟踪训练3　已知集合U＝R，A＝{x|x>2或x<－2}，B＝{x|x≤a}．
(1)当a＝1时，求A∩B，A∪B；
(2)若( UA) B，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，B＝{x|x≤1}，又A＝{x|x>2或x<－2}，
所以A∩B＝{x|x<－2}，A∪B＝{x|x≤1或x>2}．
(2)因为 UA＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，且( UA) B，
所以a≥2.
1．知识清单：
(1)全集与补集及性质．
(2)交、并、补集的综合运算．
(3)利用集合间的关系求参数范围．
2．方法归纳：观察法、分析法、数形结合、分类讨论．
3．常见误区：自然数集容易遗漏0这一重要元素，解决含参的集合运算时要注意空集这一重要情况．
1．设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2,4}，则 UA等于(　　)
A．{1,3} B．{1,3,5}
C．{0,1,3} D．{0,1,3,5}
答案　C
2. 设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为(　　)
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x<3}
C．{x|x≤2或x>3} D．{x|－2≤x≤2}
答案　A
3．已知全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且 UA＝{－1}，则a的值是(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．±1
答案　A
4．已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则 UA＝ ________.
答案　{x|0解析　如图，
分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知， UA＝{x|01．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则 AB等于(　　)
A．{x|x是菱形}
B．{x|x是内角都不是直角的菱形}
C．{x|x是正方形}
D．{x|x是邻边都不相等的矩形}
答案　B
解析　由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则 AB＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．
2．已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则 U(A∪B)等于(　　)
A．{－2,3} B．{－2,2,3}
C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3}
答案　A
解析　∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，
∴A∪B＝{－1,0,1,2}．
又U＝{－2，－1,0,1,2,3}，
∴ U(A∪B)＝{－2,3}．
3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤5}，B＝{x|x>0}，则集合 U(A∩B)等于(　　)
A．{x|x≤0} B．{x|x>5}
C． D．{x|x≤0或x>5}
答案　D
解析　由已知A∩B＝{x|05}．
4. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为(　　)
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3}
答案　D
解析　由题意得，阴影部分所表示的集合为( UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．
5．已知全集U＝{1,2,3,4}，且 U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩( UB)等于(　　)
A．{3} B．{4} C．{3,4} D．
答案　A
解析　因为全集U＝{1,2,3,4}，且 U(A∪B)＝{4}，
所以A∪B＝{1,2,3}，
又B＝{1,2}，所以 UB＝{3,4}，A＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，所以A∩( UB)＝{3}．
6．(多选)下列说法中，当U为全集时，正确的是(　　)
A．若A∩B＝ ，则( UA)∪( UB)＝U
B．若A∩B＝ ，则A＝ 或B＝
C．若A∪B＝U，则( UA)∩( UB)＝
D．若A∪B＝ ，则A＝B＝
答案　ACD
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1,2}，则实数m＝________.
答案　－3
解析　由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}，
即0,3为方程x2＋mx＝0的两个根，
所以m＝－3.
8．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x答案　2
解析　∵A＝{x|1≤x∴A∪( UA)＝U＝{x|1≤x≤5}，且A∩( UA)＝ ，
∴a＝2.
9．已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2求：A∩B；( UA)∪B；A∩( UB)；( UA)∪( UB)； U(A∩B)．
解　因为U＝{x|x≤4}，A＝{x|－2所以A∩B＝{x|－2所以( UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩( UB)＝{x|2( UA)∪( UB)＝{x|x≤－2或2 U(A∩B)＝{x|x≤－2或210．已知集合A＝{x|－4＜x≤2}，B＝{x|2m≤x≤m＋3}．若A∩B≠ ，求m的取值范围．
解　当B＝ 时，2m＞m＋3，得m＞3，此时A∩B＝ ；
当B≠ 时，若A∩B＝ ，则或
解得1＜m≤3或m≤－7，
所以当m≤－7或m＞1时，A∩B＝ ，
所以当－7＜m≤1时，A∩B≠ ，
所以m的取值范围为(－7,1]．
11．已知U为全集，集合M，N是U的子集．若M∩N＝N，则(　　)
A．( UM) ( UN) B．M ( UN)
C．( UM) ( UN) D．M ( UN)
答案　C
解析　∵M∩N＝N，∴N M，∴( UM) ( UN)．
12．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|kA．k<0或k>3 B．2C．0答案　C
解析　∵A＝{x|x≤1或x≥3}，
∴ UA＝{x|1若B∩( UA)＝ ，
则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，
∴若B∩( UA)≠ ，则013．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A．62% B．56% C．46% D．42%
答案　C
解析　设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，
用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，
则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.
14．设全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且( UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________．
答案　{a|a≤1}
解析　因为A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，
所以 UA＝{x|x≤1}，由( UA)∪B＝R，可知a≤1.
15．用card(A)来表示有限集合A中元素的个数，已知全集U＝A∪B，D＝( UA)∪( UB)，card(U)＝m，card(D)＝n，若A∩B非空，则card(A∩B)等于(　　)
A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n
答案　D
16．已知A＝{x|－1(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B RA，求实数m的取值范围．
解　(1)当m＝1时，B＝{x|1≤x<4}，
A∪B＝{x|－1(2) RA＝{x|x≤－1或x>3}，
当B＝ ，即m≥1＋3m时，
得m≤－，满足B RA；
当B≠ 时，要使B RA成立，
即或
解得m>3，
综上所述，实数m的取值范围是m>3或m≤－.