【解析版】安徽省无为县开城中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学（文）试题

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2012-2013学年安徽省无为县开城中学高二（下）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．（5分）若复数z=3﹣i，则z在复平面内对应的点位于（　　）
　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 复数的代数表示法及其几何意义．
专题： 阅读型．
分析： 直接由给出的复数得到对应点的坐标，则答案可求．
解答： 解：因为复数z=3﹣i，所以其对应的点为（3，﹣1），所以z在复平面内对应的点位于第四象限．故选D
点评： 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础的概念题．
　
2．（5分）按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（　　）
　 A． 6 B． 21 C． 156 D． 231
考点： 程序框图．
专题： 图表型．
分析： 根据程序可知，输入x，计算出 的值，若≤100，然后再把 作为x，输入 ，再计算 的值，直到 ＞100，再输出．
解答： 解：∵x=3，∴=6，∵6＜100，∴当x=6时，=21＜100，∴当x=21时，=231＞100，停止循环则最后输出的结果是 231，故选D．
点评： 此题考查的知识点是代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．
　
3．（5分）用演绎法证明函数f（x）=x3是增函数时的小前提是（　　）
　 A． 增函数的定义 B． 函数f（x）=x3满足增函数的定义
　 C． 若x1＜x2，则f（x1）＜f（x2） D． 若x1＜x2，则f（x1）＞f（x2）
考点： 演绎推理的基本方法．
专题： 阅读型．
分析： 大前提提供了一个一般性的原理，小前提提出了一个特殊对象，两者联系，得出结论．用演绎法证明y=x3是增函数时的依据的原理是增函数的定义，小前提是一个特殊对象即函数f（x）=x3满足增函数的定义．
解答： 解：∵证明y=x3是增函数时，依据的原理就是增函数的定义，∴用演绎法证明y=x3是增函数时的大前提是：增函数的定义，小前提是函数f（x）=x3满足增函数的定义．结论：函数f（x）=x3是增函数故选B．
点评： 本题考查对三段论的理解，第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理．三段论式推理，是演绎推理的主要形式．其思维过程大致是：大前提提供了一个一般性的原理，小前提提出了一个特殊对象，两者联系，得出结论．演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．
　
4．（5分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（　　）
　 A． 6n﹣2 B． 8n﹣2 C． 6n+2 D． 8n+2
考点： 归纳推理．
专题： 规律型．
分析： 由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则组成不同个数的图形的火柴棒的个数组成一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n项的火柴根数．
解答： 解：∵第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+2×6个火柴组成，以此类推组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）∴第n个图中的火柴棒有6n+2故选C．
点评： 本题考查归纳推理，考查等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加，火柴的根数的变化趋势，看出规律．
　
5．（5分）计算的结果是（　　）
　 A． i B． ﹣i C． 2 D． ﹣2
考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 计算题．
分析： 两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．
解答： 解：计算===﹣i，故选B．
点评： 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
　
6．（5分）有下列关系：
①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，
其中有相关关系的是（　　）
　 A． ①②③ B． ①② C． ②③ D． ①③④
考点： 变量间的相关关系．
专题： 阅读型．
分析： 相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，（2）是一种函数关系，①③④中的两个变量具有相关性．
解答： 解：∵相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，（2）是一种函数关系，∴具有相关关系的有：（1）（3）（4）故选D．
点评： 判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定的则是函数关系；若不确定，则是相关关系．
　
7．（5分）函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（　　）
　 A． 极大值5，极小值﹣27 B． 极大值5，极小值﹣11
　 C． 极大值5，无极小值 D． 极小值﹣27，无极大值
考点： 利用导数研究函数的极值．
专题： 计算题．
分析： 求出y的导函数得到x=﹣1，x=3（因为﹣2＜x＜2，舍去），讨论当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，得到函数极值即可．
解答： 解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，当x=﹣1时，y极大值=5；x取不到3，无极小值．故选C
点评： 考查学生利用导数研究函数极值的能力．
　
8．（5分）函数单调递增区间是（　　）
　 A． （0，+∞） B． （﹣∞，1） C． D． （1，+∞）
考点： 利用导数研究函数的单调性．
专题： 计算题．
分析： 求出函数y的导函数y′，因为要求单调递增区间，令y′＞0得到不等式求出x的范围即可．
解答： 解：令故答案为C．
点评： 考查学生掌握利用导数研究函数的单调性的能力．
　
9．（5分）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；
②所以一个三 角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°，
正确顺序的序号为（　　）
　 A． ①②③ B． ①③② C． ②③① D． ③①②
考点： 反证法与放缩法．
分析： 根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°，正确．第二步得出矛盾：A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；第三步下结论：所以一个三 角形中不能有两个直角．从而得出正确选项．
解答： 解：根据反证法的证法步骤知：假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°，正确 A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；所以一个三 角形中不能有两个直角．故顺序的序号为③①②．故选D．
点评： 反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．
　
10．（5分）在独立性检验中，统计量Χ2有两个临界值：3.841和6.635．当Χ2＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当Χ2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当Χ2≤3.841时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算Χ2=20.87．根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（　　）
　 A． 有95%的把握认为两者有关 B． 约有95%的打鼾者患心脏病
　 C． 有99%的把握认为两者有关 D． 约有99%的打鼾者患心脏病
考点： 独立性检验的应用．
专题： 阅读型．
分析： 这是一个独立性检验理论分析题，根据K2的值，同所给的临界值表中进行比较，可以得到有99%的把握认为打鼾与心脏病有关．
解答： 解：∵计算Χ2=20.87．有20.87＞6.635，∵当Χ2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，故选C．
点评： 考查独立性检验的应用，是一个典型的问题，注意解题时数字运算要认真，不要出错，本题不需要运算直接考查临界值对应的概率的意义．
　
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.
11．（5分）现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、　地龟　属于爬行动物；河狸、狗属于　哺乳动物　；鹰、　长尾雀　属于飞行动物，请你把下列结构图补充完整．
考点： 绘制结构图．
专题： 图表型．
分析： 设计的这个结构图从整体上要反映数的结构，从左向右要反映的是要素之间的从属关系．在画结构图时，应根据具体需要确定复杂程度．简洁的结构图有时能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点．同时，要注意结构图，通常按照从上到下、从左到右的方向顺序表示，各要素间的从属关系较多时，常用方向箭头示意．
解答： 解：爬行、哺乳、飞行三类动物的组织结构图为：
点评： 绘制结构图时，首先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住主要脉络进行分解．然后将每一部分进行归纳与提炼，形成一个个知识点并逐一写在矩形框内，最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连．
　
12．（5分）已知x，y∈R，若xi+2=y﹣i，则x﹣y=　﹣3　．
考点： 复数相等的充要条件．
专题： 计算题．
分析： 由条件利用两个复数相等的充要条件求出x、y的值，即可求得x﹣y的值．
解答： 解：若xi+2=y﹣i，则x=﹣1，y=2，∴x﹣y=﹣3，故答案为﹣3．
点评： 本题主要考查两个复数相等的充要条件，属于基础题．
　
13．（5分）函数y=x2﹣x3的单调增区间为　（0，）　，单调减区间为　（﹣∞，0）和（，+∞）　．
考点： 利用导数研究函数的单调性．
专题： 计算题；导数的概念及应用．
分析： 先求导数y′，然后解不等式y′＞0，y′＜0，可得函数的增区间、减区间．
解答： 解：y′=2x﹣3x2=﹣x（3x﹣2），由y′＞0，得0＜x＜，由y′＜0，得x＜0或x＞，所以函数y=x2﹣x3的单调增区间为（0，），单调减区间为（﹣∞，0）和（，+∞）．故答案为：（0，）；（﹣∞，0）和（，+∞）．
点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题，解决该类题目要注意定义域及多个增（减）区间的表示．
　
14．（5分）观察下列式子：，，，，…，归纳得出一般规律为　　．
考点： 归纳推理．
专题： 规律型．
分析： 本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的加数与式子编号之间的关系，易得等式左边的系数分别为与n+1，等式右边为n+1，与的和，归纳后即可推断出第n（n∈N*）个等式．
解答： 解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式左边的系数分别为与n+1，等式右边为n+1，与的和，根据已知可以推断：第n（n∈N*）个等式为：故答案为：
点评： 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
　
15．（5分）对于函数f（x）=ax3，（a≠0）有以下说法：
①x=0是f（x）的极值点．
②当a＜0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．
③f（x）的图象与（1，f（1））处的切线必相交于另一点．
其中说法正确的序号是　②　．
考点： 利用导数研究函数的极值．
专题： 导数的综合应用．
分析： ①利用函数的极值点处左右两侧导数值异号，即可判断出x=0不是f（x）的极值点；②由于a＜0时，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）上恒成立，故得f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；③f（x）在（1，f（1））处的切线：y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），联立y=ax3，（a≠0）判断解的个数，即可判断③的正误．
解答： 解：由于函数f（x）=ax3，（a≠0），则f′（x）=3ax2①由于f′（x）=3ax2恒为正或恒为负，故x=0不是f（x）的极值点，故①错误；②由于a＜0时，f′（x）=3ax2＜0在（﹣∞，+∞）上恒成立，则f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，故②正确；③由于f′（x）=3ax2，则f′（1）=3故f（x）在（1，f（1））处的切线方程：y﹣a=3（x﹣1），即：y=3x+a﹣3，联立y=ax3，（a≠0）得到ax3=3x+a﹣3，整理得（x﹣1）（ax2+ax+a﹣3）=0若△=a2﹣4a（a﹣3）≥0，则y=3x+a﹣3与y=ax3（a≠0）必有两个以上的交点；若△=a2﹣4a（a﹣3）＜0，则y=3x+a﹣3与y=ax3（a≠0）只有一个交点（1，f（1））．故③错误．故答案为 ②．
点评： 本题主要考查了函数的导数在研究函数性质上的应用，属于基础题．
　
三、解答题：本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（11分）某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
（1）画出散点图；
（2）求回归直线方程；
（3）据此估计广告费用为9万元时，销售收入y的值．
参考公式：回归直线的方程=bx+a，其中b==，a=﹣b．
考点： 可线性化的回归分析．
专题： 计算题．
分析： （1）画出坐标系，把所给的五组点的坐标描到坐标系中，作出散点图．（2）根据所给的5组数据，先求出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法，做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（3）把所给的自变量x的值代入直线方程，做出对应的y的值，就是要求的估计广告费用是9万元时，销售收入的值．
解答： 解：（1）画出坐标系，把所给的五组点的坐标描到坐标系中，作出散点图如图所示：（2）=×（2+4+5+6+8）=5， =×（30+40+60+50+70）=50，=145，=13500，=1380．===6.5，=﹣b=50﹣6.5×5=17.5．因此回归直线方程为=6.5x+17.5；（3）x=9时，预报y的值为y=9×6.5+17.5=76（万元）．
点评： 本题考查可线性化的回归分析，考查求线性回归方程，考查画散点图，考查求预报值，本题是一个综合题目，这种题目广东已经作为高考题目出过，要引起同学们注意．
　
17．（11分）如图：是y=f（x）=x3﹣2x2+3a2x的导函数y=f'（x）的简图，它与x轴的交点是（1，0）和（3，0）
（1）求y=f（x）的极小值点和单调减区间
（2）求实数a的值．
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
专题： 导数的综合应用．
分析： （1）先利用其导函数f'（x）图象，判断导函数值的正负来求其单调区间，进而求得其极值．（注意是在定义域内研究其单调性）（2）由图知，f'（1）=0且f'（3）=0，代入导函数解析式得到关于a的方程，解出即可．
解答： 解：（1）由f（x）=x3﹣2x2+3a2x的导函数y=f'（x）的图象可知：导函数f'（x）小于0的解集是（1，3）；函数f（x）=x3﹣2x2+3a2x在x=1，x=3处取得极值，且在x=3的左侧导数为负右侧导数为正．即函数在x=3处取得极小值，函数的单调减区间为（1，3）．（2）由于f（x）=x3﹣2x2+3a2x的导函数f'（x）=ax2﹣4x+3a2，又由（1）知，f'（1）=0且f'（3）=0则解得 a=1．则实数a的值为1．
点评： 本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．
　
18．（11分）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2﹣Sn（n∈N*）．
（Ⅰ）求a1，a2，a3，a4的值并猜想这个数列的通项公式
（Ⅱ）证明数列{an}是等比数列．
考点： 等比关系的确定；归纳推理．
专题： 计算题；探究型．
分析： （I）由已知中数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2﹣Sn，我们依次取n=1，2，3，4，即可求出a1，a2，a3，a4的值，然后分析所得前4项，分子和分母的分布规律，即可推断出这个数列的通项公式（Ⅱ）由an=2﹣Sn可得an﹣1=2﹣Sn﹣1，两式相减即可判断出数列{an}的相邻两项的关系，进而得到数列{an}是等比数列．
解答： 解：（1）（4分）猜想（6分）（2）证明：，∴又∵a1=2﹣S1=2﹣a1，∴（12分）
点评： 本题考查的知识点是等比关系的确定及归纳推理，其中在确定等比数列时的关键是判断an，an﹣1是否为一个常数．
　
19．（12分）（2009 湖北模拟）已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x﹣2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的单调递增区间．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
专题： 计算题．
分析： （1）先根据f（x）的图象经过点（0，1）求出c，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，建立一等量关系，再根据切点在曲线上建立一等式关系，解方程组即可；（2）首先对f（x）=﹣2+1求导，可得f'（x）=10x3﹣9x，令f′（x）＞0解之即可求出函数的单调递增区间．
解答： 解：（1）f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），则c=1，f'（x）=4ax3+2bx，k=f'（1）=4a+2b=1（4分）切点为（1，﹣1），则f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（1，﹣1），得a+b+c=﹣1，得a=，b=﹣f（x）=﹣2+1（8分）（2）f'（x）=10x3﹣9x＞0，﹣＜x＜0，或x＞单调递增区间为（，﹣，0），（，+∞）（12分）
点评： 本题考查导数的计算与应用，注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系，利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．
　
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